Aufgaben: Anwendungen des Satzes des Pythagoras

Ein Grafikdesigner hat ein rechteckiges Foto, das $10 \text{ cm}$ breit und $15 \text{ cm}$ hoch ist. Wenn er es zu einem Plakat vergrößern will, sodass die neue Breite $40 \text{ cm}$ beträgt, wie hoch wird das Plakat, wenn beide Figuren ähnlich sein sollen?

Im Plan einer Wohnsiedlung beträgt der Maßstab $1:500$. Wenn das Gemeinschaftsschwimmbad im Plan $3 \text{ cm}$ lang ist, wie lang ist es in Wirklichkeit, angegeben in Metern?

Zwei Quadrate sind ähnlich. Die Seite des ersten misst $4 \text{ cm}$ und die Seite des zweiten misst $12 \text{ cm}$. Berechne den Streckfaktor $k$ und erkläre, wievielmal so groß der Flächeninhalt des zweiten Quadrats im Vergleich zum ersten ist.

Zu einer bestimmten Tageszeit wirft ein senkrechter Pfahl der Höhe $2 \text{ m}$ einen Schatten von $1,5 \text{ m}$. Im selben Moment misst der Schatten eines nahen Strommasts $12 \text{ m}$. Berechne die Höhe des Strommasts mithilfe der Strahlensätze.

Ein Tablet hat einen rechteckigen Bildschirm mit den Maßen $24 \text{ cm}$ Breite und $7 \text{ cm}$ Höhe. Berechne die Länge seiner Diagonale mit dem Satz des Pythagoras.

Das Dach eines Gartenhäuschens hat die Form eines gleichschenkligen Dreiecks. Die Grundseite des Dreiecks misst $6 \text{ Meter}$ und die beiden gleich langen Seiten messen je $5 \text{ Meter}$. Berechne die Höhe des Daches.

Um eine Funkantenne zu sichern, wurde ein Spannseil von ihrer Spitze bis zum Boden gespannt. Wenn die Antenne $12 \text{ m}$ hoch ist und das Seil in einer Entfernung von $5 \text{ m}$ vom Fuß am Boden befestigt wird, wie lang ist das Seil?

Berechne den Umfang einer Raute, deren Diagonalen $16 \text{ cm}$ und $12 \text{ cm}$ lang sind. (Tipp: Denke daran, dass die Diagonalen einer Raute senkrecht aufeinander stehen und sich in ihrem Mittelpunkt schneiden, sodass vier gleiche rechtwinklige Dreiecke entstehen.)

Markus soll die Seitenlänge eines reflektierenden Schildes in Form einer Raute berechnen, deren Diagonalen $16\text{ cm}$ und $12\text{ cm}$ lang sind. Dazu schreibt er in sein Heft: $l^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$, also folgert er, dass die Seite $l = \sqrt{400} = 20\text{ cm}$ lang ist. Finde den geometrischen Fehler, den Markus gemacht hat, erkläre, warum man den Satz des Pythagoras mit diesen Angaben nicht direkt anwenden kann, und berechne den richtigen Wert der Seitenlänge der Raute.

Eine Terrassenplatte hat die Form eines regelmäßigen Sechsecks mit der Seitenlänge $10\text{ cm}$. Denke daran, dass in einem regelmäßigen Sechseck der Umkreisradius genau der Seitenlänge entspricht.

1. a) Überlege vor allen Rechnungen, ob die Höhe eines der Teildreiecke (Apothema) der Platte größer, kleiner oder gleich $10\text{ cm}$ sein muss, und schätze, ob ihr Wert näher bei $5\text{ cm}$ oder bei $9\text{ cm}$ liegt. Begründe deine Schätzung mit dem Zusammenhang zwischen Katheten und Hypotenuse.
2. b) Stelle das passende rechtwinklige Dreieck auf, berechne die genaue Länge des Apothemas, gerundet auf Hundertstel, und prüfe, ob deine anfängliche Schätzung richtig war.

Eine Gruppe von Schülern der Klasse 8 möchte die Höhe des Basketballkorbs auf dem Schulhof ohne Leiter berechnen. Zu einem bestimmten Zeitpunkt wirft Lukas, der $1,60 \text{ m}$ groß ist, einen Schatten von $0,80 \text{ m}$. Wenn im selben Moment der Schatten des Korbständers $1,52 \text{ m}$ misst, wie hoch ist der Korb? Zeichne eine Skizze der Situation und kennzeichne die ähnlichen Dreiecke.

