Aufgaben: Verschiebungen

Betrachte das Gitter, in dem jede Seite eines Kästchens eine Einheit lang ist, und bestimme die Komponenten des Verschiebungsvektors $\vec{u}$, der den Punkt $P$ auf den Punkt $P'$ verschiebt.

Gegeben ist die Strecke mit den Endpunkten $A(-3|1)$ und $B(1|2)$. Berechne die Koordinaten der Bildstrecke $A'B'$ nach einer Verschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (4, 3)$. Zeichne beide Strecken in ein Koordinatensystem.

In einem Videospiel befindet sich eine Figur im Punkt $C(5|-2)$. Der Spieler drückt eine Tastenkombination, die einer Verschiebung entspricht. Die Figur erscheint plötzlich im Punkt $C'(1|3)$. Welcher Verschiebungsvektor $\vec{w}$ hat gewirkt?

Wende eine Verschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (6, 2)$ auf das Dreieck mit den Eckpunkten $V_1(0|0)$, $V_2(2|0)$ und $V_3(1|3)$ an.

1. Gib die Koordinaten der neuen Eckpunkte an.

2. Wie verhält sich der Flächeninhalt des neuen Dreiecks zum ursprünglichen? Begründe deine Antwort.

Finde heraus, welche der folgenden Möglichkeiten eine Verschiebung richtig beschreibt:

1. a) Das Drehen eines Schlüssels im Schloss.
2. b) Die Bewegung einer Schublade beim Öffnen.
3. c) Die Spiegelung eines Berges in einem See.
4. d) Die Bewegung der Zeiger einer Uhr.

Ein Objekt wird zweimal hintereinander verschoben. Die erste Verschiebung ist durch den Vektor $\vec{u} = (2, 5)$ gegeben, die zweite durch den Vektor $\vec{v} = (3, -1)$. Wie lautet der Vektor der einen Verschiebung, die der Hintereinanderausführung beider entspricht?

Wenn wir den Punkt $Q$ mit dem Vektor $\vec{v} = (-4, 7)$ verschieben, erhalten wir den Punkt $Q'(0|2)$. Wie lauteten die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $Q$ vor der Verschiebung?

In einer Grafikdesign-App gestaltet ein Jugendlicher ein Logo. Er hat ein Dreieck mit den Eckpunkten $P(2|-1)$, $Q(5|0)$ und $R(3|4)$ gezeichnet. Um den Entwurf zu vervollständigen, muss er das Dreieck so verschieben, dass der Eckpunkt $P$ im Koordinatenursprung $O(0|0)$ liegt.

1. a) Gib die Komponenten des Verschiebungsvektors $\vec{v}$ an, den er anwenden muss.
2. b) Berechne die neuen Koordinaten der Eckpunkte $Q'$ und $R'$ nach dieser Verschiebung.

Betrachte das Viereck $ABCD$ mit den Eckpunkten $A(1|1)$, $B(4|1)$, $C(5|3)$ und $D(2|3)$, das in der Abbildung dargestellt ist.

1. a) Wende auf das Viereck eine Verschiebung mit dem Vektor $\vec{t} = (3, -4)$ an und gib die Koordinaten der Eckpunkte der Bildfigur $A'B'C'D'$ an.
2. b) Berechne den Flächeninhalt des ursprünglichen Vierecks und überprüfe, ob die Verschiebung seinen Wert verändert hat. Begründe deine Antwort mit den Eigenschaften von Kongruenzabbildungen.

Ein Lagerroboter bewegt sich auf einer geradlinigen Bahn über den Hallenboden. Der Techniker hat seine Bewegung durch die Verkettung dreier aufeinanderfolgender Verschiebungen festgelegt:

1. $\vec{v_1} = (5, -2)$

2. $\vec{v_2} = (-3, 7)$

3. $\vec{v_3} = (a, b)$

Der Roboter startet im Punkt $(0|0)$ und endet nach den drei Bewegungen im Punkt $(4|4)$. Wie lauten die Komponenten des dritten Vektors $\vec{v_3}$?

