Aufgaben: Irrationale Zahlen

Ordne die folgenden Zahlen als rational oder irrational ein und begründe deine Antwort anhand ihrer Dezimaldarstellung:

• $A = 3,14159265\dots$ (ohne jedes Wiederholungsmuster)

• $B = -2,33333\dots$

• $C = \sqrt{16}$

• $D = \sqrt{15}$

• $E = 2,121121112\dots$

Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Wenn sie falsch sind, schreibe ein Gegenbeispiel auf, das dies zeigt.

1. a) Die Summe zweier irrationaler Zahlen ergibt immer eine irrationale Zahl.
2. b) Alle Zahlen mit unendlich vielen Dezimalstellen sind irrational.
3. c) Die Zahl $\pi$ lässt sich exakt als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben.
4. d) Die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ besteht aus der Vereinigung der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ und der irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$.

Erfinde und schreibe die Dezimaldarstellung von zwei verschiedenen irrationalen Zahlen auf, die echt zwischen den Werten $7,4$ und $7,5$ liegen.

Ordne das exakte Ergebnis der folgenden Rechnungen als rationale oder irrationale Zahl ein, indem du zuerst rechnest:

1. a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt{3} + \sqrt{3}$
3. c) $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$
4. d) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}$

Ordne jede der folgenden berühmten irrationalen Zahlen ihrem mathematischen Symbol und ihrem auf Tausendstel genäherten Wert zu:

• Zahlen: Goldener Schnitt, Pi, Eulersche Zahl.

• Symbole: $\pi$, $e$, $\phi$.

• Werte: $2,718\dots$, $1,618\dots$, $3,141\dots$.

Bestimme, zu welchen Zahlenmengen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$, $\mathbb{R}$) die Zahl $-\sqrt{81}$ gehört. Schreibe alle Mengen auf, deren Element sie ist.

Schreibe eine irrationale Zahl in Form einer Quadratwurzel auf, die zwischen den Brüchen $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$ liegt.

Finde ohne Taschenrechner heraus, ob die Zahl $\sqrt{250}$ rational oder irrational ist. Begründe deine Überlegung, indem du sie zwischen den nächstgelegenen Quadratzahlen eingrenzt.

In einer Klasse 10 behauptet Marko bei der Korrektur laut: „Die Zahl $\sqrt{18}$ ist rational, weil die $18$ eine gerade Zahl ist, und außerdem ergibt es mit dem Taschenrechner $4,242640687$, was auf $7$ endet, also ist es eine abbrechende Dezimalzahl." Finde die beiden Denkfehler, die Marko gemacht hat, erkläre ausführlich, warum seine Überlegung in beiden Fällen falsch ist, und ordne $\sqrt{18}$ der richtigen Menge zu ($\mathbb{Q}$ oder $\mathbb{I}$), indem du deine Entscheidung mit dem Begriff der Quadratzahl begründest.

Die Stadt Münster hat quadratische Parzellen für Gemeinschaftsgärten im Stadtpark abgesteckt. Zwei benachbarte Parzellen haben Flächeninhalte von $36\text{ m}^2$ bzw. $20\text{ m}^2$. Um die Zäune rund um die Parzellen zu bestellen, müssen die Techniker die genaue Länge jeder Parzellenseite kennen.

1. a) Gib die genaue Seitenlänge jeder Parzelle mithilfe einer Wurzel an und ordne beide Werte als rational ($\mathbb{Q}$) oder irrational ($\mathbb{I}$) ein. Begründe deine Antwort danach, ob es sich um Quadratzahlen handelt oder nicht.
2. b) Der Platzwart behauptet, er könne ein handelsübliches Maßband kaufen und die Seite der Parzelle mit $20\text{ m}^2$ so messen, dass die Anzeige genau mit dem Ende des Zauns übereinstimmt, ohne dass etwas fehlt oder übrig bleibt. Erkläre begründet, warum das mathematisch unmöglich ist.

