Aufgaben: Ortslinien

Ein Jugendlicher trainiert seinen Hund auf einer Freifläche. Der Hund ist an einer Ausziehleine mit einer maximalen Länge von $5$ Metern befestigt, die an einem in den Boden geschlagenen Pflock verankert ist. Zeichne und beschreibe den geometrischen Ort aller Positionen, an denen sich der Hund aufhalten kann, wenn die Leine stets gespannt ist (also maximal gestreckt). Wähle einen geeigneten Maßstab, zum Beispiel $1$ cm in der Zeichnung entsprechen $1$ m in der Wirklichkeit, und markiere in deiner Zeichnung den Pflock und die Position des Hundes.

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Zwei Dörfer, Dorf A und Dorf B, liegen wie in der Abbildung $8$ km voneinander entfernt. Die Behörden wollen eine Bushaltestelle bauen, die von beiden Dörfern genau gleich weit entfernt ist. Auf welcher Linie bzw. welchem geometrischen Ort muss die Haltestelle liegen? Stelle dies in deinem Heft zeichnerisch dar.

In einem Museum bilden zwei Wände einen Winkel von $70^\circ$. Es soll eine Vitrine aufgestellt werden, die stets von beiden Wänden gleich weit entfernt ist. Zeichne den Winkel und konstruiere den geometrischen Ort, an dem die Ausstellungsstücke der Vitrine stehen könnten. Wie heißt diese Linie fachsprachlich?

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Bestimme den besonderen Punkt des Dreiecks, der jeweils beschrieben wird:

1. a) Es ist der Punkt, der von den drei Ecken des Dreiecks gleich weit entfernt ist.
2. b) Es ist der Punkt, in dem sich die drei Höhen eines Dreiecks schneiden.
3. c) Es ist der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks (des Kreises, der alle drei Seiten berührt).
4. d) Es ist der Schwerpunkt des Dreiecks und der Punkt, in dem sich die Seitenhalbierenden schneiden.

Zeichne in dein Heft ein Dreieck mit den Seitenlängen $6$ cm, $8$ cm und $10$ cm (in der Abbildung siehst du eine Skizze des Dreiecks). Konstruiere seine drei Mittelsenkrechten und markiere ihren Schnittpunkt. Überprüfe mit dem Zirkel, dass dieser Punkt der Mittelpunkt eines Kreises ist, der durch die drei Ecken verläuft. Wie heißt dieser Punkt?

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Ein Park hat wie in der Abbildung die Form eines Dreiecks. Im Inneren des Parks soll ein Brunnen so aufgestellt werden, dass er von jedem der drei Wege (Seiten des Parks) gleich weit entfernt ist.

1. a) Welche besonderen Geraden des Dreiecks müsstest du zeichnen, um den Standort zu finden?

1. b) Wie heißt der entstehende Punkt?

Es wurde ein neuer, gerader Radweg geplant, der durch das Zentrum einer Stadt führt. Aus Sicherheitsgründen darf in einem Abstand von weniger als $15$ Metern von diesem Radweg kein Gebäude errichtet werden. Beschreibe den geometrischen Ort, der die Sperrzone auf beiden Seiten des Radwegs begrenzt, und zeichne eine einfache Skizze.

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Ist es möglich, dass in einem Dreieck Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt, Schwerpunkt und Höhenschnittpunkt in einem einzigen Punkt zusammenfallen? Gib im bejahenden Fall an, um welche Art von Dreieck es sich handeln muss, und zeichne es mit diesem markierten Punkt.

