Ejercicios: Previsión de ingresos y costes: el umbral de rentabilidad

Explica con tus palabras qué es el umbral de rentabilidad o punto muerto, y qué significa vender por encima o por debajo de él.

La fórmula del punto muerto es $q^* = \frac{CF}{p - CV_u}$. Identifica qué representa cada término (CF, p, CV_u) y explica qué significa el denominador, llamado margen de contribución unitario.

La figura representa los ingresos totales (IT) y los costos totales (CT) de una empresa según las unidades vendidas, con los costos fijos (CF) como referencia. Explica qué representa el punto marcado con «?» y qué ocurre en las zonas de pérdidas y de beneficios.

Una florería tiene costos fijos de $\$1.500$ al mes, vende cada ramo a $\$15$ y le cuesta $\$9$ prepararlo. a) Calcula el punto de equilibrio mensual con la fórmula $q^* = \frac{CF}{p - CV_u}$. b) Explica qué ocurre con el resultado si vende exactamente esa cantidad de ramos.

Una empresa tiene un umbral de rentabilidad de 800 unidades mensuales. Explica, sin hacer cálculos, qué resultado obtendrá si vende 650 unidades, si vende 800 y si vende 1.000, razonando a partir del significado del punto muerto.

Un food truck de hamburguesas tiene estos datos mensuales: arriendo del espacio de $\$800$, sueldo del cocinero de $\$1.400$, ingredientes a $\$4$ por hamburguesa, envases a $\$1$ por hamburguesa, precio de venta de $\$11$ y un seguro que repartido supone $\$200$ al mes. a) Calcula los costos fijos mensuales y el costo variable unitario. b) Calcula el umbral de rentabilidad.

Define el margen de contribución unitario y calcúlalo para un producto que se vende a $\$25$ y cuesta $\$16$ fabricar. Explica a qué «contribuye» ese margen dentro de la empresa y qué ocurre con él una vez cubiertos los costos fijos.

La figura muestra los ingresos totales (IT) y los costes totales (CT) de una empresa según las unidades vendidas, con los costes fijos (CF) como referencia y las zonas de pérdidas y de beneficios sombreadas. a) Indica qué representa el punto marcado con «?». b) Estima, leyendo los ejes de la gráfica, cuántas unidades debe vender la empresa para no ganar ni perder. c) Razona, mirando la gráfica, si la empresa gana o pierde dinero cuando vende 60 unidades.

Una empresa tiene costos fijos de $\$6.000$ al mes, vende su producto a $\$30$ la unidad y a la empresa cada unidad le cuesta $\$18$ producirla. a) Calcula el punto de equilibrio mensual con la fórmula $q^* = \frac{CF}{p - CV_u}$. b) Explica qué significa ese número para la empresa.

El punto muerto de una tienda son 500 camisetas al mes. En junio vendió 400 y en julio, 620. Indica en qué mes tuvo pérdidas y en cuál beneficios, razona por qué no hace falta conocer los importes exactos para saberlo y explica qué representa cada camiseta vendida por encima de 500.

Una pastelería tiene un umbral de rentabilidad de 2.000 tartas al año. Analiza tres palancas para bajarlo —subir el precio, reducir los costos fijos y reducir el costo variable unitario— explicando cómo actúa cada una sobre la fórmula y qué riesgo tiene usarla.

Una fábrica de mochilas tiene costos fijos de $\$18.000$ al mes, vende cada mochila a $\$45$ y el costo variable unitario es de $\$25$. a) Calcula el punto de equilibrio mensual. b) Calcula la utilidad del mes si vende 1.200 mochilas: $B = (p - CV_u) \cdot q - CF$. c) Explica qué aporta al resultado cada mochila vendida por encima del punto de equilibrio.

Una editorial tiene costos fijos de $\$60.000$ al año, vende cada libro a $\$24$ y el costo variable unitario es de $\$14$. a) Calcula el punto de equilibrio en libros. b) Calcula el umbral en dólares, es decir, la cifra de ventas con la que ingresos y costos se igualan: $IT^* = p \cdot q^*$. c) Comenta qué información aporta cada una de las dos medidas.

Una academia tiene costos fijos de $\$9.000$ al mes, cobra $\$120$ por curso y soporta un costo variable de $\$60$ por alumno. a) Calcula su umbral de rentabilidad. b) Tras una subida del alquiler, los costos fijos pasan a $\$12.000$: calcula el nuevo umbral y comenta el cambio. c) Razona qué otras dos decisiones podrían compensar la subida de los costos fijos y cómo actuaría cada una sobre la fórmula.

Una heladería artesanal abre 300 días al año. Sus costos fijos anuales son de $\$54.000$, vende el helado a $\$4$ y cada uno le cuesta $\$2,5$. a) Calcula el punto de equilibrio anual en helados. b) Traduce ese punto de equilibrio a helados por día de apertura. c) Comenta si la cifra diaria parece alcanzable y qué datos del local y de la zona te gustaría conocer para valorarlo.