Stelle die Zahl $\sqrt{10}$ exakt auf dem Zahlenstrahl dar.

1. a) Verwende den Satz des Pythagoras, um zwei natürliche Zahlen zu finden, die als Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks dienen, dessen Hypotenuse die Länge $\sqrt{10}$ hat.
2. b) Beschreibe die Schritte der geometrischen Konstruktion mit Lineal und Zirkel, um $\sqrt{10}$ auf dem Zahlenstrahl zu markieren.

Das Standardformat von Kreditkarten und Personalausweisen nähert sich im Design einem „Goldenen Rechteck" an. Wenn die kürzere Seite eines Ausweises $53,98$ mm misst, berechne die exakte Länge der längeren Seite mithilfe des Goldenen Schnitts $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Ist das exakte Ergebnis eine rationale oder eine irrationale Zahl?

Die Periodendauer $T$ eines Fadenpendels (die Zeit für eine vollständige Schwingung hin und zurück) ergibt sich aus der physikalischen Formel $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, wobei $L$ die Fadenlänge und $g$ die Fallbeschleunigung ist. Berechne die exakte Periodendauer eines Pendels der Länge $10$ Meter unter der Annahme $g = 10 \text{ m/s}^2$. Ist die erhaltene Zeit eine rationale oder eine irrationale Zahl?

Finde eine rationale und eine irrationale Zahl, die echt zwischen der Dezimalnäherung $1,41$ und dem exakten Wert von $\sqrt{2}$ liegen. Begründe deine Antwort.

Führe die folgende algebraische Rechnung mithilfe der binomischen Formeln aus und ordne das Endergebnis ein, indem du angibst, zu welchen Zahlenmengen es gehört:

$(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) + (\sqrt{2})^2$

Stelle die irrationale Zahl $1 + \sqrt{5}$ auf dem Zahlenstrahl dar. Gehe dazu so vor:

1. a) Gib an, welches rechtwinklige Dreieck du für deine Konstruktion verwendest, und begründe die Länge seiner Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras.
2. b) Gib an, von welchem Punkt des Zahlenstrahls aus du den Kreisbogen zeichnen musst, um die Summe $1 + \sqrt{5}$ darzustellen.
3. c) Führe die grafische Darstellung auf dem Zahlenstrahl aus.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort einschicken.

Ein Fußballfeld hat die vorgeschriebenen Maße von $105$ m Länge und $68$ m Breite. Berechne die exakte Länge seiner Diagonale in Metern. Ist sie eine rationale oder eine irrationale Zahl? Wenn sie irrational ist, gib an, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen sie liegt.

In einen Kreis mit dem Radius $r = 5$ cm wird ein regelmäßiges Sechseck einbeschrieben. Berechne den exakten Umfang des Sechsecks und den exakten Umfang des Kreises. Zeige, dass der Quotient aus dem Kreisumfang und dem Umfang des Sechsecks eine irrationale Zahl ist, die nicht vom Radius abhängt.

Nach dem offiziellen Regelwerk des Deutschen Basketball Bundes (DBB) ist das vorgeschriebene Spielfeld ein Rechteck von $28\text{ m}$ Länge und $15\text{ m}$ Breite. Bei einem Fitnesstest müssen die Schiedsrichter geradlinig von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke sprinten (entlang der Diagonale).

1. a) Wende den Satz des Pythagoras an, um den exakten Ausdruck für die Länge dieser Diagonale aufzustellen, und begründe, warum diese Strecke eine irrationale Zahl ($\mathbb{I}$) ist.
2. b) Schätze, ohne die Wurzel als Dezimalzahl zu berechnen, begründet ab, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Metern die Länge dieser Diagonale liegt. Gib die Vergleichsquadrate an, die du zur Eingrenzung des Ergebnisses verwendest.
3. c) Ein Pulsmesser mit GPS zeichnet auf, dass die zurückgelegte Diagonale $31,76\text{ m}$ misst. Beurteile, ob dieses Ergebnis mit deiner vorherigen Schätzung vereinbar ist, und erkläre, warum der Messwert des Geräts zwangsläufig eine rationale Näherung und nicht die tatsächliche exakte Strecke ist.