Im Mathematikunterricht der Klasse 9 bittet die Lehrerin darum, den geometrischen Ort der Punkte zu definieren und zu zeichnen, die von zwei Pfosten $A$ und $B$ gleich weit entfernt sind, die $6\text{ m}$ voneinander entfernt stehen. Sergio schreibt in sein Heft:\n\n„Der geometrische Ort ist die Strecke der Länge $6\text{ m}$, die genau durch den Mittelpunkt zwischen $A$ und $B$ verläuft und senkrecht auf der Verbindungslinie steht; wenn wir über diese $6\text{ m}$ hinausgehen, können die Punkte nicht mehr von $A$ und $B$ gleich weit entfernt sein, weil sie zu weit weg wären.“\n\na) Benenne die beiden fachlichen Fehler, die Sergio in seiner Argumentation macht.\nb) Erkläre, warum die Entfernung eines Punktes ihn nicht daran hindert, zu diesem geometrischen Ort zu gehören, und formuliere die richtige Definition des betreffenden geometrischen Ortes.

Auf einem Sportplatz stehen zwei Trainingsmarkierungen an den Punkten $A$ und $B$, die genau $8\text{ m}$ voneinander entfernt sind. Ein Ball soll an einer Stelle liegen, die zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt: Sie ist von $A$ und $B$ gleich weit entfernt und liegt genau $5\text{ m}$ von der Markierung $A$ entfernt.\n\na) Schätze: Schätze, bevor du rechnest oder genau zeichnest, begründet ab, wie viele mögliche Positionen es auf dem Platz für den Ball gibt (keine, eine, zwei oder unendlich viele?). Stütze deine Vermutung auf den anschaulichen Vergleich zwischen dem Suchradius und dem Abstand der Markierungen.\nb) Überprüfe: Gib an, welche zwei geometrischen Orte zu den beiden Bedingungen gehören. Berechne anschließend mit dem Satz des Pythagoras im passenden Dreieck den genauen Abstand des Balls von der Geraden durch $A$ und $B$ und entscheide, ob deine anfängliche Schätzung richtig war.

Auf dem Schulhof stehen zwei WLAN-Antennen an den Punkten $A$ und $B$, die $12$ Meter voneinander entfernt sind (die Abbildung zeigt nur die Antennen). Ein Schüler sucht einen Sitzplatz, an dem er von beiden Antennen die gleiche Signalstärke empfängt.

1. a) Beschreibe, welche Ortslinie alle Punkte bilden, die von $A$ und $B$ gleich weit entfernt sind.

1. b) Wenn der Schüler außerdem genau $10$ Meter von der Antenne $A$ entfernt sein möchte, an wie vielen möglichen Stellen des Schulhofs könnte er sich aufhalten? Erkläre, welche geometrischen Figuren du zeichnen müsstest, um sie zu finden.

Eine Gemeinde möchte auf einem kleinen dreieckigen Platz, dessen Eckpunkte in den Punkten $P$, $Q$ und $R$ liegen (siehe Abbildung), eine Straßenlaterne aufstellen. Man hat beschlossen, dass die Laterne von allen drei Ecken (Eckpunkten) des Platzes gleich weit entfernt sein soll, damit die Beleuchtung ausgewogen ist.

1. a) Wie heißt der besondere Punkt des Dreiecks, an dem die Laterne aufgestellt werden soll?

1. b) Welche besonderen Geraden des Dreiecks muss man zeichnen, um diesen Punkt zu finden? Zeichne eine Skizze.

Zwei gerade Straßen eines Stadtviertels, die Hauptstraße und die Nebenstraße, kreuzen sich in einem Punkt $O$ unter einem Winkel von $60^\circ$, wie in der Abbildung zu sehen. Es soll ein Mülleimer aufgestellt werden, der zwei Bedingungen erfüllt: Er soll von beiden Straßen gleich weit entfernt sein und genau $5$ Meter vom Schnittpunkt $O$ entfernt liegen. Betrachte die Straßen als Geraden, die sich in beide Richtungen unbegrenzt fortsetzen.

1. a) Gib die Ortslinie an, die die erste Bedingung erfüllt (von beiden Straßen gleich weit entfernt sein).

1. b) Erkläre mithilfe des Begriffs der Ortslinie, wie du die genaue Position des Mülleimers bestimmen würdest. Wie viele Lösungen gibt es insgesamt?