Una cafetería abre 25 días al mes con 12 mesas de 4 comensales y ofrece un único turno de almuerzos. Sus costos fijos mensuales son de $\$4.500$, el precio del menú es de $\$12$ y el costo variable por menú es de $\$7$. a) Calcula el punto de equilibrio en menús al mes y la tasa de ocupación media de las mesas necesaria para no tener pérdidas. b) Si la previsión de demanda para el próximo mes es del $60\ \%$ de su aforo máximo, el negocio tendría pérdidas. Para evitarlo, se plantean dos alternativas: 1) Ofrecer un menú premium a $\$15$ con un costo variable unitario de $\$8,5$, manteniendo los costos fijos. 2) Reducir los costos fijos un $20\ \%$ renegociando el arriendo, manteniendo el precio y el costo variable iniciales. Calcula el nuevo punto de equilibrio de cada alternativa y justifica cuál permite ser rentable con la demanda prevista.

Un emprendedor planea vender camisetas con unos costos fijos de $\$5.000$ al año. Pretende fijar un precio de venta de $\$10$, pese a que su costo variable de fabricación es de $\$11$ por camiseta. En su plan de negocio afirma: «Aunque el margen unitario sea negativo, si alcanzamos un volumen suficientemente grande de ventas, los ingresos totales superarán a los costos totales y cubriremos los costos fijos». a) Rebate cuantitativa y conceptualmente la afirmación del emprendedor: demuestra mediante la función de beneficios por qué es matemáticamente imposible alcanzar el umbral de rentabilidad y calcula las pérdidas si vendiera 5.000 camisetas. b) Para hacer viable el proyecto, un mentor le impone que el umbral de rentabilidad se sitúe como máximo en 1.000 camisetas. Si por limitaciones de mercado el precio no puede superar los $\$14$, determina analíticamente: 1) El costo variable unitario máximo admisible manteniendo los costos fijos en $\$5.000$. 2) La reducción porcentual de los costos fijos necesaria si el costo variable unitario solo pudiera rebajarse hasta $\$10,5$.

Una editorial de cómics tiene unos costos fijos anuales de $\$80.000$, vende cada cómic a $\$20$ y soporta un costo variable unitario de $\$12$. Su plan estratégico fija como meta alcanzar una utilidad de $\$40.000$, pero un informe comercial concluye que la demanda máxima del mercado no superará los 12.500 ejemplares. a) Calcula el punto muerto y demuestra cuantitativamente por qué la empresa no alcanzará su utilidad objetivo con las condiciones actuales a pesar de situarse por encima del umbral de rentabilidad. b) Para alcanzar los $\$40.000$ de utilidad vendiendo exactamente los 12.500 cómics previstos, la dirección analiza dos propuestas independientes: 1) Invertir en una plataforma de impresión bajo demanda, lo que reduciría el costo variable unitario manteniendo los costos fijos. 2) Externalizar la distribución para reducir los costos fijos, manteniendo el precio y el costo variable unitario. Calcula el costo variable unitario necesario en la propuesta 1 y el nivel máximo de costos fijos en la propuesta 2. c) Justifica cuál de las dos propuestas sitúa a la empresa en una posición de menor riesgo operativo en caso de una contracción imprevista de la demanda.

Una panadería puede producir como máximo 9.000 panes al mes por la capacidad de sus hornos. Sus costos fijos son de $\$15.000$ mensuales, el precio de venta es de $\$3,5$ el pan y el costo variable unitario, de $\$2$. a) Calcula el punto de equilibrio y compáralo con la capacidad máxima. b) Razona si el negocio es viable tal como está planteado. c) Propón y evalúa dos soluciones (subir el precio, reducir los costos fijos o ampliar la capacidad).

Una fábrica de jugos tiene costos fijos de $\$21.000$ al mes, vende el litro a $\$3$ y el costo variable unitario es de $\$1,8$. a) Calcula el punto de equilibrio actual. b) La materia prima se encarece un $10\ \%$ y la empresa decide subir el precio un $5\ \%$: calcula el nuevo costo variable unitario, el nuevo precio y el nuevo punto de equilibrio (redondea a litros enteros). c) Comenta si la subida del precio compensa el encarecimiento de la materia prima.

Reto del tema. ¿Es viable lanzar un servicio de meriendas saludables para los recreos de tu colegio? Evalúa este modelo de negocio completando las siguientes fases:

1. FODA del entorno: Define tu propuesta y elabora una matriz FODA con dos factores por cuadrante, consultando datos de precios en supermercados locales o estadísticas de gasto juvenil en el INEC.

2. Estructura de costos y precio: Determina el precio de venta ($P$) encuestando a cinco compañeros sobre su disposición a pagar. Estima costos fijos mensuales ($CF$, ej. cuota de autónomo reducida o permisos municipales: $80,0$ dólares) y el costo variable unitario ($CV_u$, ej. fruta, frutos secos y envase: $1,2$ dólares).

3. Umbral de rentabilidad: Calcula el punto muerto mediante la fórmula $Q^* = \frac{CF}{P - CV_u}$. Representa a mano la gráfica de ingresos y costos totales, señalando el umbral y las zonas de pérdidas y beneficios.

4. Dictamen final: Elabora un informe ejecutivo breve (una cara) donde concluyas si el volumen de ventas necesario es realista y qué estrategia FODA priorizarías para mitigar riesgos.

Se valorará:

• Precisión en el cálculo algebraico y representación gráfica del umbral de rentabilidad ($Q^*$).

• Realismo y coherencia en la obtención de costos y precios con datos contrastados.

• Profundidad analítica de la matriz FODA vinculada al contexto escolar.

• Capacidad crítica para argumentar la viabilidad final del proyecto.