Aufgaben: Umfang und Flächeninhalt von Vielecken

Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des abgebildeten Rechtecks mit $12$ cm Länge und $7$ cm Breite.

Berechne den Flächeninhalt des abgebildeten Dreiecks mit der Grundseite $10$ m und der Höhe $6$ m.

Rechne im Kopf:

1. a) Den Umfang und den Flächeninhalt eines Quadrats mit $9$ cm Seitenlänge.
2. b) Den Umfang einer Raute mit der Seitenlänge $6,5$ m.
3. c) Den Flächeninhalt eines Rechtecks mit $8$ m Länge und $6$ m Breite.

Eine dreieckige Werbetafel hat eine Grundseite von $4$ m und eine Höhe von $3$ m.

1. a) Wie groß ist ihr Flächeninhalt?
2. b) Wenn das Plakat auf beiden Seiten bedruckt wird, wie groß ist dann die gesamte zu bedruckende Fläche?

Lea möchte den Flächeninhalt eines Parallelogramms aus Karton für ein Kunstprojekt berechnen. Sie misst mit ihrem Lineal und notiert: Grundseite $b = 12\text{ cm}$, schräge Seite $c = 7\text{ cm}$ und Höhe senkrecht zur Grundseite $h = 5\text{ cm}$. In ihr Heft schreibt sie:

„$A = b \cdot c = 12 \cdot 7 = 84\text{ cm}^2$“.

1. a) Erkläre deutlich, welchen Fehler Lea gemacht hat und warum es geometrisch keinen Sinn ergibt, die Grundseite mit der schrägen Seite zu multiplizieren, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
2. b) Berechne den richtigen Flächeninhalt und den Umfang des Parallelogramms.
3. c) Welche geometrische Figur mit den Seitenlängen $12\text{ cm}$ und $7\text{ cm}$ hätte genau den Flächeninhalt $84\text{ cm}^2$? Begründe deine Antwort.

Um im Schulhof einen rechteckigen Spielbereich abzugrenzen, steht eine ganze Rolle Absperrband von $24\text{ m}$ zur Verfügung, ohne etwas abzuschneiden oder zu verschwenden (der Umfang des Bereichs soll also genau $24\text{ m}$ betragen). Die Seitenlängen müssen ganze Zahlen in Metern sein.

1. a) Schreibe alle möglichen Kombinationen aus Länge und Breite (ganzzahlige Werte) auf, die dieses Rechteck haben kann.
2. b) Berechne den Flächeninhalt jedes der im vorigen Teil erhaltenen Rechtecke.
3. c) Wenn das Ziel ist, dass die Schülerinnen und Schüler innerhalb des abgegrenzten Bereichs möglichst viel Platz zum Spielen haben, welche Möglichkeit musst du wählen? Welchen besonderen Namen hat dieses Rechteck?

Berechne den Flächeninhalt der Raute in der Abbildung, deren Diagonalen $16$ cm und $10$ cm messen.

Das Parallelogramm in der Abbildung hat eine Grundseite von $9$ cm und eine Höhe von $5$ cm.

1. a) Berechne seinen Flächeninhalt.
2. b) Wenn die schräge Seite des Parallelogramms $6$ cm misst, berechne auch seinen Umfang.

Berechne den Flächeninhalt des Trapezes in der Abbildung, dessen Grundseiten $14$ m und $8$ m messen und dessen Höhe $6$ m beträgt.

Das regelmäßige Sechseck in der Abbildung hat die Seitenlänge $6$ cm und sein Apothema misst $5,2$ cm.

1. a) Berechne seinen Umfang.
2. b) Berechne seinen Flächeninhalt mit der Formel $A = \frac{P \cdot a}{2}$, wobei $P$ der Umfang und $a$ das Apothema ist.

Eine rechteckige Plakatwand hat einen Flächeninhalt von $48\ \text{m}^2$ und ihre Breite misst $8$ m.

1. a) Wie hoch ist sie?
2. b) Wie groß ist ihr Umfang?
3. c) Wenn die Plakatwand denselben Flächeninhalt hätte, aber quadratisch wäre, wäre das möglich? Begründe deine Antwort.

Ein Fußballplatz ist $105$ m lang und $68$ m breit.

1. a) Berechne seinen Flächeninhalt in $\text{m}^2$.
2. b) Gib den Flächeninhalt in Hektar an. Denke daran: $1\ \text{ha} = 10.000\ \text{m}^2$.
3. c) Wie viele solcher Fußballfelder würden ungefähr in einen Naturpark von $1\ \text{km}^2$ passen?