Bei einem Fußballtraining wird ein Ball an einer Stelle platziert, die von den beiden Seitenlinien (die parallel zueinander sind) gleich weit entfernt ist. Wenn das Spielfeld $60$ Meter breit ist:

1. a) Beschreibe die Ortslinie, auf der der Ball liegen kann.
2. b) Wenn der Trainer eine weitere Bedingung stellt und sagt, der Ball müsse $20$ Meter von einer bestimmten Eckfahne entfernt sein, zeichne eine Skizze der Situation und bestimme die Punkte, die beide Bedingungen erfüllen.

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto mit deiner Antwort einsenden.

Eine Grafikdesignerin entwirft ein Logo auf Grundlage eines ungleichseitigen Dreiecks. Sie möchte in das Dreieck einen Kreis so einbeschreiben, dass er alle drei Seiten berührt.

1. a) Welcher besondere Punkt des Dreiecks muss der Mittelpunkt dieses Kreises sein?
2. b) Wenn der Abstand dieses Mittelpunkts zu einer der Seiten $3$ cm beträgt, wie groß ist dann der Abstand zu den beiden anderen Seiten? Begründe deine Antwort anhand der Definition dieser Ortslinie.

Drei Freunde, Anna, Ben und Clara, stehen in einem Park und bilden ein Dreieck. Anna und Ben sind $10$ Meter voneinander entfernt. Clara stellt fest, dass sie sich an einem Punkt befindet, von dem aus der Winkel zwischen den Blickrichtungen zu Anna und Ben immer $90^\circ$ beträgt. Die Abbildung zeigt eine der möglichen Positionen von Clara.

1. a) Wie heißt die Ortslinie, auf der sich Clara befindet?
2. b) Wenn Clara sich so bewegt, dass dieser Winkel von $90^\circ$ zu ihren Freunden immer erhalten bleibt, welche geometrische Figur beschreibt dann ihre Bahn? Gib an, wo ihr Mittelpunkt liegt und wie groß ihr Radius ist.

Für ein Brettspiel wurde Folgendes entworfen: Eine Spielfigur muss auf den „Schwerpunkt“ eines dreieckigen Pappstücks gesetzt werden, damit dieses auf einer Bleistiftspitze im Gleichgewicht bleibt. Die Seiten des Dreiecks sind $15$ cm, $20$ cm und $25$ cm lang. In der Abbildung siehst du das Stück $ABC$ (mit dem rechten Winkel bei $A$), seine drei Seitenhalbierenden und den Punkt $P$, auf den die Spielfigur gesetzt wird.

1. a) Wie heißt dieser Gleichgewichtspunkt in der Geometrie?
2. b) Zeichnest du eine der Seitenhalbierenden dieses Dreiecks, in welchem Verhältnis teilt der Gleichgewichtspunkt diese Seitenhalbierende? Gib das Verhältnis zwischen dem Abstand des Punktes zur Ecke und dem Abstand des Punktes zur gegenüberliegenden Seite an.

Ein Logistikunternehmen möchte ein Zentrallager einrichten, das drei Filialen an den Punkten $A(2|6)$, $B(2|0)$ und $C(10|0)$ (Einheiten in km) beliefert. Um die Transportkosten zu minimieren, soll das Lager von allen drei Filialen gleich weit entfernt sein.

1. a) Bestimme mithilfe der Mittelsenkrechten die Koordinaten des Punktes, an dem das Lager errichtet werden soll.

1. b) Wie heißt der geometrische Ort aller Punkte, die von $B$ den Abstand $5$ km haben? Läge die Filiale $C$ innerhalb dieses Bereichs?