Löse die folgenden Aufgaben, indem du die verlangten Zahlen konstruierst und dein Vorgehen begründest:

1. a) Schreibe die Dezimaldarstellung einer irrationalen Zahl auf, die echt zwischen den rationalen Zahlen $2,45$ und $2,46$ liegt. Beschreibe, um sicherzustellen, dass sie irrational ist, die unendliche, nichtperiodische Regel bzw. das Muster, mit dem du ihre Dezimalstellen erzeugst.
2. b) Finde eine natürliche Zahl $n$ zwischen $40$ und $55$, sodass $\sqrt{n}$ eine rationale Zahl ist, und eine andere natürliche Zahl $m$ in demselben Intervall, sodass $\sqrt{m}$ irrational ist. Begründe beide Wahlen mithilfe des Begriffs der Quadratzahl.
3. c) Entwirf eine Multiplikation zweier verschiedener irrationaler Zahlen $x$ und $y$, deren Ergebnis eine ganze Zahl ist. Erkläre, warum das Produkt zweier irrationaler Zahlen nicht immer irrational ist.

Beweise durch Widerspruch, dass $\sqrt{2}$ eine irrationale Zahl ist. Nimm dazu an, dass sie sich als vollständig gekürzter Bruch $\frac{a}{b}$ schreiben lässt (wobei $a$ und $b$ keine gemeinsamen Teiler haben), und führe die Annahme zu einem Widerspruch, indem du die Parität (gerade oder ungerade) von $a$ und $b$ untersuchst.

Ein Goldenes Rechteck hat die mathematische Eigenschaft, dass das verbleibende Rechteck dem ursprünglichen Rechteck ähnlich ist, wenn man ein Quadrat über seiner kürzeren Seite abtrennt. Wenn die kürzere Seite $1$ und die längere Seite $x$ misst, stelle die Ähnlichkeitsgleichung $\frac{x}{1} = \frac{1}{x-1}$ auf. Löse sie und zeige, dass die positive Lösung genau die irrationale Zahl $\phi$ ist.

Bestimme die rationalen Werte der Parameter $a$ und $b$ so, dass die folgende Gleichung gilt:

$(a + 2\sqrt{5})(3 - b\sqrt{5}) = 11 - \sqrt{5}$

Stelle die irrationale Zahl $\sqrt{7}$ exakt auf der Zahlengeraden dar. Da $7$ sich nicht als Summe zweier Quadratzahlen ganzer Zahlen schreiben lässt, kann man den Satz des Pythagoras nicht direkt mit ganzzahligen Katheten anwenden. Verwende stattdessen den Höhensatz, indem du über der Zahlengeraden einen Halbkreis konstruierst, wie es die schematische Darstellung in der Abbildung zeigt.

1. a) Begründe, wie man $7$ in ein Produkt zweier positiver ganzer Faktoren $m$ und $n$ zerlegt, sodass die Höhe auf die Hypotenuse die Länge $h = \sqrt{7}$ hat.
2. b) Legst du den Verbindungspunkt der beiden Strecken in den Koordinatenursprung ($0$), bestimme die Koordinaten der beiden Endpunkte des Durchmessers, die Lage des Mittelpunkts des Halbkreises auf der Achse und die Länge seines Radius.
3. c) Beschreibe ausführlich die geometrischen Schritte, die nötig sind, um den Halbkreis zu zeichnen, die Höhe zu errichten und mit dem Zirkel die exakte Länge $\sqrt{7}$ auf die positive Halbachse zu übertragen.

