Aufgaben: Polynome

In der Welt der Videospiele funktioniert das Punktesystem eines neuen Jump-and-Run-Spiels wie folgt: Für jede eingesammelte Goldmünze erhältst du eine unbekannte Anzahl von Punkten $x$, für jeden besiegten Gegner erhältst du jedoch dreimal so viele Punkte wie für eine Münze. Am Ende des Levels bekommst du immer einen festen Bonus von $50$ Erfahrungspunkten.

Schreibe den Term auf, der die Gesamtpunktzahl eines Spielers darstellt, der $12$ Münzen gesammelt und $4$ Gegner besiegt hat.

Übertrage die folgende Tabelle in dein Heft und vervollständige sie, um die grundlegenden Bestandteile dieser Monome zu bestimmen:

Um Monome addieren oder subtrahieren zu können, müssen sie gleichartig sein. Wähle aus der folgenden Liste aus, welche zum Monom $5x^2y$ gleichartig sind:

• $5xy^2$

• $-x^2y$

• $2x^2$

• $\frac{1}{2}x^2y$

• $5x^2y^2$

Ein Pizzabote erhält pro Arbeitsnachmittag einen festen Lohn von $15$ Euro, plus einen Zuschlag von $3$ Euro für jede ausgelieferte Bestellung. Der Term, der seinen Verdienst berechnet, ist $G = 15 + 3x$, wobei $x$ die Anzahl der Bestellungen ist.

Berechne den Wert des Terms für seinen Verdienst (was er insgesamt bekommt), wenn er an einem Nachmittag $8$ Bestellungen ausliefert.

Analysiere das folgende Polynom und beantworte die Fragen:

$P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 8$

1. a) Welchen Grad hat das Polynom?
2. b) Wie heißt der Term ohne Variable (der $-8$)?
3. c) Wie viele Terme hat es? Ist es je nach Anzahl der Terme ein Monom, Binom oder Trinom?
4. d) Wie lautet der Koeffizient des Terms mit dem höchsten Grad?

Bestimme den vereinfachten Term, der den Umfang des folgenden rechteckigen Bilderrahmens darstellt:

Berechne für die folgenden Polynome die Summe $A(x) + B(x)$ und fasse gleichartige Terme zusammen:

$A(x) = 4x^2 - 5x + 3$

$B(x) = x^2 + 2x - 7$

Die binomischen Formeln erlauben es uns, manche Potenzen schnell zu berechnen. Verwende die Formel für das Quadrat einer Summe $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, um den folgenden Term auszumultiplizieren:

$(x + 2)^2$

Markus soll den Wert des Polynoms $P(x) = 3x^2 - 4x + 5$ für $x = -2$ berechnen. In sein Heft schreibt er die folgende Lösung:

Zum Schluss ergänzt Markus: „Außerdem ist es ein unvollständiges Polynom, weil es keinen Term mit $x^3$ hat.“

1. a) Finde und erkläre ausführlich die beiden Fehler von Markus (einen Rechenfehler bei den Potenzen oder Vorzeichen und einen inhaltlichen Fehler bei der Einordnung des Polynoms).
2. b) Führe die richtige Rechnung durch, um $P(-2)$ zu bestimmen, und ordne das Polynom ein, indem du Grad, Vollständigkeit bzw. Unvollständigkeit, den Leitkoeffizienten und das absolute Glied angibst.

Entwirf ein Polynom $P(x)$, das gleichzeitig die folgenden vier Bedingungen erfüllt:

1. Sein Grad ist $3$.

2. Es ist ein unvollständiges Polynom und enthält keinen Term vom Grad $1$.

3. Sein Leitkoeffizient ist $-2$.

4. Sein absolutes Glied ist $16$.

Wenn du dein Polynom aufgeschrieben hast:

1. a) Überprüfe, ob die Zahl $x = 2$ eine Nullstelle deines Polynoms ist, indem du den Funktionswert $P(2)$ berechnest und deine Schlussfolgerung anhand der Definition der Nullstelle begründest.
2. b) Begründe ohne lange Rechnungen mit Einsetzen, warum es unmöglich ist, dass die Zahl $x = 0$ eine Nullstelle dieses Polynoms ist, indem du dich auf den Wert des absoluten Glieds stützt.