Gegeben ist der Kreis mit dem Mittelpunkt $C(3|-2)$ und dem Radius $r = 4$ Einheiten:

1. a) Bestimme die Gleichung oder die Koordinaten des Mittelpunkts $C'$ des Kreises, der mit dem Vektor $\vec{u} = (-5, 6)$ verschoben wurde.
2. b) Wie groß ist der Radius des neuen Kreises?
3. c) Ein Punkt $P(7|-2)$ liegt auf dem ursprünglichen Kreis. Berechne die Koordinaten seines Bildpunktes $P'$ nach der Verschiebung.

Im kartesischen Koordinatensystem haben wir eine Gerade $s$, die durch die Punkte $A(0|2)$ und $B(2|6)$ verläuft. Wir wenden auf diese Gerade eine Verschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (1, 3)$ an.

1. a) Berechne die Koordinaten der Bildpunkte $A'$ und $B'$.
2. b) Bestimme die Steigung der ursprünglichen Geraden $s$ und der verschobenen Geraden $s'$. Welchen Zusammenhang stellst du fest?
3. c) Gibt es Verschiebungsvektoren, die die Gerade $s$ auf sich selbst abbilden (d. h. die Bildgerade stimmt mit der ursprünglichen überein)? Gib ein Beispiel für einen solchen Vektor an.

Zwei Verschiebungen heißen invers zueinander, wenn der Endpunkt nach ihrer Hintereinanderausführung mit dem Anfangspunkt übereinstimmt (man erhält die Identität).

1. a) Ein Objekt wurde mit dem Vektor $\vec{v} = (-7, 4)$ verschoben. Wie lautet der Vektor der inversen Verschiebung?
2. b) Wir wenden auf den Punkt $M(x|y)$ die Verschiebung $\vec{u} = (3, -2)$ und anschließend ihre Umkehrung an. Wie lauten die Koordinaten des Ergebnispunkts?
3. c) Ein Schiff fährt vom Hafen $A(10|20)$ zu einer Boje $B$ mit dem Vektor $\vec{v} = (50, -30)$. Wegen eines Sturms muss es sofort in den Hafen zurückkehren. Welchem Verschiebungsvektor muss es folgen, um genau zum Punkt $A$ zurückzukehren?

Eine Überwachungsdrohne startet von einer Basis im Punkt $B(12|15)$, den du in der Abbildung im Gitter markiert siehst. Sie führt zuerst eine Verschiebung um den Vektor $\vec{u} = (-8, 4)$ aus, um sich über einem Ziel zu positionieren. Nach Abschluss der Mission erhält sie einen Notfallbefehl zu einer Verschiebung um den Vektor $\vec{v} = (5, -10)$.

1. a) Berechne die Endkoordinaten der Drohne nach beiden Bewegungen.

1. b) Bestimme den einzelnen Verschiebungsvektor $\vec{w}$, mit dem die Drohne von ihrer Endposition in einer einzigen Bewegung direkt zur Basis $B$ zurückkehren könnte.

1. c) Wenn jede Einheit des Gitters $10$ Metern entspricht, berechne die gesamte Entfernung (Betrag), die sie auf diesem Rückflug zurücklegen würde.

Betrachte die Gerade $r$ mit der Gleichung $y = 2x - 3$. Wir wissen, dass eine Verschiebung eine Gerade invariant lässt (d. h. die Gerade wird auf sich selbst abgebildet), wenn der Verschiebungsvektor parallel zu dieser Geraden ist.

1. Finde einen Verschiebungsvektor $\vec{u} = (a, b)$ mit dem Betrag $\sqrt{20}$, der die Gerade $r$ auf sich selbst abbildet.

2. Wenn wir denselben Vektor $\vec{u}$ auf den Punkt $P(1|-1)$ anwenden, der auf der Geraden liegt: Wie lauten die Koordinaten des Bildpunktes $P'$? Überprüfe rechnerisch, ob $P'$ weiterhin auf der Geraden $r$ liegt.

