Aufgaben: Monome und Rechnen mit Monomen

In der Welt der Algebra sind nicht alle Terme „Monome“. Denke daran: Ein Monom ist ein Produkt aus einer Zahl und einer Variablen (oder mehreren) mit natürlichen Exponenten. Gib an, welche der folgenden Terme Monome sind und welche nicht. Erkläre in diesem Fall, warum nicht:

1. a) $5x^3$
2. b) $2 + a$
3. c) $-3ab^2$
4. d) $\frac{4}{x}$
5. e) $x$
6. f) $\sqrt{x}$

Übertrage die folgende Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Angaben für jedes Monom. Achte auf die Vorzeichen und die unsichtbaren Exponenten!

Zwei Monome sind „gleichartig“, wenn sie genau denselben Variablenteil haben. In der folgenden Liste sind drei Paare gleichartiger Monome versteckt. Finde sie und ordne sie zusammen!

• $4x^2$

• $-5ab$

• $\frac{1}{3}x$

• $2x^2$

• $8ab$

• $-7x$

Vereinfache diese Terme, indem du gleichartige Monome addierst oder subtrahierst. Wenn sich ein Term nicht vereinfachen lässt, gib den Grund an:

1. a) $3x + 5x - 2x$
2. b) $7a^2 - a^2$
3. c) $4x + 3y$
4. d) $5ab + ab - 3ab$
5. e) $x^3 + x^3 + x^3$

In einem Abenteuer-Videospiel sammelt deine Figur Energiekristalle. Die roten Kristalle sind je $x$ Punkte wert. Wenn du auf dem ersten Level $5x$ Kristalle bekommst, auf dem zweiten weitere $8x$ findest und auf dem dritten durch einen Zauber $3x$ verlierst, vereinfache den Term, um zu erfahren, wie viele Kristalle du am Ende hast.

Für eine Party kaufst du Getränkepakete. Jedes Paket enthält $6$ Dosen und der Preis einer Dose beträgt $y$ Euro. Wenn du $4$ gleiche Pakete kaufst, schreibe das Monom auf, das die Gesamtkosten des Einkaufs darstellt.

Ein Landwirt hat einen rechteckigen Gemüsegarten, in dem er Tomaten anpflanzen möchte. Hilf ihm, den Term für den Flächeninhalt des Gartens zu berechnen, indem du die folgenden Monome multiplizierst:

Führe die folgenden Multiplikationen von Monomen durch. Denke daran: Die Koeffizienten werden miteinander multipliziert und die Exponenten gleicher Variablen addiert:

• a) $3 \cdot (4x)$

• b) $2x \cdot 5x$

• c) $(-3a^2) \cdot 2a$

• d) $4x \cdot 3y$

Lea wiederholt die Rechenoperationen mit Monomen und hat in ihrem Heft diese beiden Behauptungen notiert:

1) $4x^3 + 5x^3 = 9x^6$

2) $2a + 3b = 5ab$

Finde den Denkfehler, den Lea in jeder der beiden Rechnungen gemacht hat. Erkläre mithilfe des Distributivgesetzes und der Definition gleichartiger Monome, warum ihre Überlegungen falsch sind. Schreibe zum Schluss die korrigierten Ergebnisse für beide Fälle auf.

Wir wollen ein unbekanntes Monom herausfinden, das wir $M$ nennen und über das wir die folgenden Hinweise haben:

1) Sein Koeffizient ist eine negative ganze Zahl, die echt größer als $-5$ ist.

2) Sein Variablenteil besteht aus den Variablen $x$ und $y$, beide mit einem Exponenten größer oder gleich $1$.

3) Wenn man das unbekannte Monom $M$ mit dem Monom $3x^2y$ multipliziert, erhält man ein Monom mit dem Koeffizienten $-12$ und dem Gesamtgrad $6$.

Leite den Koeffizienten und die möglichen Werte der Exponenten von $M$ her und begründe sie. Schreibe mindestens ein Monom auf, das alle Bedingungen genau erfüllt, und gib anschließend ein anderes Monom an, das zu ihm gleichartig ist.

In einem Strategiespiel werden Ressourcen durch Terme gespeichert. Vervollständige die folgende Tabelle, damit der Programmierer das Inventar richtig organisieren kann:

Du ordnest die Dateien auf deinem Computer. Um Speicherplatz zu sparen, darfst du nur „Dateien“ (Monome) addieren oder subtrahieren, die gleichartig sind. Vereinfache den folgenden Term so weit wie möglich:

$7x^2 - 3x + 2x^2 - 10x + 5$

Im Comicladen steht $x$ für eine Anzahl von Mangas. Wenn Lukas das Dreifache des Quadrats dieser Anzahl kauft und ihm dann das Doppelte des Quadrats dieser Anzahl abgezogen wird, welches Monom stellt die Anzahl der Mangas dar, die er am Ende bezahlt hat? Schreibe die Rechnung auf und vereinfache.

Ein Streaming-Server teilt ein Datenpaket der Größe $24x^6$ auf $4x^2$ Nutzer auf. Schreibe das Monom auf, das die Datenmenge darstellt, die jeder Nutzer erhält.