Der Rettungsdienst in Kastilien und León plant eine regionale Rettungswache, die die Ortskerne dreier Gemeinden in gleicher Anfahrtszeit erreicht: Arévalo ($A$), Medina del Campo ($M$) und Olmedo ($O$). Die Luftlinienentfernungen zwischen ihren Zentren betragen ungefähr $AM = 34\text{ km}$, $AO = 22\text{ km}$ und $MO = 20\text{ km}$. Die Wache soll an einem Punkt gebaut werden, der von allen drei Gemeinden genau gleich weit entfernt ist.\n\na) Modelliere die Situation: Definiere, welcher geometrische Ort die Punkte bestimmt, die von zwei beliebigen Gemeinden gleich weit entfernt sind, und welchen besonderen Punkt des Dreiecks aus $A$, $M$ und $O$ der Standort der Wache darstellt.\nb) Nutze die Beziehung zwischen den Seiten eines Dreiecks ($c^2$ im Vergleich zu $a^2 + b^2$), um das Dreieck $AMO$ als spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig einzuordnen.\nc) Begründe anhand dieser Einordnung, ob die Wache innerhalb oder außerhalb des Dreiecks der drei Orte liegen wird. Erkläre, welche praktische Bedeutung diese Eigenschaft geometrischer Orte für die Raumplanung hat.

In einem Koordinatensystem für die Stadtplanung soll die Grenze des Versorgungsgebiets zwischen zwei Sendemasten $A$ und $B$ (also die Mittelsenkrechte der Strecke $AB$) genau die Winkelhalbierende des ersten und dritten Quadranten sein, deren Gleichung $y = x$ lautet.\n\na) Der Sendemast $A$ wird im Punkt mit den Koordinaten $(0|8)$ errichtet. Leite begründet her, welche Koordinaten der Sendemast $B$ zwingend haben muss. Überprüfe deine Herleitung, indem du zeigst, dass der Mittelpunkt der Strecke $AB$ auf der Geraden $y = x$ liegt und dass die Strecke $AB$ senkrecht zu ihr steht.\nb) Verallgemeinere: Formuliere, welche algebraische Beziehung zwischen den Koordinaten $(x_A|y_A)$ und $(x_B|y_B)$ eines beliebigen Punktepaares bestehen muss, damit seine Mittelsenkrechte weiterhin die Gerade $y = x$ ist. Gib zwei weitere verschiedene Punktepaare an, die dieselbe Mittelsenkrechte haben.

Ein Bergrettungsteam empfängt Signale von zwei vermissten Wanderern an den Punkten $A$ und $B$. Die Einsatzzentrale weiß, dass das Suchgebiet aus den Punkten besteht, die genau gleich weit von $A$ und $B$ entfernt sind. Der Rettungshubschrauber muss einer geradlinigen Flugbahn folgen, die durch eine Nebenstraße $r$ dargestellt wird. In einem Koordinatensystem sind die Punkte $A(1|6)$ und $B(5|2)$, und die Straße verläuft in Richtung der Geraden durch $(0|0)$ und $(4|8)$.

Bestimme mithilfe von Überlegungen zu Ortslinien den genauen Punkt, an dem der Hubschrauber die Linie kreuzt, auf der sich die Wanderer befinden könnten.

Es soll ein Mobilfunkmast errichtet werden, der drei Dörfer versorgt, die an den Eckpunkten eines Dreiecks mit den Seitenlängen $13\text{ km}$, $14\text{ km}$ und $15\text{ km}$ liegen. Der Chefingenieur entscheidet, dass der Mast im Umkreismittelpunkt des Dreiecks stehen soll, damit der Abstand zu allen drei Dörfern gleich ist. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $84\text{ km}^2$. Berechne den Radius des Versorgungsbereichs, den der Mast haben muss (den Abstand vom Umkreismittelpunkt zu einem beliebigen Eckpunkt). Verwende dabei, dass in jedem Dreieck für den Umkreisradius die Beziehung $R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot \text{Flächeninhalt}}$ gilt.

In einem Freizeitpark bewegt sich ein neues „Schwebeflug“-Fahrgeschäft so, dass es immer gleich weit von zwei festen Kontrolltürmen $T_1$ und $T_2$ entfernt bleibt, die $30$ Meter voneinander entfernt stehen.