Du kannst die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Im Plan eines Zimmers im Maßstab $1:50$ hat ein rechteckiger Schreibtisch die Maße $2,4 \text{ cm}$ Breite und $3,6 \text{ cm}$ Länge.

1. Berechne die tatsächlichen Maße des Tisches in Metern.

2. Der tatsächliche Flächeninhalt des Zimmers beträgt $12 \text{ m}^2$. Wie groß ist der Flächeninhalt des Zimmers im Plan, angegeben in $\text{cm}^2$?

Lina hat einen Fernseher mit $50$ Zoll gekauft. Wenn $1$ Zoll $2,54 \text{ cm}$ entspricht, misst die Bilddiagonale genau $127 \text{ cm}$. Wenn die Breite des Fernsehers $110 \text{ cm}$ beträgt, wie hoch ist dann der Bildschirm? Verwende den Satz des Pythagoras und runde das Ergebnis auf Zehntel.

Ein Mobilfunkmast der Höhe $12 \text{ m}$ wird am Boden mit zwei Spannseilen gesichert, die von seinem oberen Ende ausgehen. Jedes Seil ist in einer Entfernung von $5 \text{ m}$ vom Fuß des Masts verankert.

1. Wie viel Seil wird insgesamt benötigt, um den Mast zu sichern?

2. Wir wollen einen ähnlichen Mast der Höhe $18 \text{ m}$ aufstellen. In welcher Entfernung vom Fuß müssten die Seile verankert werden, damit die Konstruktion proportional bleibt?

Berechne den Umfang und den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks mit der Seitenlänge $8 \text{ cm}$. Um den Flächeninhalt zu bestimmen, musst du zuerst die Höhe eines der gleichseitigen Dreiecke, aus denen das Sechseck besteht, mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Diese Höhe heißt auch Apothema $ap$ des Sechsecks (Inkreisradius).

Ein Tischler entwirft ein Regal in Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Er hat ein Zwischenbrett parallel zur Grundlinie eingebaut. Die Gesamthöhe des Regals beträgt $150 \text{ cm}$ und die Grundlinie misst $90 \text{ cm}$. Das Zwischenbrett befindet sich in einer Höhe von $60 \text{ cm}$ über der Grundlinie:

1. Wie lang ist dieses Zwischenbrett?

2. Wie lang ist die schräge Leiste, die die Hypotenuse des gesamten Regals bildet?

Von einem Denkmal wurde ein Modell im Maßstab $1:250$ gebaut. Wenn das echte Denkmal ein Volumen von $1500 \text{ m}^3$ hat, berechne das Volumen des Modells in Kubikdezimetern ($\text{dm}^3$). Denke an den Zusammenhang zwischen dem Streckfaktor und dem Verhältnis der Volumina.

Um eine kleine Schlucht in einem Abenteuerpark zu überwinden, wurde eine Seilrutsche von $25 \text{ m}$ Länge installiert. Der Startpunkt befindet sich auf einem Turm in $18 \text{ m}$ Höhe und der Zielpunkt auf einer anderen Plattform in $3 \text{ m}$ Höhe. Wie groß ist die waagerechte Entfernung zwischen beiden Bauwerken?

An einer Wetterstation des Deutschen Wetterdienstes im Harz soll ein senkrechter Windmessmast der Höhe $12\text{ m}$ aufgestellt werden. Um seine Standfestigkeit bei Windböen zu sichern, wird er durch zwei Spannseile gehalten, die vom oberen Ende des Masts zu zwei Ankerpunkten auf dem waagerechten Boden führen. Wegen des felsigen Geländes wird der erste Anker $5\text{ m}$ vom Fuß des Masts entfernt gesetzt und der zweite Anker auf der gegenüberliegenden Seite $9\text{ m}$ von diesem Fuß entfernt. Für jedes Seil werden an jedem seiner beiden Enden zusätzlich $25\text{ cm}$ für die vorschriftsmäßigen Befestigungen benötigt. Berechne, wie viele Meter Seil insgesamt für beide Spannseile gekauft werden müssen. Runde das Endergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Ein Verkehrsschilderhersteller soll ein Warnschild in Form einer Raute entwerfen, deren Außenseite genau $25\text{ cm}$ lang sein muss.