In einem Elektronikgeschäft kostet ein Mittelklasse-Smartphone $x$ Euro. Ein High-End-Smartphone kostet das Doppelte des Mittelklasse-Smartphones plus 150 €, und ein Tablet kostet 80 € weniger als das Mittelklasse-Smartphone.

1. a) Schreibe den Term auf, der die Gesamtkosten für den Kauf von zwei Mittelklasse-Smartphones, einem High-End-Smartphone und drei Tablets darstellt.
2. b) Fasse den erhaltenen Term zu einem Polynom in einfachster Form zusammen.
3. c) Wenn das Basis-Smartphone $x = 200$ € kostet, wie viel Geld kostet dann die gesamte Bestellung?

Gegeben ist das folgende Polynom:

$P(x) = -5x^4 + \frac{2}{3}x^2 - x + 9$

Gib mit Begründung die folgenden Größen an:

1. a) den Grad des Polynoms.
2. b) den Koeffizienten des Terms vom Grad 2.
3. c) das absolute Glied.
4. d) den Wert von $P(x)$ für $x = -1$.

Eine kleine Wasserrakete wird von einer Plattform aus gestartet. Die Höhe $h$ (in Metern), in der sich die Rakete befindet, ist in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Sekunden) durch das Polynom gegeben:

$h(t) = -5t^2 + 25t + 2$

1. a) In welcher Höhe befindet sich die Startplattform? (Tipp: Berechne $h(0)$.)
2. b) In welcher Höhe befindet sich die Rakete 2 Sekunden nach dem Start?
3. c) Ist die Rakete nach 3 Sekunden oder nach 4 Sekunden höher? Begründe deine Antwort, indem du die entsprechenden Werte berechnest.

Führe die folgenden Operationen mit Polynomen durch und fasse das Endergebnis zusammen:

1. a) $(4x^3 - 5x^2 + x - 7) + (x^3 + 2x^2 - 10)$
2. b) $(3x^2 - 6x + 2) - (x^2 - 4x - 5)$
3. c) $2 \cdot (x^3 - 3x + 1) + 4 \cdot (x^2 - 2)$

Berechne den Flächeninhalt der schraffierten Fläche in der folgenden Abbildung. Gib das Ergebnis als zusammengefasstes Polynom in Abhängigkeit von $x$ an.

Multipliziere die folgenden Polynome mit dem Distributivgesetz und fasse gleichartige Terme zusammen:

1. a) $P(x) = (2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 5)$
2. b) $Q(x) = (x^2 + 1) \cdot (3x^2 - 2x + 4)$

Wende die Formeln der binomischen Formeln an, um die folgenden Terme auszumultiplizieren:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(2x^2 - 5)^2$
3. c) $(x + 7) \cdot (x - 7)$
4. d) $(\frac{1}{2}x + 6) \cdot (\frac{1}{2}x - 6)$

Ausklammern ist die Umkehrung des Distributivgesetzes. Nutze dieses Verfahren, um die folgenden Terme zu vereinfachen:

1. a) $12x^5 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $5a^2b - 15ab^2 + 10ab$
3. c) $\frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{3}x^2$

Ein städtisches Unternehmen für E-Bike-Verleih in einer deutschen Stadt berechnet für Nichtabonnenten einen Monatstarif, der von der Nutzungsdauer abhängt. Der Betrag wird mit dem Polynom $C(t) = 0,05t^2 + 1,2t + 8$ berechnet, wobei $t$ die Gesamtzahl der Nutzungsstunden pro Monat und $C(t)$ die resultierenden Kosten in Euro sind.