Ein Regal mit einer besonderen Vieleckform soll mit einem LED-Band umrandet werden. Berechne das Monom, das den gesamten Umfang der Figur darstellt, indem du ihre Seiten addierst:

Vereinfache die folgenden Divisionen von Monomen:

1. a) $\frac{15x^6}{3x^2} =$

1. b) $\frac{-20a^4}{5a^3} =$

1. c) $\frac{8y^3}{8y^3} =$

Wende das Distributivgesetz an, um die Klammern aufzulösen, und fasse die gleichartigen Terme im folgenden Term zusammen:

$3 \cdot (2x + 4) + 5 \cdot (x - 2)$

Bestimme den Term für den Flächeninhalt des folgenden Rechtecks in Form eines Monoms. Denke daran, dass der Flächeninhalt als Produkt aus Grundseite und Höhe berechnet wird ($A = b \cdot h$).

In einer Wetterstation des Deutschen Wetterdienstes im Harz werden Schneefälle untersucht, um die Last auf Gebäudedächern zu beurteilen. Bei einer Lagerhalle mit rechteckigem Flachdach ist die Halle $4x$ Meter lang und $3x$ Meter breit; die Dicke der Schneeschicht, die sich nach einem Unwetter angesammelt hat, beträgt $0,05x$ Meter.

1. a) Berechne das vereinfachte Monom, das das Volumen des auf dem Dach liegenden Schnees beschreibt (in $\text{m}^3$). Gib seinen Koeffizienten, seinen Variablenteil und seinen Grad deutlich an.
2. b) Jeder Kubikmeter dieses Schnees hat eine mittlere Masse von $120\text{ kg}$. Bestimme das vereinfachte Monom, das die gesamte Masse des auf dem Dach angesammelten Schnees darstellt.
3. c) Bei einer technischen Prüfung stellt sich heraus, dass $x = 2\text{ Meter}$. Berechne die tatsächliche Gesamtmasse des Schnees, die die Halle trägt, und überlege, ob die berechneten Abmessungen des Daches ($4x$ lang und $3x$ breit) in der Realität plausibel sind.

Wir schlagen dir vor, die folgende gemischte Rechnung mit Monomen zu untersuchen:

1. a) Schätze ohne zu rechnen: Begründe, bevor du die Rechenschritte ausführst, welchen Grad das Monom haben muss, das sich aus dem ersten Block (dem Bruchterm) ergibt, und welches Vorzeichen sein Koeffizient hat. Leite daraus ab, ob man den Term $- 5x^4$ davon subtrahieren kann oder nicht.
2. b) Überprüfe durch Rechnen: Löse den Term Schritt für Schritt unter Beachtung der Rechenreihenfolge: Multipliziere zuerst die Monome im Zähler, dividiere dann durch den Nenner und führe zuletzt die Subtraktion gleichartiger Terme aus.
3. c) Bewerte: Vergleiche das Endergebnis mit deinen Vorhersagen aus Teilaufgabe a). Stimmen Grad und Vorzeichen mit deinen früheren Überlegungen überein? Begründe, warum das Endergebnis ein Monom ist und kein nicht weiter vereinfachbarer Term aus zwei Gliedern.

Ein Street-Art-Künstler entwirft ein Wandbild mit ineinandergreifenden geometrischen Formen. Der zentrale Entwurf besteht aus einem großen Rechteck mit der Grundseite $5x^2$ und der Höhe $3y$. Innerhalb dieses Rechtecks lässt der Künstler eine unbemalte Aussparung in Form eines Dreiecks mit der Grundseite $2x^2$ und der Höhe $y$. Schreibe das vereinfachte Monom auf, das den Flächeninhalt darstellt, der letztlich farbig bemalt wird.

Betrachte den folgenden Turm aus Dekowürfeln. Jeder Würfel hat die Kantenlänge $a$ cm. Die Oberseite jedes Würfels ist golden bemalt und die äußeren Seitenflächen (die keinen anderen Würfel berühren) sind silbern bemalt.

1. Schreibe das Monom auf, das den gesamten golden bemalten Flächeninhalt bei einem Turm mit $n$ Stockwerken darstellt.

2. Schreibe das Monom auf, das den gesamten silbern bemalten Flächeninhalt darstellt, wenn der Turm genau 4 Stockwerke hat wie auf dem Bild.

Vervollständige die folgende „Monom-Pyramide“. In dieser Pyramide ist der Wert jedes Feldes das Produkt der beiden Monome darunter. Du musst die fehlenden Monome in der Basis bestimmen, sodass das Monom an der Spitze stimmt.

Erfinde zwei Monome $M_1$ und $M_2$, die alle diese Bedingungen gleichzeitig erfüllen:

1. Beide müssen $a^2b$ als Variablenteil haben.

2. Ihre Summe muss ein Monom mit dem Koeffizienten $-10$ sein.

3. Teilt man $M_1$ durch $M_2$, muss das Ergebnis die Zahl $4$ sein.

Schreibe die beiden Monome auf und überprüfe, dass sie die Bedingungen erfüllen.