Zeige mithilfe von Gegenbeispielen, dass die Menge der irrationalen Zahlen ($\mathbb{I}$) bezüglich der vier Grundrechenarten nicht abgeschlossen ist. Finde also jeweils zwei irrationale Zahlen, deren Summe, Differenz, Produkt und Quotient in jedem der vier Fälle eine rationale Zahl ergeben.

Finde zwei irrationale Zahlen $x$ und $y$, sodass die Potenz $x^y$ eine rationale Zahl ist.

Die Raumdiagonale eines Würfels (die Strecke, die zwei gegenüberliegende Ecken durch den Mittelpunkt des Würfels verbindet) ist genau $\sqrt{12}$ cm lang. Berechne exakt die Oberfläche und das Volumen des Würfels. Ordne die erhaltenen Ergebnisse als rationale oder irrationale Zahlen ein.

Bestimme, für welche positiven ganzen Werte von $n$ der Term $\sqrt{n^2 + 5n + 6}$ eine rationale Zahl ist.

Um herauszufinden, ob die reelle Zahl $N = \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} + \sqrt{2}$ rational oder irrational ist, schlagen zwei Schüler der Klasse 10 unterschiedliche Strategien vor:

• Davids Strategie: Er gibt den Term in den wissenschaftlichen Taschenrechner ein, erhält den Wert $3$ und schließt, dass die Zahl rational ist, weil das Ergebnis keine Nachkommastellen zeigt.

• Saras Strategie: Sie vermutet, dass der Radikand $11 - 6\sqrt{2}$ aus der Entwicklung des Quadrats einer Differenz stammt. Sie berechnet algebraisch $(3 - \sqrt{2})^2$, um das zu überprüfen, und vereinfacht die verschachtelte Wurzel, bevor sie die Zahl einordnet.

1. a) Analysiere beide Strategien kritisch: Erkläre, warum Davids Taschenrechner bei dieser Art von Aufgaben kein strenger mathematischer Beweis ist und welchen inhaltlichen Vorteil Saras Methode bietet.
2. b) Führe die Rechnung nach Saras Strategie durch, um den exakten, vereinfachten Wert von $N$ zu erhalten. Ordne ihn endgültig den Zahlen $\mathbb{Q}$ oder $\mathbb{I}$ zu.
3. c) Formuliere aus deinen Beobachtungen eine allgemeine Schlussfolgerung über das Risiko, eine Zahl mit Wurzeln einzuordnen, bevor ihr Term vollständig vereinfacht wurde.

Eine Firma installiert dreieckige Halterungen für Solarmodule auf einer Industriehalle in Paderborn und richtet sich dabei nach den Neigungsvorgaben der Energieagentur. Jede seitliche Halterung hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen waagerechte Grundseite genau $1,6\text{ m}$ und dessen schräger Träger (Hypotenuse) $2,0\text{ m}$ lang ist.

1. a) Modelliere die Situation, indem du die exakte senkrechte Höhe $h$ der Halterung in Metern (in Wurzelform) berechnest. Gib den Radikanden als vollständig gekürzten Bruch an und begründe, ob diese Höhe $h$ eine rationale ($\mathbb{Q}$) oder irrationale ($\mathbb{I}$) Zahl ist.
2. b) Ein Monteur behauptet: „Da die Ausgangswerte $1,6$ und $2,0$ endliche Dezimalzahlen mit nur einer Nachkommastelle sind, muss auch die Höhe $h$ eine endliche Dezimalzahl sein: genau $1,2\text{ m}$.“ Zeige algebraisch, ob $h = 1,2\text{ m}$ der exakte Wert oder nur eine fehlerhafte Näherung ist.
3. c) Die kommunale Bauvorschrift verlangt, dass die senkrechte Höhe der Konstruktion $\sqrt{1,5}\text{ m}$ nicht überschreitet. Entscheide begründet und ohne näherungsweise Dezimalrechnung mit dem Taschenrechner, ob die Konstruktion die Vorschrift erfüllt, indem du direkt die Quadrate beider Längen vergleichst.