Exercices: Solides de révolution

Imaginer que vous avez un morceau de carton rectangulaire de $10\text{ cm}$ de base et $15\text{ cm}$ de hauteur. Si on le fait tourner rapidement autour de l'un de ses côtés de $15\text{ cm}$ (le côté indiqué comme axe de rotation sur la figure), quel solide de révolution est engendré ? Dessiner le solide obtenu et indiquer les mesures de son rayon et de sa hauteur.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Une canette de soda standard a la forme d'un cylindre. Si le rayon de sa base mesure $3,25\text{ cm}$ et sa hauteur est de $12\text{ cm}$, calculer l'aire de l'étiquette en papier qui entoure latéralement la canette (aire latérale). Utiliser $\pi \approx 3,14$.

Pour un déguisement de magicien, un élève a fabriqué un chapeau en forme de cône. Si le rayon de la base est de $10\text{ cm}$ et la hauteur du chapeau est de $24\text{ cm}$, utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de la génératrice ($g$) du cône.

Une balle de tennis a un diamètre d'environ $6,7\text{ cm}$. Calculer la surface totale de feutre nécessaire pour recouvrir la balle, en la considérant comme une sphère parfaite. Exprimer le résultat en $\text{cm}^2$.

Calculer le volume d'un réservoir d'eau cylindrique de rayon $2\text{ mètres}$ et de hauteur $5\text{ mètres}$. Si $1\text{ m}^3$ équivaut à $1000\text{ litres}$, combien de litres d'eau le réservoir peut-il contenir ?

Un cornet de glace a la forme d'un cône. Le rayon de l'ouverture supérieure est de $3\text{ cm}$ et sa profondeur (hauteur) est de $10\text{ cm}$. Quel volume de glace peut contenir exactement l'intérieur du cornet ? (On considère que la glace est à ras bord, sans dépasser.)

Si l'on coupe une orange en deux, on obtient deux demi-boules. Si le rayon de l'orange est de $4\text{ cm}$, calculer le volume de l'une de ces moitiés.

Observer le patron suivant d'un solide de révolution.

1. a) De quel solide s'agit-il ?
2. b) Si le rayon du disque est $R = 5\text{ cm}$ et la hauteur du rectangle est $H = 10\text{ cm}$, calculer l'aire totale de la figure.

Pour une fête patronale dans son village, Sarah veut recouvrir de papier brillant l'extérieur de $20$ chapeaux coniques en carton. Chaque chapeau a un rayon de base de $9\text{ cm}$ et une hauteur de $12\text{ cm}$ (les chapeaux sont creux et n'ont pas de base). Son camarade Hugo fait les calculs suivants pour trouver le papier nécessaire pour un seul chapeau :

Hugo en conclut donc que pour les $20$ chapeaux, ils auront besoin d'exactement $20 \cdot 339,12 = 6\,782,4\text{ cm}^2$ de papier.

1. a) Identifier et expliquer les deux erreurs conceptuelles commises par Hugo : l'une dans la formule de l'aire qu'il a utilisée et l'autre pour n'avoir pas calculé une mesure essentielle du cône.
2. b) Corriger les calculs en déterminant d'abord la génératrice du cône à l'aide du théorème de Pythagore, puis déterminer la quantité minimale réelle de papier brillant dont ils ont besoin pour les $20$ chapeaux.

La mairie d'une commune veut restaurer et peindre une sculpture sphérique en acier installée sur un rond-point, dont le diamètre mesure exactement $4\text{ m}$. Le peintre dispose de pots de peinture antirouille dont le fabricant indique que chaque pot couvre $12\text{ m}^2$.

1. a) Estimer mentalement, sans calculatrice et en arrondissant $\pi \approx 3$, la surface extérieure de la sphère et le nombre minimal de pots nécessaires. Expliquer les étapes du calcul mental.
2. b) Effectuer le calcul précis à l'aide de la formule de l'aire de la sphère ($A = 4\pi r^2$) avec la valeur de $\pi$ de la calculatrice (en arrondissant l'aire à deux décimales).
3. c) Vérifier et comparer le résultat réel avec l'estimation : aurait-il suffi d'acheter les pots estimés avec $\pi \approx 3$ ou le peintre aurait-il manqué de peinture avant la fin ? Justifier pourquoi cette différence apparaît en arrondissant $\pi$.