Betrachte den Entwurf dieses Spielbereichs für einen Technologiepark. Die Gemeinde muss den gesamten Flächeninhalt berechnen, um in jedem Abschnitt Kunstrasen in verschiedenen Farben zu verlegen.

Berechne mithilfe von Rechenoperationen mit Monomen:

1. Den Flächeninhalt von Bereich A.

2. Den Flächeninhalt von Bereich B (bestehend aus zwei gleichen Dreiecken).

3. Den gesamten Flächeninhalt des Geländes, indem du die Summe der erhaltenen Monome vereinfachst.

Betrachte die folgende Reihe von Figuren aus weißen und grauen quadratischen Fliesen. Mathematiker nennen das „Wachstumsmuster“.

1. Wenn $n$ die Nummer der Figur ist, schreibe ein Monom auf, das die Anzahl der grauen Fliesen der Figur $n$ darstellt.

2. Schreibe ein Binom für die Anzahl der weißen Fliesen der Figur $n$ auf.

3. Addiere beide Terme, um den Term für die Gesamtzahl der Fliesen zu erhalten. Welche Figur hätte insgesamt 101 Fliesen?

Einem „Geheimnisvollen Monom“ sind in einer Rechenmaschine einige Teile verloren gegangen. Deine Aufgabe ist es, die ursprüngliche Gleichung zu rekonstruieren, indem du in jedem Fall das fehlende Monom findest (dargestellt durch das Zeichen $?$):

1. a) $? + 7a^2b - 3a^2b = 10a^2b$

1. b) $(? \cdot 5x^4) : 2x^2 = 15x^5$

1. c) $\frac{24y^{10}}{?} = 4y^5$

Vereinfache den folgenden zusammengesetzten Term und achte dabei genau auf die Reihenfolge der Rechenoperationen und die Potenzgesetze:

Erkläre Schritt für Schritt, wie du jeden Summanden vereinfacht hast, bevor du die abschließende Addition und Subtraktion durchgeführt hast. Welchen Grad hat das Polynom, das vor der vollständigen Vereinfachung entsteht?

In einer Wiederholungsstunde stellt der Lehrer die Aufgabe, den folgenden Term mit Monomen zu vereinfachen:

Zwei Schüler schlagen zwei verschiedene Strategien vor:

• Marcos' Methode: Er berechnet zuerst die Potenz der Klammer im Zähler, multipliziert dann alle Monome im Zähler miteinander und alle im Nenner miteinander, um einen einzigen Bruch zu erhalten, und teilt schließlich die Koeffizienten und subtrahiert die Exponenten.

• Saras Methode: Nachdem sie die Potenz der Klammer ausgerechnet hat, kürzt sie direkt die Zahlenfaktoren und die Potenzen gleicher Basis, die im Zähler und Nenner vorkommen, bevor sie die vollständigen Produkte bildet.

1. a) Entwickle und berechne den Term Schritt für Schritt nach Marcos' Methode.
2. b) Entwickle und berechne den Term Schritt für Schritt nach Saras Methode.
3. c) Vergleiche beide Vorgehensweisen: Kommt man zum selben Ergebnis? Welche Vor- und Nachteile hat jede Strategie hinsichtlich der Größe der Zwischenergebnisse und des Fehlerrisikos? Begründe, welche du wählen würdest, wenn die Koeffizienten viel größere Zahlen wären.

Eine Kartonfabrik in Düsseldorf stellt Kartons ohne Deckel aus einer rechteckigen Kartonplatte her, die $6x$ Meter lang und $4x$ Meter breit ist. Um jeden Karton zusammenzusetzen, wird an jeder der vier Ecken der Platte ein Quadrat mit der Seitenlänge $y$ Meter (mit $y < 2x$) ausgeschnitten und die vier entstehenden Laschen werden nach oben geknickt.

1. a) Gib den Term an, der den nutzbaren Kartonflächeninhalt darstellt, aus dem der Karton gebaut wird (Flächeninhalt der ursprünglichen Platte minus die vier ausgeschnittenen Ecken). Begründe, ob dieser Term nach der formalen Definition ein Monom ist oder nicht.
2. b) Das Designteam legt fest, dass der Zuschnitt der Ecken, damit die Proportionen immer optimal bleiben, genau $y = 0,5x$ betragen muss:

1. Setze diese Bedingung in den Term für den nutzbaren Flächeninhalt ein und vereinfache ihn zu einem einzigen Monom. Gib seinen Koeffizienten, seinen Variablenteil und seinen Grad an.

2. Bestimme die Monome, die die Länge der Grundfläche, die Breite der Grundfläche und die Höhe des gefalteten Kartons darstellen.

3. Bestimme das vereinfachte Monom, das das Innenvolumen des Kartons beschreibt.

1. c) Ein Kunde bestellt eine Serie von Kartons, die ein Mindestvolumen von $7500\text{ Liter}$ ($7,5\text{ m}^3$) fassen können. Die Fabrik stellt die Maschinen so ein, dass $x = 1\text{ Meter}$. Prüfe durch Berechnung des Volumens mit dem erhaltenen Monom, ob der Karton die Bestellung des Kunden erfüllt, und begründe deine Antwort.