Exercices: Fonctions et calcul littéral

On considère le programme de calcul suivant :

• Choisir un nombre.

• Ajouter $4$ à ce nombre.

• Multiplier le résultat par $3$.

• Soustraire $5$ au résultat obtenu.

Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Vérifier que, si on choisit $2$ comme nombre de départ, on obtient $13$.

2. Quel résultat obtient-on si on choisit $-1$ comme nombre de départ ?

3. On appelle $x$ le nombre choisi au départ. Exprimer le résultat du programme en fonction de $x$.

4. Montrer que ce résultat peut s'écrire $3x+7$.

5. Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir $22$ ?

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=4x-3$. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Calculer l'image de $2$ par la fonction $f$.

2. Calculer $f(-1{,}5)$.

3. Déterminer l'antécédent de $13$ par la fonction $f$.

4. Le point $A(3\ ;\ 9)$ appartient-il à la représentation graphique de $f$ ?

5. Quelle est la nature de la fonction $f$ ? Donner son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.

Une salle de sport propose deux tarifs :

• Tarif A : $8\ €$ par séance, sans abonnement.

• Tarif B : un abonnement de $30\ €$, puis $5\ €$ par séance.

On note $x$ le nombre de séances. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Calculer le prix à payer avec chaque tarif pour $6$ séances.

2. Exprimer en fonction de $x$ le prix $A(x)$ avec le tarif A, puis le prix $B(x)$ avec le tarif B.

3. Résoudre l'équation $8x=5x+30$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

4. Quel tarif choisir pour $14$ séances ?

On considère le programme de calcul suivant :

• Choisir un nombre.

• Ajouter $3$ à ce nombre.

• Multiplier le résultat par le nombre de départ.

• Soustraire $10$ au résultat obtenu.

Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Vérifier que, si on choisit $4$ comme nombre de départ, le programme donne $18$.

2. On appelle $x$ le nombre choisi au départ. Exprimer le résultat du programme en fonction de $x$.

3. a) Montrer que ce résultat peut s'écrire $(x+5)(x-2)$.

b) Quels nombres faut-il choisir au départ pour obtenir $0$ ?

1. Quels nombres faut-il choisir au départ pour obtenir $-10$ ?

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=-2x+5$. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

$x$	$-2$	$0$	$1$	$3$
$f(x)$

1. La représentation graphique de $f$ est une droite. Donner son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine. Cette fonction est-elle croissante ou décroissante ?

2. Déterminer l'antécédent de $0$ par $f$.

3. En déduire les coordonnées des points d'intersection de la représentation graphique de $f$ avec les axes du repère.

4. Le point $B(-4\ ;\ 13)$ appartient-il à la représentation graphique de $f$ ?

Pour se déplacer en ville, on compare deux compagnies de taxis :

• Compagnie T1 : une prise en charge de $3\ €$, puis $1{,}20\ €$ par kilomètre parcouru.

• Compagnie T2 : $1{,}80\ €$ par kilomètre parcouru, sans prise en charge.

On note $x$ la distance parcourue en kilomètres. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Calculer le prix d'une course de $10\ \text{km}$ avec chaque compagnie.

2. Exprimer en fonction de $x$ le prix $f(x)$ avec la compagnie T1, puis le prix $g(x)$ avec la compagnie T2.

3. Pour quelle distance les deux compagnies proposent-elles le même prix ?

4. Pour quelles distances la compagnie T1 est-elle la moins chère ?

5. Un client dispose de $40\ €$ et choisit la compagnie T1. Quelle distance maximale peut-il parcourir ? Arrondir au dixième de kilomètre.

On considère l'expression $E=(3x+1)(x-4)-(x-4)(2x-5)$. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Développer et réduire $E$.

2. Montrer que $E=(x-4)(x+6)$.

3. Résoudre l'équation $E=0$.

4. En utilisant la forme développée de $E$, résoudre l'équation $E=-24$.

5. Factoriser l'expression $F=4x^{2}-49$.

Un terrain carré a pour côté $x$ mètres, avec $x>3$. On construit à l'un des coins une piscine carrée de $3\ \text{m}$ de côté. On s'intéresse à la surface restante du terrain, notée $S(x)$ en $\text{m}^2$. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Exprimer $S(x)$ en fonction de $x$.

2. Montrer que $S(x)=(x-3)(x+3)$.

3. Calculer $S(12)$.

4. On souhaite que la surface restante soit égale à $160\ \text{m}^2$.

a) Déterminer la valeur de $x$ qui convient.

b) Vérifier que, pour cette valeur de $x$, la surface restante a la même aire qu'un rectangle de dimensions $10\ \text{m}$ et $16\ \text{m}$.

Une famille hésite à acheter un récupérateur d'eau de pluie pour arroser son jardin. Chaque année, elle utilise $45\ \text{m}^3$ d'eau pour l'arrosage. L'eau du réseau coûte $4{,}20\ €$ le mètre cube.

• Option 1 : ne pas acheter de récupérateur et payer l'eau du réseau.

• Option 2 : acheter un récupérateur à $540\ €$, avec un entretien de $15\ €$ par an. L'arrosage ne coûte alors rien d'autre.

On note $n$ le nombre d'années d'utilisation. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Montrer que la dépense annuelle de l'option 1 est de $189\ €$.

2. Exprimer en fonction de $n$ la dépense totale $f(n)$ avec l'option 1, puis la dépense totale $g(n)$ avec l'option 2.

3. Calculer ces deux dépenses au bout de $2$ ans.

4. a) Résoudre l'équation $189n=540+15n$.

b) À partir de combien d'années entières l'option 2 devient-elle la moins chère ? Justifier.