Un studio de photographie utilise un réflecteur en forme de cône pour concentrer la lumière. Si le réflecteur a une hauteur de $12\text{ cm}$ et que le diamètre de son ouverture circulaire est de $10\text{ cm}$, calculer la surface totale de matériau réfléchissant nécessaire pour le fabriquer (sans compter le couvercle de la base).

Une marque de compléments vitaminés conçoit ses gélules en forme de cylindre et de deux demi-sphères aux extrémités. La longueur totale de la gélule est de $22\text{ mm}$ et le diamètre du cylindre central est de $8\text{ mm}$. Calculer le volume total de la gélule en millimètres cubes.

Un verre a la forme d'un cylindre de rayon intérieur $3,5\text{ cm}$. Si l'on y verse une boisson gazeuse qui occupe un volume de $250\text{ cm}^3$, quelle hauteur le liquide atteindra-t-il dans le verre ? Arrondir le résultat au centième.

Calculer l'aire latérale et le volume d'un tronc de cône (comme un seau à pop-corn) dont les bases ont pour rayons $10\text{ cm}$ et $6\text{ cm}$, sachant que sa hauteur est de $15\text{ cm}$. Remarque : il faudra d'abord calculer la génératrice à l'aide du théorème de Pythagore.

Un réservoir de gaz sphérique a un diamètre extérieur de $6\text{ mètres}$. Les ingénieurs veulent appliquer une couche de peinture antirouille qui coûte $14,50\text{ €}$ par mètre carré. Combien coûtera la peinture de la surface totale du réservoir ? (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

On engendre un solide de révolution en faisant tourner un rectangle de base $4\text{ cm}$ et de hauteur $7\text{ cm}$ autour d'un de ses grands côtés.

1. Quel solide géométrique obtient-on ?

2. Calculer son aire totale.

3. S'il tournait autour du petit côté, aurait-il le même volume ? Justifier la réponse en effectuant les calculs.

Dans une glacerie, on sert une boule de glace parfaitement sphérique de $6\text{ cm}$ de diamètre sur un cornet en forme de cône de $10\text{ cm}$ de hauteur et de même diamètre que la boule. Si la glace fond et reste contenue exactement dans le cornet, débordera-t-elle ou restera-t-il de la place libre ? Répondre en comparant les volumes de la boule et du cône.

Une entreprise de messagerie utilise des tubes cylindriques en carton pour envoyer des plans. Si chaque tube a une aire latérale de $942\text{ cm}^2$ et une hauteur de $50\text{ cm}$ :

1. Calculer le rayon de la base du tube.

2. Calculer la quantité de carton nécessaire pour fabriquer les deux couvercles circulaires de chaque tube. (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

La Société nationale de sauvetage en mer (SNSM) vérifie une bouée de balisage cylindro-conique dans le port de Dunkerque. La bouée est constituée d'un corps cylindrique inférieur de $1,2\text{ m}$ de diamètre et de $1,5\text{ m}$ de hauteur, surmonté d'une pointe conique de même diamètre et de hauteur $0,8\text{ m}$. Il faut appliquer une peinture marine spéciale sur toute la surface extérieure visible : la paroi latérale du cylindre, la base plane circulaire inférieure immergée et la surface latérale du cône (la jonction circulaire entre le cylindre et le cône est interne et n'est pas peinte).

1. a) Calculer la génératrice de la pointe conique.
2. b) Calculer l'aire totale extérieure à peindre (arrondir le résultat à deux décimales).
3. c) Chaque pot de peinture marine couvre au maximum $4,5\text{ m}^2$ par couche. Si les normes techniques exigent d'appliquer deux couches complètes et que les pots sont vendus uniquement entiers à $28,50\text{ \euro}$ l'unité, combien de pots faut-il acheter et quel sera le coût final du matériel ?