Das Becken eines Kinderschwimmbads in einem städtischen Sportzentrum hat die Form eines gleichschenkligen Trapezes. Die lange Grundseite ist $14,8\text{ m}$ lang, die kurze Grundseite ist $9,2\text{ m}$ lang und der senkrechte Abstand zwischen beiden Grundseiten (die Höhe) beträgt $6,1\text{ m}$. Die Gemeinde will eine maßgefertigte Schutzplane bestellen, um das Becken im Winter abzudecken.

1. a) Runde die drei Maße auf ganze Meter, bevor du mit Dezimalzahlen rechnest, und schätze den Flächeninhalt der Plane im Kopf. Schreibe die Rechnung auf, die du dir überlegt hast, und das geschätzte Ergebnis.
2. b) Berechne den genauen Flächeninhalt, den die Plane haben muss, mit den tatsächlichen Maßen des Trapezes.
3. c) Überprüfe, ob deine Schätzung sinnvoll war, indem du die Differenz zwischen dem genauen und dem geschätzten Flächeninhalt berechnest. Die Plane kostet $8,50\text{ €/m}^2$. Wie viel Euro Unterschied hätte es ergeben, den Kauf mit der Schätzung statt mit dem genauen Wert zu planen?

Ein Nachbarschaftsverein in Düsseldorf will einen kleinen Platz herrichten, der die Form eines regelmäßigen Sechsecks mit $6\text{ m}$ Seitenlänge hat. Laut den Plänen der Stadtverwaltung beträgt das Apothem (der Abstand des Mittelpunkts zu einer Seite) dieses Vielecks $5,2\text{ m}$. Das Projekt sieht vor, rund um den gesamten Umfang eine Holzeinfassung zu setzen, zu einem Preis von $4,20\text{ €}$ pro laufendem Meter, und den ganzen Boden im Inneren mit Rasen zu bedecken, der $2,50\text{ €}$ pro Quadratmeter kostet. Für die Arbeiten steht ihnen ein städtischer Zuschuss von $350\text{ €}$ zur Verfügung.

1. a) Modelliere die Situation, indem du die benötigten laufenden Meter Einfassung und die Fläche in Quadratmetern berechnest, die der Rasen einnehmen wird.
2. b) Berechne die Gesamtkosten der Arbeiten (Einfassung plus Rasen).
3. c) Deute das Ergebnis: Reicht der städtische Zuschuss von $350\text{ €}$ aus, um das Projekt zu finanzieren? Gib an, wie viel Geld fehlt oder übrig bleibt.

Eine Wohnsiedlung möchte ein rechteckiges Grundstück von $45$ m Länge und $28$ m Breite einzäunen und mit Rasen anlegen.

1. a) Wie viele Meter Zaun werden benötigt, wenn ein Eingang von $3$ m nicht eingezäunt wird?
2. b) Wenn der Zaun pro Meter eingebaut $12,50\ \text{€}$ kostet, wie hoch ist das Budget, um das Grundstück einzuzäunen?
3. c) Der Rasen wird in Rollen von $5\ \text{m}^2$ zu je $18,95\ \text{€}$ pro Rolle verkauft. Wie viele Rollen müssen gekauft werden, und was kosten sie?

Der Flächeninhalt eines Trapezes beträgt $84\ \text{m}^2$, seine Höhe misst $7$ m und die längere Grundseite $16$ m.

1. a) Setze die Daten in die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$ ein und stelle die zugehörige Gleichung auf.
2. b) Löse die Gleichung und berechne, wie lang die kürzere Grundseite ist.
3. c) Überprüfe dein Ergebnis, indem du nachrechnest, dass der Flächeninhalt $84\ \text{m}^2$ ergibt.

Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, und begründe deine Antwort oder gib ein Gegenbeispiel an:

1. a) Wenn wir die Seiten eines Rechtecks verdoppeln, verdoppelt sich auch sein Flächeninhalt.
2. b) Ein Parallelogramm und ein Rechteck mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe haben denselben Flächeninhalt.
3. c) Ein Dreieck hat den halben Flächeninhalt eines Rechtecks mit derselben Grundseite und Höhe.
4. d) Zwei Figuren mit demselben Umfang haben immer denselben Flächeninhalt.

Um den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Grundseite $12$ cm und der Höhe $7$ cm zu berechnen, hat ein Schüler $12 \cdot 7 = 84$ gerechnet und geantwortet: „Der Flächeninhalt ist $84\ \text{cm}^2$.“

1. a) Erkläre, welchen Fehler er gemacht hat.
2. b) Berechne den richtigen Flächeninhalt.
3. c) Derselbe Schüler berechnet den Flächeninhalt einer Raute mit den Diagonalen $10$ cm und $6$ cm und erhält $60\ \text{cm}^2$. Macht er wieder denselben Fehler? Korrigiere ihn.

Die Diagonalen einer Raute messen $20$ cm und $14$ cm.

