Aufgaben: Relative Häufigkeit und experimentelle Wahrscheinlichkeit

Wir haben eine Münze $50$-mal geworfen, und es ist $28$-mal Kopf gefallen.

1. a) Wie groß ist die absolute Häufigkeit von „Kopf“? Und die von „Zahl“?
2. b) Berechne die relative Häufigkeit von „Kopf“ als Bruch und als Dezimalzahl.
3. c) Und die relative Häufigkeit von „Zahl“?

Eine Basketballspielerin hat von ihren letzten $60$ Freiwürfen $45$ getroffen.

1. a) Wie groß ist ihre relative Häufigkeit für einen Treffer?
2. b) Wenn sie morgen einen Freiwurf wirft, welche experimentelle Wahrscheinlichkeit würdest du dafür ansetzen, dass sie trifft? Gib sie als Bruch, als Dezimalzahl und in Prozent an.

Markus spielt mit einer fairen $1$-Euro-Münze. Er wirft sie $10$-mal hintereinander und erhält $8$-mal Zahl und nur $2$-mal Kopf. Am Ende behauptet Markus voller Überzeugung: „Weil die theoretische Wahrscheinlichkeit für Kopf $0,5$ beträgt, muss in den nächsten $10$ Würfen zwangsläufig mindestens $8$-mal Kopf fallen, um die Serie auszugleichen und damit sich die relative Häufigkeit bei der theoretischen Wahrscheinlichkeit einpendelt."

1. a) Finde den Fehler in Markus' Behauptung und erkläre, warum seine Überlegung falsch ist. Denke dabei an den Grundsatz „Der Zufall hat kein Gedächtnis".
2. b) Berechne die relative Häufigkeit des Ereignisses „Kopf fällt" in Markus' ersten $10$ Würfen als Bruch und als Dezimalzahl. Widerspricht dieses Ergebnis der Annahme, dass die Münze fair ist?
3. c) Markus wirft dieselbe Münze weiter, bis er $1.000$ Würfe erreicht hat. Erkläre, wie sich die relative Häufigkeit tatsächlich stabilisiert: Muss die Münze die fehlenden Kopfwürfe „zurückgeben", oder verliert der Einfluss dieser ersten $8$ Zahlwürfe einfach an Gewicht, weil die Gesamtzahl der Würfe so groß wird?

In einer Recyclinganlage für Verpackungen in Düsseldorf prüft ein optischer Sensor Plastikflaschen, um die fehlerhaften auszusortieren. Bei einem Testlauf am Vormittag erkannte der Sensor genau $18$ fehlerhafte Flaschen, das entspricht einer relativen Häufigkeit von $0,03$ für Fehler.

1. a) Stelle die passende mathematische Beziehung auf und berechne, wie viele Flaschen der Sensor bei diesem Testlauf insgesamt geprüft hat.
2. b) Wie viele nicht fehlerhafte Flaschen hat der Sensor bei diesem Testlauf passiert? Wie groß war ihre relative Häufigkeit in Prozent?
3. c) Wenn die Maschine am Nachmittag eine neue Charge von $800$ Flaschen derselben Art unter gleichen Bedingungen prüft, wie viele fehlerhafte Flaschen sind dann zu erwarten? Begründe deine Antwort mit dem Begriff der experimentellen Wahrscheinlichkeit.

Eine Gruppe von Schülern wirft einen Würfel $60$-mal und notiert die Ergebnisse: Die $1$ fällt $8$-mal; die $2$ $11$-mal; die $3$ $9$-mal; die $4$ $10$-mal; die $5$ $13$-mal, und die $6$ $9$-mal.

1. a) Erstelle die Tabelle der absoluten und relativen Häufigkeiten (letztere mit drei Dezimalstellen).
2. b) Welche „theoretische“ relative Häufigkeit würdest du für jede Seite erwarten, wenn der Würfel fair ist? Gib sie als Bruch und als gerundete Dezimalzahl an.
3. c) Welches Ergebnis ist am weitesten vom Erwarteten abgewichen? Glaubst du, dass der Würfel gezinkt ist? Begründe deine Antwort unter Berücksichtigung der Anzahl der Würfe.