1. Bestimme, um welche Ortslinie es sich handelt, und beschreibe sie.

2. Wenn wir die Türme in den Punkten $T_1(-15|0)$ und $T_2(15|0)$ eines Koordinatensystems platzieren (Einheiten in Metern), welche Gerade beschreibt dann die Bahn des Fahrgeschäfts? Gib ihre Gleichung an.

3. Das Fahrgeschäft fährt genau über ein Wartungshäuschen im Punkt $P(0|20)$. Überprüfe, dass das Häuschen von beiden Türmen gleich weit entfernt ist, indem du beide Abstände berechnest.

Ein Architekt entwirft einen dreieckigen Platz mit den Seitenlängen $30$, $40$ und $50$ Metern. Im Inneren möchte er einen Brunnen aufstellen, der von allen drei Straßen (den drei Seiten des Dreiecks) gleich weit entfernt ist.

1. Wie heißt der Punkt, der die Lage des Brunnens bestimmt?

2. Berechne den Abstand des Brunnens zu jeder der Straßen. (Hinweis: Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich auch als Produkt aus halbem Umfang und Inkreisradius berechnen, $A = s \cdot r$.)

Betrachte zwei sich schneidende Geraden $r$ und $s$, die sich in einem Punkt $V$ unter einem Winkel von $60^\circ$ schneiden. Es soll ein Kreis mit dem Radius $10\text{ cm}$ gezeichnet werden, der beide Geraden berührt und innerhalb des Winkels von $60^\circ$ liegt, den die Abbildung zeigt.

1. a) Erkläre, auf welcher Linie der Mittelpunkt $O$ dieses Kreises liegen muss.

1. b) Berechne, in welchem Abstand vom Schnittpunkt $V$ der beiden Geraden der Mittelpunkt des Kreises liegen muss. (Hinweis: Verbindet man den Mittelpunkt mit dem Berührpunkt, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck; nutze die Eigenschaften von Dreiecken mit Winkeln von $30^\circ$ und $60^\circ$.)

Zwei Rettungsbojen $A$ und $B$ treiben im Meer im Abstand von $8$ km voneinander. Die Rettungsdienste wollen eine Plattform errichten, die zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt: Sie soll von beiden Bojen gleich weit entfernt sein und genau $5$ km von der Boje $A$ entfernt liegen.

Auf der Karte in der Abbildung, mit Einheiten in km, liegen die Bojen in $A(0|0)$ und $B(8|0)$.

1. a) Welche Ortslinie bilden die Punkte, die von $A$ und $B$ gleich weit entfernt sind? Und welche die Punkte, die $5$ km von $A$ entfernt sind?

1. b) An wie vielen verschiedenen Punkten kann die Plattform errichtet werden? Begründe dies, indem du die gegenseitige Lage der beiden Ortslinien betrachtest.

1. c) Berechne die Koordinaten aller Punkte, an denen die Plattform errichtet werden kann. (Hinweis: Verwende den Satz des Pythagoras.)

Ein Leuchtturm sendet ein Signal aus, das nur in einer Entfernung von weniger als $10\text{ km}$ empfangen wird. Ein Boot fährt entlang einer geradlinigen Küste $c$, die an ihrer nächsten Stelle $8\text{ km}$ vom Leuchtturm entfernt ist.

1. Beschreibe die Ortslinie der Punkte der Küste, die das Signal des Leuchtturms empfangen.

2. Berechne die Länge des Küstenabschnitts, auf dem sich das Boot innerhalb der Reichweite des Leuchtturms befindet.

In einem gleichschenkligen Dreieck $ABC$ mit $AB = AC$ wissen wir, dass der Schwerpunkt (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden), der Höhenschnittpunkt (Schnittpunkt der Höhen) und der Umkreismittelpunkt (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten) alle auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

1. Diese Gerade stimmt mit der von der Ecke $A$ aus gezeichneten Seitenhalbierenden, Höhe, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden überein. In welcher Beziehung steht sie zur Symmetrieachse des Dreiecks? Begründe deine Antwort.

