Aufgaben: Beweise nachvollziehen und führen

Ein Quadrat mit der Seitenlänge $a+b$ wird in vier kongruente rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten $a$, $b$ und der Hypotenuse $c$ sowie ein inneres Quadrat mit der Seitenlänge $c$ zerlegt.

1. a) Gib den Flächeninhalt des großen Quadrats als Term in $a$ und $b$ an.

1. b) Gib den Flächeninhalt eines der vier Dreiecke an.

1. c) Gib den Flächeninhalt des inneren Quadrats an.

Ergänze die Lücken im Beweis des Satzes des Pythagoras:

Fläche großes Quadrat $=(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Fläche aus Teilen $= 4\cdot\frac{1}{2}ab + \ \_\_\_ = 2ab + \ \_\_\_$.

Gleichsetzen: $a^2+2ab+b^2 = 2ab+\_\_\_$, also $a^2+b^2=\_\_\_$.

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten $a=5\text{ cm}$ und $b=12\text{ cm}$.

1. a) Berechne $a^2$, $b^2$ und $c^2$.

1. b) Berechne die Länge $c$ der Hypotenuse.

1. c) Überprüfe die Formel $(a+b)^2 = 2ab + c^2$ mit diesen Zahlen.

Bringe die Schritte eines Beweises in die richtige Reihenfolge (Buchstaben angeben):

(A) Also gilt $a^2+b^2=c^2$.

(B) Das so entstandene große Quadrat mit Seitenlänge $a+b$ hat die Fläche $(a+b)^2$.

(C) Man legt vier kongruente rechtwinklige Dreiecke so in ein Quadrat, dass in der Mitte ein Quadrat mit Seitenlänge $c$ entsteht.

(D) Die Fläche besteht aus vier Dreiecken und dem inneren Quadrat: $4\cdot\frac{ab}{2}+c^2$.

(E) Gleichsetzen und vereinfachen: $a^2+2ab+b^2 = 2ab+c^2$.

Ein anderer Beweis legt vier kongruente Dreiecke mit Katheten $a$, $b$ so in ein Quadrat mit der Seitenlänge $c$, dass in der Mitte ein kleines Quadrat mit Seitenlänge $b-a$ entsteht ($b>a$).

1. a) Gib die Fläche des großen Quadrats an.

1. b) Gib die Fläche der vier Dreiecke und die Fläche des kleinen Quadrats an.

1. c) Leite daraus $c^2 = a^2+b^2$ ab.

Prüfe, ob das Dreieck mit den Seiten $9\text{ cm}$, $40\text{ cm}$ und $41\text{ cm}$ rechtwinklig ist.

1. a) Rechne mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras.

1. b) Formuliere die Umkehrung als „Wenn …, dann …“-Satz.

1. c) Zeichne die Idee: Welche Seite wäre bei einem rechten Winkel die Hypotenuse und warum?

Tim „beweist“: „Ein Dreieck mit $a=3$, $b=4$, $c=5$ ist rechtwinklig, weil $9+16=25$. Also gilt der Satz des Pythagoras für alle Dreiecke.“

1. a) Erkläre, warum ein einzelnes Zahlenbeispiel kein Beweis ist.

1. b) Finde ein Dreieck, für das $a^2+b^2=c^2$ nicht gilt, und gib die Seitenlängen an.

1. c) Skizziere (in Worten) einen allgemeinen Beweis.

Beim Beweis mit dem Kathetensatz wird im rechtwinkligen Dreieck $ABC$ (rechter Winkel bei $C$) die Höhe $h$ auf die Hypotenuse gezeichnet. Sie teilt $c$ in die Abschnitte $p$ und $q$ ($c=p+q$). Es gilt $a^2 = c\cdot p$ und $b^2 = c\cdot q$ (Kathetensatz).

1. a) Zeige mit diesen beiden Gleichungen, dass $a^2+b^2=c^2$ gilt.

1. b) Berechne $a$ und $b$ für $c=10\text{ cm}$, $p=3{,}6\text{ cm}$ und $q=6{,}4\text{ cm}$.

1. c) Überprüfe, dass für die Werte aus b) der Satz des Pythagoras gilt.

Ein Beweisversuch lautet: „Die vier Dreiecke haben zusammen die Fläche $4\cdot\frac{ab}{2}$. Das große Quadrat hat die Seitenlänge $a+b$, also die Fläche $a^2+b^2$. Das innere Quadrat hat die Fläche $c^2$. Es folgt $a^2+b^2=2ab+c^2$.“

1. a) Finde den Fehler im Beweis.

1. b) Korrigiere den Beweis vollständig.

1. c) Zeige, dass sich aus der falschen Gleichung $a^2+b^2=2ab+c^2$ ein Widerspruch zum richtigen Ergebnis ergibt, indem du $a=3$, $b=4$ einsetzt.