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Auf dem Schulhof wird ein Spiel mit einer Reißzwecke gespielt: Sie kann mit der Spitze nach oben oder auf der Seite landen. Nach $200$ Würfen ist die Reißzwecke $112$-mal mit der Spitze nach oben gelandet.

1. a) Berechne die relative Häufigkeit von „Spitze nach oben“ und von „auf der Seite“.
2. b) Welche experimentelle Wahrscheinlichkeit würdest du jedem Ergebnis zuordnen?
3. c) Warum können wir bei diesem Experiment die Laplace-Regel nicht verwenden, um zu sagen, dass jedes Ergebnis $\frac{1}{2}$ beträgt?

Ein Brettspielclub veranstaltet eine Verlosung mit einem Glücksrad mit $5$ gleich großen Sektoren, die von $1$ bis $5$ nummeriert sind. Vor der Verlosung testet ein Zuschauer es, indem er es $500$-mal dreht, und erhält: Die $1$ erscheint $97$-mal; die $2$ $103$-mal; die $3$ $98$-mal; die $4$ $101$-mal, und die $5$ $101$-mal.

1. a) Berechne die relativen Häufigkeiten jeder Zahl.
2. b) Welche theoretische Wahrscheinlichkeit hat jede Zahl, wenn das Glücksrad fair ist?
3. c) Wirkt das Glücksrad ausgewogen? Begründe deine Antwort.

Im Naturwissenschaftslabor untersuchen zwei Schüler die experimentelle Wahrscheinlichkeit, dass ein Metall-Kronkorken mit der hohlen Seite nach oben oder mit der flachen Seite nach oben fällt. Nachdem sie den Kronkorken $250$-mal unter gleichen Bedingungen auf einen glatten Tisch geworfen haben, beobachten sie, dass die flache Seite $165$-mal nach oben liegt.

1. a) Schätze im Kopf, noch bevor du eine Division mit Dezimalzahlen durchführst, zwischen welchen runden Prozentwerten die relative Häufigkeit von „flache Seite oben“ liegt (zum Beispiel: Liegt sie näher bei $50\,\%$, bei $65\,\%$ oder bei $80\,\%$?). Erkläre, welche schnelle Überlegung im Kopf du zur Orientierung verwendet hast.
2. b) Überprüfe deine Schätzung, indem du die genaue relative Häufigkeit von „flache Seite oben“ und von „hohle Seite oben“ berechnest und sie als Dezimalzahl und in Prozent mit einer Nachkommastelle angibst.
3. c) Wenn ein Mitschüler denselben Kronkorken in einem Schnellspiel nur $5$-mal wirft: Ist sicher, dass er genau im in der vorigen Teilaufgabe berechneten Verhältnis mit der flachen Seite nach oben fällt? Begründe, warum die experimentelle Wahrscheinlichkeit nur dann verlässliche Aussagen liefert, wenn die Anzahl der Wiederholungen groß ist.

In einer Mathematikklasse soll die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden, dass eine massive Holzpyramide mit quadratischer Grundfläche und vier gleichen dreieckigen Seitenflächen beim Hochwerfen auf ihrer quadratischen Grundfläche liegen bleibt. Dazu gibt es zwei Vorschläge:

• Claras Methode: Direkt die Laplace-Regel anwenden und überlegen, dass die theoretische Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{5} = 0,2$ (also $20\,\%$) beträgt, da der Körper insgesamt $5$ Flächen hat und eine davon die Grundfläche ist.

• Mateos Methode: Die Pyramide $400$-mal auf eine gepolsterte Unterlage werfen, festhalten, wie oft sie auf der Grundfläche liegen bleibt, und die relative Häufigkeit dieses Ereignisses berechnen.

1. a) Vergleiche beide Methoden und begründe, welche für dieses Experiment geeignet ist. Welche unverzichtbare Bedingung verlangt die Laplace-Regel, die bei diesem geometrischen Körper nicht erfüllt ist?
2. b) Bei Anwendung der richtigen Methode und $400$ Würfen der Pyramide bleibt die Grundfläche $144$-mal unten liegen. Ordne den Ereignissen „auf der Grundfläche liegen“ und „auf einer dreieckigen Seitenfläche liegen“ die experimentelle Wahrscheinlichkeit zu und gib sie als vollständig gekürzte Brüche, Dezimalzahlen und Prozentwerte an.
3. c) Wenn ein dritter Schüler vorschlüge, die Pyramide nur $10$-mal zu werfen, um schneller fertig zu sein, begründe, warum seine Schätzung im Vergleich zu der mit $400$ Würfen wissenschaftlich nicht verlässlich wäre.