1. a) Berechne ihren Flächeninhalt.
2. b) Wenn wir die Raute entlang ihrer beiden Diagonalen zerschneiden, wird sie in $4$ gleiche rechtwinklige Dreiecke zerlegt. Wie lang sind Grundseite und Höhe jedes dieser Dreiecke?
3. c) Berechne den Flächeninhalt eines dieser Dreiecke und überprüfe, dass die vier Flächeninhalte zusammen den Flächeninhalt der Raute ergeben.

Eine rechteckige Terrasse von $6$ m Länge und $4$ m Breite soll einen neuen Boden erhalten, und zwar mit quadratischen Fliesen mit der Seitenlänge $40$ cm, ohne dass eine Fliese zugeschnitten wird.

1. a) Wie viele Fliesen passen in der Länge und in der Breite? Wie viele Fliesen werden insgesamt benötigt?
2. b) Die Fliesen werden in Kartons zu je $12$ Stück für $18,95\ \text{€}$ pro Karton verkauft. Wie viele Kartons müssen gekauft werden? Was kostet der Boden?
3. c) Wie groß ist der Flächeninhalt einer Fliese in $\text{cm}^2$? Überprüfe, dass der Gesamtflächeninhalt der verwendeten Fliesen mit dem Flächeninhalt der Terrasse übereinstimmt (gib beide in $\text{m}^2$ an).

Auf dem Schulhof soll ein Logo in Form einer Raute aufgemalt werden, deren Diagonalen $D = 8\text{ m}$ und $d = 6\text{ m}$ messen. Zwei Schüler der Klasse 7 diskutieren, wie man den Flächeninhalt am besten berechnet:

• Marcus schlägt vor: „Wir zeichnen ein Rechteck mit $8\text{ m}$ Breite und $6\text{ m}$ Höhe, das die Raute umschließt. Sein Flächeninhalt ist $8 \cdot 6 = 48\text{ m}^2$. In den Ecken bleiben vier gleiche rechtwinklige Dreiecke mit der Grundseite $4\text{ m}$ und der Höhe $3\text{ m}$; wenn wir diese vier Dreiecke vom äußeren Rechteck abziehen, erhalten wir den Flächeninhalt der Raute.“

• Sarah schlägt vor: „Wir können direkt die Formel $A = \dfrac{D \cdot d}{2}$ anwenden, weil die Raute genau die Hälfte des Rechtecks einnimmt, das sie umschließt.“

1. a) Führe Marcus' Vorgehen vollständig aus: Berechne den Flächeninhalt eines der Eckdreiecke, die Summe der vier und die abschließende Differenz.
2. b) Wende Sarahs direkte Methode an und prüfe, ob beide Ergebnisse übereinstimmen.
3. c) Vergleiche beide Methoden: Welche ist bei dieser Aufgabe effizienter und warum? In welchen Fällen unregelmäßiger Vielecke, die auf einem Raster gezeichnet sind, ist Marcus' Strategie (in ein Rechteck einschließen und die überschüssigen Ecken abziehen) unverzichtbar?

Ein Landwirt aus dem Münsterland hat $120\text{ m}$ Metallzaun, um ein Ruhegehege für seine Schafe abzugrenzen, und möchte, dass es einen möglichst großen Flächeninhalt hat. Er schwankt zwischen drei Entwürfen, alle mit genau demselben Umfang von $120\text{ m}$:

1. Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $40\text{ m}$, dessen senkrechte Höhe $34,64\text{ m}$ misst.

2. Ein Quadrat mit der Seitenlänge $30\text{ m}$.

3. Ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge $20\text{ m}$, dessen Apothema $17,32\text{ m}$ misst.

1. a) Berechne den Flächeninhalt, den jede der drei vorgeschlagenen Möglichkeiten umschließt.
2. b) Vergleiche die drei Ergebnisse: Welches der drei regelmäßigen Vielecke umschließt bei gleichem Umfang ($120\text{ m}$) den größten Flächeninhalt? Welche geometrische Schlussfolgerung kannst du ziehen, wie sich der Flächeninhalt ändert, wenn die Anzahl der Seiten eines regelmäßigen Vielecks bei konstantem Umfang zunimmt?
3. c) Die Tierschutzvorschriften verlangen, dass das Gehege für die Größe seiner Herde mindestens $1000\text{ m}^2$ groß ist. Erfüllt eine der drei Möglichkeiten die Vorgabe? Wenn man ein regelmäßiges Vieleck mit viel mehr Seiten bauen würde (zum Beispiel ein regelmäßiges Zehneck oder eine fast kreisförmige Figur mit denselben $120\text{ m}$ Zaun), glaubst du, dass es möglich wäre, diese Grenze von $1000\text{ m}^2$ zu überschreiten? Begründe deine Antwort anhand des beobachteten Trends.