1. a) Deute, was das absolute Glied des Polynoms im Alltag bedeutet, indem du den Funktionswert $C(0)$ berechnest.
2. b) Ein Nutzer hat im April $10$ Stunden Nutzung und verdoppelt seine Zeit im Mai auf $20$ Stunden. Berechne den Rechnungsbetrag für jeden der beiden Monate.
3. c) Begründe anhand der Ergebnisse beider Monate und der Terme des Polynoms algebraisch, warum sich die Gesamtkosten bei einer Verdopplung der Nutzungsstunden nicht genau verdoppeln, und gib an, welcher Term dafür verantwortlich ist.

In einem schulischen Technikprojekt wird eine kleine Wasserrakete senkrecht nach oben gestartet. Ihre Höhe in Metern über dem Boden ist $t$ Sekunden nach dem Start durch das Polynom $h(t) = -5t^2 + 29t + 6$ gegeben.

1. a) Schätze, ohne den genauen Wert zu berechnen, indem du den Koeffizienten $29$ im Kopf auf $30$ rundest, ob die Höhe der Rakete nach $t = 2$ Sekunden über oder unter $40$ Metern liegt. Erkläre in einem Satz, wie du bei deiner Schätzung überlegt hast.
2. b) Berechne nun den genauen Wert von $h(2)$ und vergleiche ihn mit deiner vorherigen Vorhersage. Hältst du deine Schätzung für angemessen und nützlich? Begründe.
3. c) Bei der Berechnung von $h(6)$ erhält man genau $0$. Deute, was dieses Ergebnis physikalisch für den Flug der Rakete bedeutet und wie die Zahl $6$ in Bezug auf dieses Polynom mathematisch heißt.

Ein Spieledesigner entwirft ein Fliesenmuster für den Boden eines Verlieses. In Stufe 1 verwendet er eine einzelne Fliese in der Mitte, und in jeder weiteren Stufe umgibt er das bisherige Muster mit einer neuen Schicht Fliesen in einer anderen Farbe. Die Gesamtzahl der Fliesen in Stufe $n$ folgt einer logischen Regel.

Betrachte die Figur, die die ersten drei Stufen darstellt, und:

1. Finde das Polynom $P(n)$, das die Gesamtzahl der Fliesen angibt, die für den Bau bis zur Stufe $n$ nötig sind.

2. Berechne, wie viele Fliesen ein Boden der Stufe $n = 12$ hat.

Ein Paketdienst berechnet für den Versand von Paketen folgenden Tarif: eine feste Bearbeitungsgebühr von $G$ Euro, dazu ein Preis von $2$ € pro Kilogramm Gewicht und einen „Premium-Entfernungszuschlag“, der dem Quadrat des Paketgewichts geteilt durch 4 entspricht.

1. Gib das Polynom $C(x)$ an, das die Gesamtkosten für den Versand eines Pakets von $x$ Kilogramm darstellt.

2. Wenn die Bearbeitungsgebühr $G = 5$ € beträgt und wir ein Paket von $8$ kg versenden wollen, wie hoch sind dann die Gesamtkosten?

3. Wenn das Unternehmen beschließt, den Preis pro Kilogramm zu verdoppeln und alle übrigen Parameter beizubehalten, gib das neue Polynom $C_2(x)$ an.

Berechne den Flächeninhalt der schraffierten Fläche in der folgenden Figur und gib das Ergebnis als zusammengefasstes Polynom in Abhängigkeit von $x$ an. Die äußere Figur ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $3x + 2$ und die innere Aussparung ist ein Rechteck mit der Grundseite $x + 4$ und der Höhe $x - 1$.

Berechne und vereinfache den folgenden Term so weit wie möglich mithilfe der binomischen Formeln und des Ausklammerns:

Gib an, ob das Endergebnis eine konstante Zahl ist oder vom Wert von $x$ abhängt.