Das Diagramm zeigt, wie sich die relative Häufigkeit des Ereignisses „Kopf“ entwickelt, wenn wir eine Münze immer öfter werfen.

1. a) Welchem Wert nähert sich die relative Häufigkeit, wenn die Anzahl der Würfe sehr groß ist?
2. b) Warum sind die Schwankungen am Anfang groß und am Ende klein?
3. c) Wenn wir die Münze $100.000$-mal werfen würden, welche relative Häufigkeit würdest du ungefähr erwarten? Und wie viele Köpfe?
4. d) Widerspricht dieses Diagramm der Aussage „bei $10$ Würfen müssen $5$ Köpfe fallen“? Begründe deine Antwort.

Zwei Basketballspielerinnen prahlen mit ihrer Treffsicherheit:

• Lara hat von ihren letzten $20$ Freiwürfen $12$ getroffen.

• Miriam hat von ihren letzten $100$ Freiwürfen $45$ getroffen.

1. a) Berechne die relative Trefferhäufigkeit jeder Spielerin.
2. b) Welche der beiden hat die bessere Trefferquote?
3. c) Der Trainer muss eine der beiden für den entscheidenden Wurf auswählen und sagt: „Ich vertraue Miriams Zahl mehr, weil sie auf viel mehr Würfen beruht.“ Was meint er damit? Stimmst du seiner Überlegung zu? Argumentiere mit dem, was du über die relative Häufigkeit weißt.

Eine Mathe-App simuliert $11.000$ Würfelwürfe und erhält diese Ergebnisse: Die $1$ fällt $1.660$-mal; die $2$ $1.668$-mal; die $3$ $1.655$-mal; die $4$ $1.670$-mal; die $5$ $1.647$-mal, und die $6$ fällt $2.700$-mal.

1. a) Berechne die relative Häufigkeit jedes Ergebnisses auf vier Dezimalstellen.
2. b) Welche relative Häufigkeit würdest du für jede Seite ungefähr erwarten, wenn der virtuelle Würfel fair wäre?
3. c) Welche Seite ist deiner Vermutung nach „gezinkt“? Begründe deine Antwort, indem du die erhaltenen mit den erwarteten Häufigkeiten vergleichst.

Der Deutsche Wetterdienst (DWD) verfügt über die historischen Aufzeichnungen der letzten $50$ Jahre zu den Niederschlägen in der Stadt Essen im Mai (der $31$ Tage hat). In diesem Zeitraum von $1.550$ beobachteten Maitagen wurde an $310$ davon Niederschlag verzeichnet.

1. a) Modelliere diese Situation, indem du die experimentelle Wahrscheinlichkeit berechnest, dass es an einem beliebigen Maitag in Essen regnet. Gib sie als vollständig gekürzten Bruch, als Dezimalzahl und in Prozent an.
2. b) In diesem Jahr regnete es in den ersten $10$ Maitagen an $5$ davon. Berechne die relative Häufigkeit von Regen in diesen ersten zehn Tagen. Erlaubt diese Angabe die Aussage, dass das historische Modell des DWD falsch ist? Argumentiere, indem du den Unterschied zwischen zufälligem Verhalten auf kurze Sicht und der Stabilisierung der Häufigkeiten auf lange Sicht analysierst.
3. c) Wenn an den $21$ restlichen Tagen dieses Mai kein einziger Tag Regen brächte, wie groß wäre die relative Häufigkeit der Regentage im gesamten Mai dieses Jahres? Vergleiche diesen Endwert mit der historischen Wahrscheinlichkeit und erkläre, welches Prinzip der Wahrscheinlichkeitsrechnung diese Veränderung gegenüber dem Wert der ersten $10$ Tage veranschaulicht.