Beim Entwurf eines Videospiels muss eine kreisförmige Spielfigur mit dem Mittelpunkt $C(x|y)$ und dem Radius $R = 3$ einem Hindernis ausweichen. Die Gleichung ihrer Kreislinie lautet zu Beginn $(x+4)^2 + (y-2)^2 = 9$.

Die Figur wird durch die Verkettung zweier Vektoren verschoben: $\vec{u} = (7, 3)$ und $\vec{v} = (-2, 5)$. In der Abbildung sind die Anfangsposition der Figur und die Mauer zu sehen.

1. a) Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts $C$ vor und nach der verketteten Verschiebung und berechne den Vektor $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$.

1. b) Stelle die Gleichung des Kreises in seiner Endposition auf.

1. c) Das Hindernis ist eine senkrechte Mauer auf der Geraden $x = 5$. Begründe, ob die Figur nach der Bewegung gegen die Mauer stößt.

Ein Architekt entwirft einen Fries, indem er ein vieleckiges Motiv wiederholt. Die Eckpunkte des Grundmotivs sind $A(0|0)$, $B(2|0)$, $C(3|2)$ und $D(1|2)$. Um den Fries zu erzeugen, wendet er nacheinander die Verschiebung mit dem Vektor $\vec{t} = (4, 0)$ an.

1. Berechne die Koordinaten der Eckpunkte des dritten Motivs des Frieses (das Motiv, das entsteht, wenn man die Verschiebung zweimal hintereinander auf das ursprüngliche Motiv anwendet).

2. Der Fries soll aus zwei verschiedenen Verschiebungen $\vec{t_1}$ und $\vec{t_2}$ zusammengesetzt sein, sodass $\vec{t_1} + \vec{t_2} = (4, 0)$ gilt und die erste Verschiebung $\vec{t_1}$ das Motiv um $2$ Einheiten nach oben verschiebt. Wie müssen der Vektor $\vec{t_1}$ und der Vektor $\vec{t_2}$ lauten?

Auf die Punkte $A(-2|3)$ und $B(4|7)$ wird eine Verschiebung $T_1$ mit dem Vektor $\vec{u} = (k, 2k)$ angewendet. Dabei wird der Punkt $A$ auf $A'$ abgebildet. Der Betrag des Vektors $\vec{AA'}$ beträgt $10$ Einheiten und es gilt $k > 0$:

1. Bestimme den Wert von $k$.

2. Berechne die Koordinaten von $A'$ und $B'$.

3. Zeige, dass die Strecke $A'B'$ dieselbe Länge hat wie die Strecke $AB$. Welche Eigenschaft von Verschiebungen wird damit gezeigt?

Ein gleichseitiges Dreieck hat seine Eckpunkte in $A(0|\sqrt{3})$, $B(-1|0)$ und $C(1|0)$. Es wird so verschoben, dass der Schwerpunkt des Dreiecks im Koordinatenursprung $O(0|0)$ liegt.

Hinweis: Der Schwerpunkt eines Dreiecks mit den Eckpunkten $(x_1|y_1), (x_2|y_2), (x_3|y_3)$ berechnet sich als $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\,\middle|\,\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$.

1. Berechne die Koordinaten des ursprünglichen Schwerpunkts $G$.

2. Bestimme den erforderlichen Verschiebungsvektor $\vec{v}$.

3. Berechne die neuen Koordinaten der Eckpunkte $A', B'$ und $C'$.

Eine Bewegung in der Ebene wird als Verkettung dreier aufeinanderfolgender Verschiebungen mit den Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix}$ und $\vec{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ definiert.

1. Zeige rechnerisch, dass diese Verkettung der identischen Verschiebung entspricht.

2. Was bedeutet es geometrisch, dass das Ergebnis die Identität ist?

3. Ein Quadrat mit dem Flächeninhalt $16$ Quadrateinheiten wird diesen drei Verschiebungen unterzogen. Wie groß ist sein endgültiger Flächeninhalt? Begründe deine Antwort mit den Eigenschaften von Kongruenzabbildungen.