Aufgaben: Lineare (proportionale) Funktionen

In einem Süßwarenladen kostet jede Tüte Gummibärchen $1,50 \text{ €}$. Wir wollen den Zusammenhang zwischen der Anzahl der gekauften Tüten ($x$) und dem insgesamt bezahlten Geld ($y$) untersuchen.

Bestimme:

• die unabhängige Variable,

• die abhängige Variable,

• den Proportionalitätsfaktor ($m$),

• die Gleichung der Funktion, die beide Größen verknüpft.

Betrachte die folgende Wertetabelle, die die Zeit, die eine LED-Lampe eingeschaltet ist ($x$, in Stunden), mit dem Energieverbrauch ($y$, in Wattstunden, Wh) verknüpft:

Zeit ($x$)	1	2	3	4
Verbrauch ($y$)	9	18	27	36

Gib an, ob es sich um eine proportionale Funktion handelt, berechne ihren Proportionalitätsfaktor und schreibe ihre Gleichung auf.

Bestimme die Steigung der folgenden im Graphen dargestellten proportionalen Funktion und schreibe ihre Gleichung in der Form $y = mx$ auf.

Ein Pizzabote fährt mit dem Fahrrad mit einer konstanten Geschwindigkeit von $20 \text{ km/h}$.

• Schreibe die Funktion auf, die die zurückgelegte Strecke ($y$, in km) mit der vergangenen Zeit ($x$, in Stunden) verknüpft.

• Wie viele Kilometer hat er nach $3$ Stunden Arbeit zurückgelegt?

Ergänze die folgende Tabelle, wenn du weißt, dass der Zusammenhang zwischen $x$ und $y$ proportional mit dem Faktor $m = 4$ ist. Zeichne anschließend die Punkte in ein Koordinatensystem.

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto mit deiner Antwort senden.

Gib begründet an, welcher der folgenden drei Graphen zu einer proportionalen Funktion gehört.

Gegeben ist die proportionale Funktion $y = -3x$:

• Gib den Wert ihrer Steigung an.

• Ist die Funktion steigend oder fallend?

• Berechne den Funktionswert für $x = 2$ und für $x = -1$.

In einem Kochrezept steht, dass man auf je $100 \text{ g}$ Mehl $2$ Eier verwenden soll.

• Berechne den Proportionalitätsfaktor, der die Anzahl der Eier ($y$) mit der Menge Mehl ($x$, gemessen in Hundert Gramm) verknüpft.

• Schreibe die Gleichung der Funktion auf.

• Wenn wir eine Tüte mit $500 \text{ g}$ Mehl haben, wie viele Eier brauchen wir nach dieser Funktion?

Bei einer Recyclingkampagne hat eine Umweltorganisation ermittelt, dass für jedes Kilogramm recycelter PET-Kunststoffverpackungen bei der Herstellung neuer Produkte $1,5$ Liter Erdöl eingespart werden.

1. a) Gib die Funktion an, die die Kilogramm recycelten Kunststoffs ($x$) mit den eingesparten Litern Erdöl ($y$) verknüpft.

1. b) Erstelle eine Wertetabelle für $0, 5, 10$ und $20$ kg Kunststoff.

1. c) Wie viele Liter Erdöl werden eingespart, wenn die Schule es schafft, $120$ kg Verpackungen zu recyceln?

Drei Freunde vergleichen ihre Mobilfunk-Datentarife, um zu sehen, wie viele „Gigabyte“ sie beim Ansehen von HD-Videos verbrauchen. Man weiß, dass der Verbrauch proportional zur Wiedergabedauer ist.

• Tarif A: $y = 0,8x$

• Tarif B: $y = 1,2x$

• Tarif C: $y = 0,5x$

Dabei ist $x$ die Zeit in Stunden und $y$ sind die verbrauchten Gigabyte.

1. a) Welcher der drei Tarife verbraucht Daten am schnellsten? Begründe deine Antwort mit dem Begriff der Steigung.
2. b) Wenn ein Nutzer ein Limit von $6$ GB pro Tag hat, wie viele Stunden Video könnte er mit Tarif B ansehen, bevor sein Datenvolumen aufgebraucht ist?

Betrachte den folgenden Graphen, der zwei proportionale Funktionen $r$ und $s$ darstellt. Sie zeigen die Punkte, die zwei Spieler in einem Videospiel im Laufe der Zeit erzielt haben (die Zeit ist in Minuten angegeben).

1. a) Bestimme die Gleichung der Geraden $r$, wenn du weißt, dass sie durch den Punkt $P(2|10)$ verläuft.

1. b) Bestimme die Gleichung der Geraden $s$, wenn du weißt, dass sie durch den Punkt $Q(4|8)$ verläuft.