Une entreprise de conserves de légumes de Provence conçoit une nouvelle boîte cylindrique en fer-blanc avec un couvercle et un fond. Pour des raisons de résistance et d'empilement, la hauteur du cylindre doit être exactement le triple du rayon de sa base ($h = 3r$). De plus, pour respecter le budget de fabrication, l'aire totale de tôle utilisée pour chaque boîte doit être exactement $128\pi\text{ cm}^2$ (environ $402,12\text{ cm}^2$).

1. a) Écrire l'expression littérale de l'aire totale du cylindre en fonction uniquement du rayon $r$, poser l'équation correspondante et déterminer la valeur exacte du rayon et de la hauteur de la boîte.
2. b) Calculer quel pourcentage de l'aire totale de la boîte correspond à sa surface latérale et quel pourcentage correspond aux deux bases planes.
3. c) Justifier si ces pourcentages changeraient si l'on décidait de doubler le rayon et la hauteur de la boîte en conservant la proportion $h = 3r$.

Un designer de luminaires veut créer un abat-jour en forme de tronc de cône. L'abat-jour a une hauteur de $24 \text{ cm}$, un diamètre supérieur de $18 \text{ cm}$ et un diamètre inférieur de $30 \text{ cm}$. Pour calculer le coût du matériau, il a besoin de connaître l'aire de la surface latérale. Cependant, pour le fabriquer à partir d'une pièce plane, il doit d'abord déterminer la hauteur du cône complet dont est issu le tronc. Calculer cette hauteur totale et l'aire latérale de l'abat-jour (sans les bases).

Une coupe de glace a la forme d'un cône renversé de $12 \text{ cm}$ de hauteur et de $10 \text{ cm}$ de diamètre à l'ouverture. Elle est remplie de milk-shake au chocolat exactement jusqu'à la moitié de sa hauteur. Un élève affirme que la coupe est « à moitié pleine », mais un autre dit qu'il y a bien moins de la moitié du volume total. Calculer quel pourcentage du volume total de la coupe le milk-shake occupe réellement pour déterminer qui a raison.

On souhaite construire un réservoir d'eau en acier qui combine un cylindre de $4 \text{ m}$ de hauteur et de $3 \text{ m}$ de rayon avec une demi-sphère parfaite à sa partie supérieure. Si le coût de l'acier est de $45 \text{ €}$ par mètre carré de surface extérieure et que le scellement de la jonction entre la demi-sphère et le cylindre coûte $15 \text{ €}$ par mètre linéaire de circonférence, calculer le budget total pour les matériaux de la surface extérieure du réservoir (y compris la base inférieure plane).

Un rouleau à pâtisserie en pierre a la forme d'un cylindre de rayon $4 \text{ cm}$ et de longueur $25 \text{ cm}$. On veut le ranger dans une boîte cylindrique de façon que le rouleau s'y ajuste exactement (tangent aux parois et aux bases). Si l'on décide de remplacer ce rouleau par un autre qui a un rayon moitié moindre mais une longueur double :

1. Le volume de pierre utilisé va-t-il varier ? Justifier la réponse par des calculs.

2. Lequel des deux rouleaux nécessiterait une boîte ayant la plus grande aire totale ?

Calculer le volume du solide engendré en faisant tourner $360^\circ$ le trapèze rectangle suivant autour du côté $AB$. Le côté $AD$ mesure $6 \text{ cm}$ (petite base), le côté $BC$ mesure $10 \text{ cm}$ (grande base) et la hauteur du trapèze (côté $AB$) mesure $8 \text{ cm}$. Identifier le solide obtenu et calculer son aire totale.

Deux villes, $P$ et $Q$, se trouvent sur un même parallèle à une latitude de $60^\circ \text{ N}$. La ville $P$ a une longitude de $15^\circ \text{ E}$ et la ville $Q$ de $45^\circ \text{ E}$. Sachant que le rayon de la Terre est d'environ $6371 \text{ km}$ :

1. Calculer le rayon du parallèle $60^\circ \text{ N}$ (Indice : utiliser la trigonométrie ou se rappeler que, dans le triangle formé, le rayon du parallèle est $R \cdot \cos(60^\circ)$).

