Ejercicios: Modelo mecano-cuántico

Un haz de electrones viaja a una velocidad constante de $2.20 \times 10^{6}\,\mathrm{m\times s^{-1}}$. Datos: masa del electrón $m_{\mathrm{e}} = 9,109 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$; constante de Planck $h = 6,626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J\times s}$.

1. a) Calcula la longitud de onda de de Broglie asociada a cada electrón del haz.
2. b) Justifica si dicha longitud de onda es comparable con las distancias interatómicas típicas en un sólido (del orden de $10^{-10}\,\mathrm{m}$) y qué consecuencia física tiene este hecho para la difracción de partículas.

La velocidad de un electrón se determina experimentalmente como $v = 4.50 \times 10^{5}\,\mathrm{m\times s^{-1}}$ con una incertidumbre del $0.10\,\%$. Datos: $m_{\mathrm{e}} = 9,109 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$; $h = 6,626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J\times s}$; $\pi = 3.1416$.

1. a) Determina la incertidumbre mínima en la medida de su posición ($\Delta x$).
2. b) A partir del resultado, explica por qué el concepto clásico de trayectoria definida no es aplicable a un electrón dentro del átomo.

En el marco de la mecánica cuántica se sustituye el concepto de órbita del modelo de Bohr por el de orbital atómico.

1. a) Define con precisión el término «orbital atómico» indicando qué magnitud física representa el cuadrado de la función de onda ($|\psi|^2$).
2. b) Indica si conocer el orbital permite predecir con certeza la posición de un electrón antes de medirla y justifica tu respuesta citando el principio físico correspondiente.

La siguiente ilustración esquematiza una sección bidimensional de la densidad de puntos correspondiente a un orbital atómico tipo $s$, donde se destacan una región interior de alta densidad relativa (A) y una zona periférica de menor densidad (B), delimitadas por una superficie de contorno. Observa el diagrama

y responde a las siguientes cuestiones:

1. a) Explica el significado físico de la densidad de puntos en este diagrama y justifica por qué en el modelo cuántico no se dibuja una órbita circular o elíptica precisa.
2. b) Describe qué representa la línea de contorno exterior indicada habitualmente en los manuales para este tipo de orbital y razona si los signos algebraicos ($+$ o $-$) que a veces se asignan a las funciones de onda representan carga eléctrica positiva o negativa.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Considera dos partículas con la misma velocidad de $15.0\,\mathrm{m\times s^{-1}}$: un neutrón libre muy lento y una mota de polvo microscópica cuya masa es de $2.00 \times 10^{-10}\,\mathrm{g}$. Datos: masa del neutrón $m_{\mathrm{n}} = 1,675 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$; constante de Planck $h = 6,626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J\times s}$.

1. a) Calcula la longitud de onda de de Broglie asociada a cada una de las dos partículas.
2. b) Compara los valores obtenidos con dimensiones observables (como la luz visible o el espaciado atómico) y razona por qué el comportamiento ondulatorio es relevante para el neutrón pero totalmente inapreciable para la mota de polvo.

Se analiza la indeterminación en la medida del movimiento de dos cuerpos: un electrón confinado en una región nuclear teórica de $\Delta x = 1.00 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ y una pelota de tenis de masa $58.0\,\mathrm{g}$ localizada con una precisión de $\Delta x = 1.00 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$. Datos: $m_{\mathrm{e}} = 9,109 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$; $h = 6,626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J\times s}$; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m\times s^{-1}}$; $\pi = 3.1416$.

1. a) Calcula primero $\Delta p_{\min}=h/(4\pi\Delta x)$ y el valor que resultaría para $\Delta v$ si se aplicase la aproximación no relativista $p=mv$ en ambos casos.
2. b) Explica por qué el valor formal obtenido para el electrón muestra que la aproximación no relativista deja de ser válida, y no demuestra que un electrón pueda superar la velocidad de la luz. Compara este caso con la pelota.

Considera la representación espacial y las propiedades mecano-cuánticas de los orbitales atómicos $2p$.

1. a) Describe la geometría tridimensional de un orbital $2p_z$, indicando el número de lóbulos, la posición de su plano nodal y el valor de la probabilidad de encontrar al electrón en dicho plano.
2. b) En las representaciones gráficas de los orbitales $2p$ suele colorearse un lóbulo con signo positivo ($+$) y el otro con signo negativo ($-$). Explica detalladamente el significado físico de estos signos, diferenciándolo de la carga eléctrica, y analiza cómo influye esta propiedad en la formación de enlaces por solapamiento en fase o en oposición de fase.

En un cañón de electrones, los electrones parten del reposo y se aceleran mediante una diferencia de potencial eléctrico $\Delta V = 150\,\mathrm{V}$. Posteriormente, se hace pasar el haz por un colimador que restringe su coordenada transversal con una incertidumbre $\Delta x = 0.200\,\mathrm{nm}$. Datos: carga elemental $e = 1,602 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$; masa del electrón $m_{\mathrm{e}} = 9,109 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$; constante de Planck $h = 6,626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J\times s}$; $\pi = 3.1416$.

1. a) Calcula la velocidad alcanzada por los electrones y determina su longitud de onda de de Broglie asociada.
2. b) Calcula la incertidumbre mínima introducida en la componente transversal de su velocidad ($\Delta v_x$) y determina la dispersión angular mínima aproximada del haz $\theta \approx \Delta v_x / v$. Concluye si resulta admisible describir el haz mediante rayos clásicos de trayectoria rectilínea sin divergencia.

Un detector de impacto de partículas registra electrones individuales transmitidos a través de una lámina metálica delgada policristalina con espaciado interplanar $d = 0.125\,\mathrm{nm}$. Al inicio, cuando solo han llegado 20 electrones, la pantalla registra impactos puntuales aparentemente aleatorios. Tras el paso continuado de $10^{6}$ electrones, los impactos se acumulan formando un patrón nítido de anillos concéntricos idéntico a las figuras de interferencia óptica. Datos: $h = 6,626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J\times s}$; $m_{\mathrm{e}} = 9,109 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$.

1. a) Sabiendo que los anillos de difracción constructiva de primer orden siguen la condición geométrica $\lambda = 2d\sin\theta$ y que el primer anillo aparece a un ángulo $\theta = 30.0^\circ$, determina la velocidad que poseían los electrones incidentes.
2. b) Analiza este experimento a la luz de la dualidad onda-corpúsculo y el concepto mecano-cuántico de probabilidad: aclara si cada electrón se comporta como una partícula o como una onda durante su propagación y detección.