1. c) Was stellt die Steigung in diesem Zusammenhang dar?

In einem App-Store folgt der Kauf eines Pakets „virtueller Münzen“ für ein Spiel einer linearen Funktion. Wir wissen, dass $500$ Münzen $4,50$ € kosten.

1. a) Berechne den Proportionalitätsfaktor (Preis pro Münze).
2. b) Schreibe den Funktionsterm auf, der die Anzahl der Münzen ($x$) mit den Kosten in Euro ($y$) verknüpft.
3. c) Wenn ein Jugendlicher $15$ € gespart hat, wie viele Münzen kann er höchstens kaufen?

Bestimme die Gleichung der proportionalen Funktion $y = mx$, deren Graph durch den Punkt $A(-3|12)$ verläuft. Zeichne den Graphen der Funktion und gib mindestens zwei weitere Punkte an, durch die die Gerade verläuft.

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto mit deiner Antwort senden.

Eine Lieferdrohne fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von $12$ Metern pro Sekunde ($\text{m/s}$).

1. a) Ergänze die folgende Tabelle, die die Flugzeit ($x$) mit der zurückgelegten Strecke ($y$) verknüpft:

Zeit ($\text{s}$)	$1$	$5$	$10$	$30$
Strecke ($\text{m}$)	$12$

1. b) Zeichne den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem (Zeit auf der waagerechten Achse, Strecke auf der senkrechten Achse).

1. c) Gib die Steigung an und erkläre, welche physikalische Bedeutung sie in dieser Aufgabe hat.

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto mit deiner Antwort senden.

Gib begründet an, welche der folgenden Tabellen zu einer proportionalen Funktion gehören. Berechne für diejenigen, bei denen das der Fall ist, den Proportionalitätsfaktor ($m$) und schreibe die Gleichung auf.

Tabelle 1:

$x$	$2$	$4$	$6$
$y$	$10$	$20$	$30$

Tabelle 2:

$x$	$1$	$2$	$3$
$y$	$5$	$7$	$9$

Tabelle 3:

$x$	$-1$	$-3$	$-5$
$y$	$4$	$12$	$20$

Ein 3D-Druck-Unternehmen berechnet Schulen nur das verwendete Material. Man weiß, dass $100$ Gramm PLA-Filament $3,50$ € kosten.

1. a) Bestimme die Funktion, die die Kosten ($y$) in Abhängigkeit von den Gramm Material ($x$) berechnet.
2. b) Ist die Funktion steigend oder fallend? Warum?
3. c) Wenn das Teil, das du für dein Technik-Projekt drucken möchtest, $45$ Gramm wiegt, wie viel kostet dich der Druck?

Bei einer Streaming-Plattform für Videospiele verbraucht die Übertragungsqualität Daten proportional zur Nutzungsdauer. Ein Nutzer hat festgestellt, dass sein Router nach $15$ Minuten Spielzeit einen Verbrauch von $1,2$ Gigabyte (GB) anzeigt.

• Bestimme den Proportionalitätsfaktor $m$, der den Datenverbrauch ($y$, in GB) mit der Zeit ($x$, in Minuten) verknüpft.

• Gib die Gleichung der linearen Funktion an, die diese Situation beschreibt.

• Wenn der Nutzer ein Tageslimit von $5$ GB hat, bevor seine Geschwindigkeit gedrosselt wird: Wie viele Minuten und Sekunden genau kann er mit dieser Qualität spielen?

In einem Robotiklabor wird ein Prototyp getestet, der sich mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig bewegt. Man weiß, dass die Funktion, die die zurückgelegte Strecke ($d$) mit der Zeit ($t$) verknüpft, eine proportionale Funktion ist. Zum Zeitpunkt $t = 4,5$ Sekunden hat der Roboter genau $11,25$ Meter zurückgelegt.

• Berechne die Steigung der Funktion und gib an, welche physikalische Größe sie in diesem Zusammenhang darstellt.

• Schreibe den Funktionsterm auf.

• Der Roboter soll eine Strecke von $0,05$ Kilometern zurücklegen. Wie lange braucht er dafür? Gib das Ergebnis in Sekunden an.

Der folgende Graph zeigt den Zusammenhang zwischen dem Wasservolumen ($V$) in einem zylindrischen Behälter und der Höhe ($h$) des Wasserspiegels. Aufgrund der Form des Behälters ist dieser Zusammenhang proportional.

• Bestimme anhand der im Graphen erkennbaren Punkte den Proportionalitätsfaktor.

• Gib die Gleichung an, mit der man das Volumen in Abhängigkeit von der Höhe berechnen kann.