2. Déterminer la distance minimale entre les deux villes, mesurée sur l'arc de ce parallèle.

Un flacon de parfum a la forme d'une boule de rayon $R = 5 \text{ cm}$. Le flacon est contenu dans une boîte en forme de cylindre droit qui a le même rayon et une hauteur égale au diamètre de la boule.

1. Calculer la différence entre le volume de la boîte cylindrique et le volume de la boule.

2. Démontrer que l'aire latérale du cylindre est égale à l'aire de la sphère.

Une bille de plomb sphérique de $6 \text{ cm}$ de diamètre a été totalement immergée dans un récipient cylindrique de $10 \text{ cm}$ de rayon contenant de l'eau.

1. De combien le niveau de l'eau a-t-il monté dans le récipient après l'introduction de la bille ?

2. Si l'on fait ensuite fondre la bille de plomb pour fabriquer avec elle un cône dont la base a le même rayon que la boule d'origine ($3 \text{ cm}$), quelle sera la hauteur du cône ?

Pour fabriquer l'abat-jour d'une lampe design en forme de tronc de cône ouvert aux deux bases, un atelier d'éclairage de Marseille part des mesures suivantes : rayon supérieur $r = 10\text{ cm}$, rayon inférieur $R = 25\text{ cm}$ et hauteur verticale du tronc $h = 20\text{ cm}$. Deux membres de l'équipe technique proposent des méthodes différentes pour calculer les mètres carrés de tissu nécessaires (aire latérale) :

• Méthode d'Alba : calculer directement la génératrice du tronc grâce au triangle rectangle formé par la hauteur et la différence des rayons, puis appliquer la formule de l'aire latérale du tronc : $A_L = \pi \cdot (R + r) \cdot g$.

• Méthode de Bruno : prolonger le tronc jusqu'à compléter le cône d'origine. Calculer, par similitude de triangles, la génératrice du cône complet et celle du cône supérieur fictif, puis obtenir l'aire latérale en soustrayant les deux aires coniques : $A_L = A_{L,\text{grand}} - A_{L,\text{petit}}$.

1. a) Appliquer la méthode d'Alba pour obtenir la valeur exacte de l'aire latérale.
2. b) Appliquer la méthode de Bruno : écrire la proportion issue de la similitude pour trouver les génératrices nécessaires et calculer l'aire latérale par différence.
3. c) Comparer les deux méthodes : les résultats coïncident-ils exactement ? Justifier laquelle des deux démarches est la plus efficace pour ce calcul numérique et expliquer à quelle phase de la conception réelle (par exemple, lors de la découpe du patron plat de tissu avant de le courber) il est indispensable de connaître les mesures obtenues avec la méthode de Bruno.

Le Centre d'études de physique du cosmos projette une coupole de protection pour un nouveau capteur à l'Observatoire de Javalambre (Teruel). La base circulaire en béton sur laquelle reposera la structure a un rayon fixe de $4\text{ m}$. Les architectes étudient deux couvertures qui atteignent la même hauteur maximale de $4\text{ m}$ au-dessus du sol :

• Option A (hémisphérique) : une coupole en forme de demi-sphère de rayon $r = 4\text{ m}$.

• Option B (conique) : une couverture conique de rayon de base $r = 4\text{ m}$ et de hauteur au sommet $h = 4\text{ m}$.

1. a) Calculer l'aire de la surface extérieure exposée aux intempéries pour chacune des deux options (sans inclure le sol circulaire). Exprimer les résultats en fonction de $\pi$ et avec une valeur approchée au centième.
2. b) Démontrer algébriquement que le rapport entre l'aire de la couverture conique et l'aire de la coupole hémisphérique est une valeur constante indépendante du rayon, dès lors que la hauteur du cône est égale à son rayon ($h = r$). Quel est ce rapport exact exprimé avec des radicaux ?
3. c) Si le revêtement isolant extérieur coûte $130\text{ \euro/m}^2$, calculer l'économie exacte réalisée en choisissant l'option ayant la plus petite surface extérieure. Compte tenu du climat de haute montagne avec de fortes chutes de neige, quel avantage physique supplémentaire présente l'option géométrique la plus économique en ce qui concerne l'évacuation du poids de la neige accumulée ?