1. a) Stelle mithilfe des Satzes des Pythagoras die Gleichung auf, die die Länge der längeren Diagonale ($D$), der kürzeren Diagonale ($d$) und die Seitenlänge der Raute verbindet.
2. b) Gehe nun umgekehrt vor: Gib zwei verschiedene Kombinationen positiver ganzer Zahlen für die vollständigen Diagonalenlängen ($D$ und $d$) an, die genau eine Seitenlänge von $25\text{ cm}$ ergeben. Begründe rechnerisch, warum beide Vorschläge gültig sind.

Ein Gamer möchte seine mechanische Tastatur von $52\text{ cm}$ Länge in einer Transportbox verstauen, die er gekauft hat. Die Box ist ein Quader mit den Innenmaßen $48\text{ cm}$ Länge, $18\text{ cm}$ Breite und $10\text{ cm}$ Höhe. Passt die Tastatur in die Box, wenn er sie zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken legt (Raumdiagonale)? Berechne die Länge der längsten Diagonale im Inneren der Box, um deine Antwort zu begründen.

Ein Paketdienst setzt Drohnen zur Paketzustellung ein. Damit die Landung auf einem Dach sicher ist, sendet die Drohne zwei Laserstrahlen aus, die am Sender einen rechten Winkel bilden. Die Drohne befindet sich in einer Höhe $h$ über dem Dach. Die Auftreffpunkte der Laser am Boden liegen auf einer Geraden mit der Senkrechten unter der Drohne und sind $15,6\text{ m}$ voneinander entfernt. Wenn einer der Auftreffpunkte $3,9\text{ m}$ von der Senkrechten unter der Drohne entfernt ist, berechne:

1. a) Die Flughöhe $h$ der Drohne mithilfe des Höhensatzes.
2. b) Die Entfernung von der Drohne zu jedem der beiden Landepunkte (die Katheten des Dreiecks).

Für ein Filmfestival wurde ein maßstäbliches Modell einer regelmäßigen Pyramide mit quadratischer Grundfläche gebaut. Die echte Pyramide hat eine Grundseitenlänge von $24\text{ m}$ und eine Höhe von $16\text{ m}$. Wenn das Modell mit dem Streckfaktor $k = 1:80$ gebaut wurde, berechne:

1. a) Die Länge der Seitenkante der echten Pyramide (du musst den Satz des Pythagoras zweimal anwenden).
2. b) Das Volumen des Modells in Kubikzentimetern, wenn du weißt, dass das Volumen einer Pyramide $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Grundfläche} \cdot \text{Höhe}$ beträgt. (Verwende den Zusammenhang $k^3$ für das Volumen.)

Ein Verkehrsschild hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge $90\text{ cm}$. In ihm befindet sich ein roter Streifen, der ein weiteres, ähnliches gleichseitiges Dreieck bildet. Wenn der Flächeninhalt des weißen Teils (des inneren Dreiecks) genau die Hälfte des gesamten Flächeninhalts des Schildes beträgt, wie groß ist dann der Streckfaktor zwischen dem kleinen und dem großen Dreieck? Wie lang ist die Seite des inneren Dreiecks? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Auf einem Platz steht ein senkrechter Mast. In einer Entfernung von $12\text{ m}$ von seinem Fußpunkt steht ein Scheinwerfer auf dem Boden, der Licht aussendet. Ein Jugendlicher der Größe $1,65\text{ m}$ stellt sich zwischen Scheinwerfer und Mast, in einer Entfernung von $3\text{ m}$ vom Scheinwerfer.

1. a) Berechne die Höhe des Masts, wenn der Schatten des Kopfes des Jungen genau auf die Spitze des Masts fällt.
2. b) Wenn der Junge $2\text{ m}$ auf den Mast zugeht, wie lang ist dann sein Schatten, der auf den Mast selbst fällt?

Das Logo einer neuen Modemarke ist eine Raute, die einem Rechteck der Länge $16\text{ cm}$ und der Breite $12\text{ cm}$ einbeschrieben ist. Die Eckpunkte der Raute sind die Mittelpunkte der Rechteckseiten. Berechne:

1. a) den Umfang der Raute.
2. b) den Flächeninhalt eines zweiten, zum ersten ähnlichen Logos, dessen Umfang dreimal so groß ist. Begründe, wie sich der Flächeninhalt ändert, ohne die neuen Seitenlängen zu berechnen.

Ein Leuchtturm der Höhe $35\text{ m}$ steht auf einer senkrechten Klippe. Von einem Schiff auf dem Meer aus beobachtet man, dass die Entfernung zum Fußpunkt des Leuchtturms (dem Punkt, an dem der Leuchtturm auf der Klippe beginnt) $100\text{ m}$ beträgt und die Entfernung zur Spitze des Leuchtturms $110\text{ m}$. Berechne:

1. a) die Höhe der Klippe über dem Meeresspiegel.
2. b) die waagerechte Entfernung vom Schiff bis zum Fuß der Klippe.