• Welche Höhe erreicht das Wasser, wenn wir $7$ Liter in den Behälter füllen?

In einer Designwerkstatt wird eine Laserschneidmaschine verwendet, die Energie proportional zur Fläche des geschnittenen Materials verbraucht. Man hat festgestellt, dass die Maschine zum Schneiden von $4$ quadratischen Teilen mit je $15$ cm Seitenlänge $180$ Joule (J) verbraucht.

• Berechne den Energieverbrauch pro geschnittenem Quadratzentimeter ($cm^2$).

• Gib die lineare Funktion an, die den gesamten Energieverbrauch ($y$) mit der geschnittenen Fläche ($x$) verknüpft.

• Wie viel Energie würde die Maschine verbrauchen, um eine einzelne rechteckige Platte von $0,4$ Metern Länge und $25$ Zentimetern Breite zu schneiden?

Zwei Freunde, Lea und Marcus, sparen für eine Reise. Lea spart in einem gleichmäßigen Tempo, das durch die Funktion $f(x) = 12,5x$ beschrieben wird, wobei $x$ die Anzahl der Wochen und $y$ das gesparte Geld in Euro ist. Marcus kennt seine Funktion nicht, aber er weiß, dass er in Woche $8$ genau $92$ Euro gespart hatte und dass sein Sparbetrag ebenfalls proportional zur Zeit ist.

1. a) Bestimme die Gleichung der Funktion von Marcus, $g(x)$.

1. b) Zeichne beide Funktionen in dasselbe Koordinatensystem (Skizze).

1. c) Wer von beiden hat die größere Steigung? Deute dieses Ergebnis dahingehend, wer schneller spart.

1. d) Wenn die Reise $300$ Euro kostet: Wie viele Wochen liegen zwischen dem Zeitpunkt, an dem Lea das Geld zusammenhat, und dem Zeitpunkt, an dem Marcus es zusammenhat?

Eine maßstabsgetreue Karte zeigt einen proportionalen Zusammenhang zwischen der auf dem Papier gemessenen Strecke ($x$, in Millimetern) und der tatsächlichen Strecke im Gelände ($y$, in Kilometern). Wir wissen, dass eine tatsächliche Entfernung von $150$ km auf der Karte durch eine Strecke von $60$ mm dargestellt wird.

• Bestimme die Gleichung der linearen Funktion, mit der man Millimeter auf der Karte in tatsächliche Kilometer umrechnen kann.

• Welche tatsächliche Entfernung liegt zwischen zwei Städten, wenn sie auf der Karte $14,4$ Zentimeter voneinander entfernt sind? (Achte auf die Einheiten.)

• Wenn wir eine Wanderroute von $12.500$ Metern darstellen wollen, wie viele Millimeter lang ist sie auf der Karte?

Das hookesche Gesetz besagt, dass die Dehnung einer Feder direkt proportional zur auf sie wirkenden Kraft ist. Eine Feder ist in Ruhe $12$ cm lang. Wenn man ein Gewicht von $2$ kg anhängt, ist die Feder $15$ cm lang.

• Achtung: Die proportionale Funktion verknüpft die Kraft (hier: die Masse) mit der Dehnung (der Längenzunahme), nicht mit der Gesamtlänge. Berechne die Dehnung, die durch die $2$ kg entsteht.

• Bestimme den Proportionalitätsfaktor $m$ ($cm/kg$).

• Schreibe die Funktion $y = mx$ auf, die die Dehnung $y$ mit der Masse $x$ verknüpft.

• Wie groß ist die Gesamtlänge der Feder, wenn wir ein Gewicht von $5,4$ kg anhängen?

Ein Kunststoff-Recyclingunternehmen schätzt, dass das Gewicht des gewonnenen Polyethylens ($y$) direkt proportional zur Anzahl der verarbeiteten leeren Flaschen ($x$) ist. Bei der Verarbeitung eines Containers mit $120$ Flaschen erhält man $3,3$ kg recyceltes Material.

• Bestimme den Proportionalitätsfaktor und erkläre seine Bedeutung.

• Das Unternehmen erhält einen Auftrag zur Herstellung von Teilen, die $55$ kg Kunststoff benötigen. Wie viele Flaschen müssen recycelt werden?

• Wenn das Unternehmen für jede recycelte Flasche eine Förderung von $0,015$ € erhält, gib die lineare Funktion an, die das erhaltene Geld ($D$) mit dem Gewicht des gewonnenen Kunststoffs ($y$) verknüpft. (Hinweis: Du musst den Zusammenhang Flaschen–Gewicht mit dem Zusammenhang Flaschen–Geld kombinieren.)