Zwei Schülergruppen wollen prüfen, ob eine alte Münze zugunsten von Kopf manipuliert ist oder ob es sich um eine ideale Münze handelt. Dafür liegen ihnen $100$ bereits durchgeführte Würfe vor, aufgeteilt in $5$ aufeinanderfolgende Serien zu je $20$ Würfen, mit folgenden Anzahlen von „Kopf“:

• Serie 1: $13$ Köpfe von $20$

• Serie 2: $8$ Köpfe von $20$

• Serie 3: $14$ Köpfe von $20$

• Serie 4: $9$ Köpfe von $20$

• Serie 5: $12$ Köpfe von $20$

Gruppe A untersucht die Serien einzeln und schließt: „In $3$ der $5$ Serien lag die relative Häufigkeit über $0,55$ ($65\,\%$, $70\,\%$ und $60\,\%$). Da die Mehrheit der Serien Kopf begünstigt, ist bewiesen, dass die Münze gezinkt ist.“

Gruppe B behauptet, diese Analyse sei fehlerhaft, und schlägt vor, alle Würfe zusammenzufassen und das Experiment auf mindestens $1.000$ Würfe auszuweiten, bevor Schlüsse gezogen werden.

1. a) Benenne den methodischen Fehler von Gruppe A. Warum kann die isolierte Bewertung kurzer Serien bei einem Zufallsphänomen zu einem falschen Schluss führen?
2. b) Berechne die gesamte relative Häufigkeit des Ereignisses „Kopf“ in allen $100$ durchgeführten Würfen (als Dezimalzahl und in Prozent). Wenn die Münze ideal wäre: Ist dieses Ergebnis aus $100$ Würfen ein schlüssiger Beweis dafür, dass sie gezinkt ist, oder lässt es sich auf die natürliche Schwankung des Zufalls zurückführen? Begründe deine Antwort.
3. c) Begründe, warum der Vorschlag von Gruppe B, auf $1.000$ Würfe auszuweiten, besser ist: Beschreibe, welches mathematische Muster die kumulierte relative Häufigkeit zeigen würde, wenn die Münze ideal wäre, im Vergleich zu dem Muster, das sie zeigen würde, wenn sie tatsächlich mit einer theoretischen Wahrscheinlichkeit für Kopf von $0,60$ gezinkt wäre.

Herausforderung zum Thema. Können wir das Wetter mit Mathematik vorhersagen? Werde mit dieser Herausforderung zum Wetteranalysten.

1. Ergebnismenge und Daten: Rufe die Website des DWD auf und halte in einer Tabellenkalkulation fest, ob es an deinem Wohnort in den letzten $30$ Tagen geregnet hat oder nicht. Lege die Ergebnismenge $E$ des täglichen Wetters fest.

2. Laplace und Wirklichkeit: Berechne die relative Häufigkeit des Ereignisses „Regentag“ ($f$). Überlege, ob es sinnvoll ist, die Laplace-Regel anzuwenden und dem Regen $P = 1/2 = 0,5$ zuzuweisen. Begründe, ob beide Ergebnisse in deiner Gemeinde gleich wahrscheinlich sind.

3. Experimentelle Simulation: Wirf eine Münze $50$-mal (Kopf = Regen, Zahl = kein Regen), um ein Modell mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen zu simulieren. Notiere die kumulierten relativen Häufigkeiten alle $10$ Würfe und beobachte ihre Tendenz zur theoretischen Wahrscheinlichkeit.

4. Endprodukt: Erstelle einen kurzen Bericht (eine Seite) mit einem Vergleichsdiagramm zwischen deinen Würfen und den realen DWD-Aufzeichnungen und erkläre, welche Unterschiede zwischen experimenteller und theoretischer Wahrscheinlichkeit bestehen.

Bewertet wird:

• Richtige Bestimmung der Ergebnismenge und strenge Begründung für die Verwendung von Laplace.

• Umgang mit der Tabellenkalkulation, um Daten zu tabellieren und relative Häufigkeiten genau zu berechnen.

• Nachdenklicher Vergleich zwischen dem Zufallsexperiment und den realen Wetterdaten.

• Klarheit der Darstellung in den Schlussfolgerungen des Abschlussberichts.