2. Wenn die Basis $BC$ die Länge $12\text{ cm}$ hat und die zugehörige Höhe die Länge $9\text{ cm}$, bestimme, in welchem Abstand von der Basis der Schwerpunkt liegt. Verwende dabei, dass der Schwerpunkt jede Seitenhalbierende in zwei Abschnitte teilt, von denen der zur Ecke hin doppelt so lang ist wie der andere.

Eine landwirtschaftliche Genossenschaft kauft ein dreieckiges Grundstück, dessen Ecken an den Kreuzungen dreier gerader Kreisstraßen liegen. Die Straßen bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen $60\text{ m}$, $80\text{ m}$ und $100\text{ m}$. Es soll ein Gemeinschaftsbrunnen innerhalb des Grundstücks gebaut werden, und es werden zwei geometrische Verfahren auf Grundlage von Ortslinien diskutiert:\n\n- Verfahren 1: Den Brunnen im Umkreismittelpunkt des Grundstücks (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten) platzieren, mit dem Argument, dass er von allen drei Ecken (Straßenkreuzungen) gleich weit entfernt sein soll.\n- Verfahren 2: Den Brunnen im Inkreismittelpunkt des Grundstücks (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden) platzieren, mit dem Argument, dass er von allen drei Straßen (Seiten des Grundstücks) gleich weit entfernt sein soll.\n\nUm die Sicherheit der Maschinen zu gewährleisten und Verunreinigungen zu vermeiden, verlangt die landwirtschaftliche Vorschrift, dass der Brunnen streng im Inneren des Grundstücks und möglichst weit vom Rand jeder Straße entfernt liegt.\n\na) Untersuche die Eignung beider Verfahren, indem du berechnest, in welchem genauen Abstand zu jeder der drei Straßen der Brunnen bei Verfahren 1 und bei Verfahren 2 läge (den Inkreisradius kannst du berechnen, indem du den Flächeninhalt des Dreiecks, $A = \frac{b \cdot h}{2}$, gleich der Summe der Flächeninhalte der drei Teildreiecke setzt, die vom Inkreismittelpunkt aus entstehen, $A = \frac{a+b+c}{2} \cdot r$).\nb) Begründe kritisch, welches der beiden Verfahren gewählt werden sollte und warum das andere nach der geforderten Vorschrift völlig unzulässig ist.

Die spanische Seenotrettung (Salvamento Marítimo) empfängt ein Notsignal in der Nähe der Straße von Gibraltar. Zwei Küstenstationen in Tarifa ($T$) und Algeciras ($A$), die in der Luftlinie $20\text{ km}$ voneinander entfernt liegen, koordinieren die Suche anhand von drei technischen Angaben:\n\n1. Die Stärke des empfangenen Signals ist an beiden Küstenstationen identisch.\n2. Die Reichweite des in Tarifa stationierten Rettungsschiffs erlaubt einen maximalen Suchradius von $15\text{ km}$ um diese Station.\n3. Um die Riffe und die dichte küstennahe Schifffahrtsrinne zu meiden, wird jede Position ausgeschlossen, deren Abstand zur Geraden durch Tarifa und Algeciras kleiner oder gleich $6\text{ km}$ ist.\n\na) Modelliere das Problem mathematisch, indem du jede der drei Bedingungen in die Sprache der Ortslinien übersetzt (Mittelsenkrechte, Kreislinie/Kreisfläche oder parallele Streifen im Abstand zu einer Geraden).\nb) Leite genau her, welche geometrische Form das Gebiet hat, in dem sich das Schiff befinden kann: Bestimme, ob es sich um ein zweidimensionales Gebiet oder um eine Menge von Strecken handelt, und berechne den minimalen und den maximalen Abstand der Punkte dieses Gebiets zur Geraden $TA$.\nc) Wenn eine Sonarboje bestätigt, dass der genaue Abstand des Schiffs zu Tarifa $12,5\text{ km}$ beträgt, berechne, wie viele mögliche Positionen für das Schiff bleiben und in welchem genauen Abstand zur Geraden $TA$ sich jede davon befindet.