Auf einem Schrägdach soll eine rechteckige Solarplatte installiert werden. Das Dach hat eine Neigung, bei der es pro $4\text{ m}$ waagerechter Strecke um $3\text{ m}$ ansteigt.

1. a) Berechne die tatsächliche Länge des Dachstücks, das $8\text{ m}$ waagerechte Entfernung überdeckt.
2. b) Die Solarplatte ist $2\text{ m}$ lang und wird entlang der Dachneigung angebracht. Welche senkrechte Höhe $h$ überwindet die Platte zwischen ihrer Unterkante und ihrer Oberkante? (Verwende die Ähnlichkeit von Dreiecken.)

Eine Eigentümergemeinschaft in Düsseldorf will eine durchgehende gerade Rampe anbringen, um eine Außentreppe aus $4$ gleichen Stufen zu überbrücken. Jede Stufe hat eine Auftrittstiefe (waagerecht) von $18\text{ cm}$ und eine Steigung (senkrechte Höhe) von $15\text{ cm}$. Um den schrägen Handlauf zu bestellen, der die gesamte Rampe entlangläuft, brauchen sie seine Gesamtlänge. Zwei Mitglieder des Beirats schlagen unterschiedliche Methoden vor:

• Sonias Methode: Sie berechnet die Hypotenuse einer einzelnen Stufe mit dem Satz des Pythagoras aus deren Maßen ($18\text{ cm}$ und $15\text{ cm}$) und multipliziert das Ergebnis mit $4$.

• Roberts Methode: Er addiert zuerst die Maße der $4$ Stufen, um die gesamte Grundlinie ($4 \cdot 18 = 72\text{ cm}$) und die gesamte Höhe ($4 \cdot 15 = 60\text{ cm}$) zu erhalten, und wendet den Satz des Pythagoras nur einmal auf das große rechtwinklige Dreieck an.

1. a) Führe beide Methoden mit Rechnung auf zwei Nachkommastellen durch und prüfe, ob sich dieselbe Gesamtlänge ergibt.
2. b) Zeige mithilfe der Ähnlichkeit von Dreiecken, warum beide Verfahren mathematisch gleichwertig sind.
3. c) Begründe, welche der beiden Methoden empfehlenswerter ist, wenn man die Anhäufung von Rundungsfehlern minimieren möchte und die Stufenmaße ungenaue Dezimalstellen haben.

Bei einem Einfamilienhaus in Münster soll das symmetrische Satteldach (mit gleichschenkligem Dreieck als Profil) für die Installation von Photovoltaikmodulen saniert werden. Die waagerechte Fassade des Hauses ist $8\text{ m}$ breit und das Gebäude ist $12\text{ m}$ tief. Um die technischen Vorschriften zur Schneelast einzuhalten und einen guten Wasserablauf zu ermöglichen, muss die senkrechte Höhe des Firsts (der obere Eckpunkt des Daches) mindestens $3\text{ m}$ betragen, darf aber wegen der städtebaulichen Vorgaben der Gemeinde $4,5\text{ m}$ nicht überschreiten. Der Architekt hat zwei Arten von Holzbalken für die Dachschräge zur Verfügung:

• Balken A: $4,5\text{ m}$ lang.

• Balken B: $5,5\text{ m}$ lang.

1. a) Bestimme das rechtwinklige Dreieck im Dachprofil, berechne auf zwei Nachkommastellen die Firsthöhe, die sich mit jedem Balken ergäbe, und folgere, welche der beiden Möglichkeiten die einzige ist, die die technischen Vorschriften erfüllt.
2. b) Berechne für den zulässigen Balken den gesamten Flächeninhalt der geneigten Dachfläche, indem du die beiden rechteckigen Dachflächen des Hauses addierst.
3. c) Die Solarmodule sind rechteckig, $2\text{ m}$ lang und $1\text{ m}$ breit, und werden nur auf der Südseite des Daches angebracht (ein Rechteck von $12\text{ m}$ Tiefe mal der Länge des zulässigen Balkens). Untersuche, wie die Module ausgerichtet werden sollten (waagerecht oder senkrecht zum Boden), damit sie nicht über die Dachränder hinausragen, und berechne die maximale Anzahl vollständiger Module, die angebracht werden können.