Gegeben ist das Polynom $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 6$. Bestimme den Wert des Koeffizienten $k$, wenn bekannt ist, dass der Wert des Polynoms für $x = 2$ gleich null ist ($x = 2$ ist eine Nullstelle des Polynoms). Berechne, sobald du $k$ gefunden hast, den Wert von $P(x)$ für $x = -1$.

Ein Park hat die Form eines Rechtecks. Ursprünglich misst seine Grundseite $x$ Meter und seine Höhe $5$ Meter weniger als die Grundseite. Die Gemeinde beschließt, den Park zu erweitern, indem sie die Grundseite um $3$ Meter und die Höhe um $2$ Meter vergrößert.

1. Gib das Polynom $A_1(x)$ für den Flächeninhalt des ursprünglichen Parks an.

2. Gib das Polynom $A_2(x)$ für den Flächeninhalt des erweiterten Parks an.

3. Bestimme das Polynom, das den Flächenzuwachs $I(x) = A_2(x) - A_1(x)$ darstellt, und vereinfache es.

Führe die folgende gemischte Rechnung mit Polynomen aus und fasse gleichartige Terme zusammen:

Klammere einen gemeinsamen Faktor aus und verwende die binomischen Formeln, um die folgenden Polynome zu faktorisieren.

Erinnere dich an die binomischen Formeln: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ und $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.

1. a) $Q(x) = 3x^3 - 12x$

1. b) $R(x) = x^4 - 10x^3 + 25x^2$

1. c) $S(x) = 2x^2 + 20x + 50$

Um zu überprüfen, ob die Zahlen $x = 3$ und $x = -1$ Nullstellen des in faktorisierter Form angegebenen Polynoms $P(x) = (x - 3) \cdot (x^2 + 5x + 4)$ sind, schlagen zwei Schüler unterschiedliche Wege vor:

• Danis Strategie: Alle Terme ausmultiplizieren, um das Polynom in ausmultiplizierter, geordneter und zusammengefasster Form zu erhalten, und danach $x = 3$ und $x = -1$ einsetzen.

• Emilias Strategie: Die Werte direkt in jede Klammer einzeln einsetzen, ohne auszumultiplizieren, und prüfen, ob einer der Faktoren null ergibt.

1. a) Wende Emilias Strategie an, um zu überprüfen, ob $x = 3$ eine Nullstelle von $P(x)$ ist. Zeige dabei deine Schritte.
2. b) Wende die Strategie an, die du für günstiger hältst, um zu überprüfen, ob $x = -1$ eine Nullstelle von $P(x)$ ist.
3. c) Vergleiche beide Wege und begründe, welche der beiden Methoden effizienter ist (weniger Rechnungen und geringeres Risiko für Vorzeichenfehler). Auf welcher mathematischen Eigenschaft der Multiplikation beruht Emilias Strategie, die es ermöglicht, die zweite Klammer nicht zu berechnen, wenn die erste gleich null ist?

Betrachte die Schar quadratischer Polynome, die durch den Term $P(x) = x^2 + b \cdot x + 15$ beschrieben wird, wobei $b$ eine uns unbekannte ganze Zahl ist.

1. a) Der Graph dieses Polynoms schneidet die waagerechte Achse $X$ im Punkt mit der Abszisse $x = -3$. Bestimme daraus mit Begründung den Wert, den der Koeffizient $b$ haben muss. (Denke an den Zusammenhang zwischen den Schnittpunkten mit der $X$-Achse und den Nullstellen des Polynoms.)
2. b) Schreibe mit dem erhaltenen Wert von $b$ den endgültigen Term des Polynoms auf und überprüfe, ob es die $X$-Achse auch im Punkt $x = -5$ schneidet.
3. c) Ein Mitschüler behauptet, man könne den Wert von $b$ durch eine andere passende ganze Zahl ersetzen, sodass $x = 0$ eine Nullstelle dieses Polynoms wäre. Zeige algebraisch, dass dein Mitschüler sich irrt, und erkläre, welche konkrete Änderung am Polynom nötig wäre, damit $x = 0$ eine Nullstelle sein könnte.