Aufgaben: Geometrische Abbildungen

Emilia entwirft ein Icon für eine Handy-App und muss die Lage eines Referenzpunktes $A(-3|4)$ transformieren. Zuerst verschiebt sie ihn um den Vektor $\vec{v}(5, -2)$ und spiegelt anschließend den entstandenen Punkt an der $x$-Achse.

Emilia schreibt in ihr Heft die folgende Rechnung:

1. Verschiebung: $A'(-3 + 5|4 - 2) = A'(2|2)$.

2. Spiegelung an der $x$-Achse: „Da es eine Spiegelung an der waagerechten $x$-Achse ist, ändere ich das Vorzeichen der ersten Koordinate, also ist der Endpunkt $A''(-2|2)$“.

1. a) Nenne den Denkfehler, den Emilia im zweiten Schritt gemacht hat, und erkläre mit eigenen Worten, welche Koordinate bei der Spiegelung an der $x$-Achse tatsächlich das Vorzeichen wechselt und warum das geometrisch so ist.
2. b) Korrigiere die Rechnung und bestimme die richtigen Koordinaten des Endpunkts $A''$.
3. c) Wenn Emilia den Punkt $(-2|2)$ aus $A'(2|2)$ durch eine einzige Spiegelung hätte erhalten wollen, welche Gerade hätte dann als Spiegelachse dienen müssen?

In einem 2D-Jump-and-Run-Spiel springt die Figur von einer Position $P(2|-3)$ aus. Während des Sprungs erfährt sie zwei aufeinanderfolgende Bewegungen: zuerst eine unbekannte Verschiebung um den Vektor $\vec{u}(u_x, u_y)$ und dann eine zweite Verschiebung um den bekannten Vektor $\vec{v}(-1, 5)$, wodurch sie die Plattform im Endpunkt $P''(6|4)$ erreicht.

1. a) Stelle die entsprechenden Gleichungen auf und berechne mit Begründung die Komponenten des ersten Vektors $\vec{u}$.
2. b) Die Programmierer wollen den Sprung in einer einzigen direkten Bewegung von $P$ nach $P''$ programmieren. Wie lautet der Vektor $\vec{w}$ dieser einzelnen Verschiebung? Begründe den rechnerischen Zusammenhang zwischen $\vec{w}$, $\vec{u}$ und $\vec{v}$.
3. c) In $P''(6|4)$ angekommen, aktiviert die Figur einen Zauberspiegel, der ihre Position an einer senkrechten Achse mit unbekannter Gleichung $x = k$ spiegelt und ihren Schatten in den Punkt $P'''(0|4)$ wirft. Bestimme den Zahlenwert der Konstanten $k$ und begründe das geometrische Vorgehen.

Eine Töpferwerkstatt in Höhr-Grenzhausen fertigt eine traditionelle Zierborte für den Sockel einer Wand. Das Grundmotiv der Borte ist ein dreieckiges Stück, dessen Eckpunkte im Arbeitsgitter (in Zentimetern) $A(0|0)$, $B(4|0)$ und $C(2|3)$ sind. Um die Borte entlang einer Wand von $2\text{ m}$ ($200\text{ cm}$) zu bilden, wird dieses Dreieck durch fortlaufende Verschiebung um den Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}$ wiederholt.

1. a) Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte des zweiten Dreiecks ($A_2, B_2, C_2$) und des dritten Dreiecks ($A_3, B_3, C_3$). Erkläre anhand der Koordinaten der Grundseiten mit Begründung, ob benachbarte Stücke aneinanderstoßen, sich überlappen oder ob auf der waagerechten Achse eine Lücke zwischen ihnen bleibt.
2. b) Berechne unter Berücksichtigung der Breite der Grundseite jedes Motivs ($4\text{ cm}$) und des Verschiebungsschritts, wie viele vollständige dreieckige Motive in die waagerechte Borte von $200\text{ cm}$ passen, ohne dass das letzte diese Länge überschreitet.
3. c) Für eine Variante der Borte beschließt der Handwerker, das Anfangsdreieck $ABC$ vor dem Verschieben an der Geraden $y = 0$ (Achse $X$) zu spiegeln. Gib die Koordinaten der Eckpunkte des gespiegelten Motivs an und begründe, ob dieses neue Motiv den ursprünglichen Umlaufsinn seiner Eckpunkte beibehält (gleichsinnige Abbildung) oder umkehrt (ungleichsinnige Abbildung).

In einem Grafikdesign-Studio wird ein Logo auf Grundlage verketteter Spiegelungen entworfen. Betrachte zwei parallele Geraden $r$ und $s$. Die Gerade $r$ hat die Gleichung $x = 2$ und die Gerade $s$ hat die Gleichung $x = 5$. Wir spiegeln einen Punkt $P(1|4)$ zuerst an $r$ und das Ergebnis anschließend an $s$:

1. a) Bestimme die Koordinaten des Endpunkts $P''$ nach beiden Abbildungen.

1. b) Bestimme mit Begründung, welche einzelne Abbildung dieser Verkettung von Spiegelungen entspricht, und gib ihre charakteristischen Elemente an (Vektor, Winkel bzw. Zentrum, je nach Fall).

1. c) Käme dasselbe Ergebnis heraus, wenn wir zuerst an $s$ und dann an $r$ spiegeln würden? Begründe deine Antwort, indem du die Koordinaten in dieser neuen Reihenfolge berechnest.

Ein handgefertigtes Kaleidoskop verwendet zwei Spiegel, die sich in einem Punkt $O(0|0)$ schneiden. Der erste Spiegel liegt auf der $x$-Achse und der zweite Spiegel schließt mit dem ersten einen Winkel von $30^\circ$ ein. Ein kleiner farbiger Kristall liegt im Punkt $A(4|2)$, wie die Abbildung zeigt.

1. a) Ein Lichtstrahl wird zuerst an der $x$-Achse und dann am zweiten Spiegel reflektiert. Welche einzelne Abbildung beschreibt den Übergang vom ursprünglichen Kristall $A$ zu seinem zweiten Bild $A''$?

1. b) Berechne den Drehwinkel und das Drehzentrum dieser Abbildung.

1. c) Wir möchten, dass die Verkettung der beiden Spiegelungen eine Drehung um $180^\circ$ ergibt (Punktspiegelung). Welchen Winkel müssten die beiden Spiegel miteinander einschließen?

Ein Dreieck mit den Eckpunkten $A(1|2)$, $B(3|2)$ und $C(2|4)$ wird zuerst um den Vektor $\vec{u}(4, -1)$ verschoben und danach um das Zentrum $O(0|0)$ mit dem Winkel $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn gedreht.

1. a) Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte des Bilddreiecks $A''B''C''$.
2. b) Ist die Verkettung der Abbildungen in diesem Fall vertauschbar? Überprüfe dies, indem du die Position des Eckpunkts $A$ berechnest, wenn zuerst die Drehung und danach die Verschiebung ausgeführt würde.
3. c) Gib eine Gerade an, die unter der Verschiebung um den Vektor $\vec{u}$ invariant ist (auf sich selbst abgebildet wird).

In einem Videospiel befindet sich eine Figur im Punkt $M(-2|3)$. Der Programmierer möchte, dass die Figur eine „Gleitspiegelung“ ausführt. Dazu muss er eine Spiegelung an der Geraden $y = 1$ und anschließend eine Verschiebung um den Vektor $\vec{v}(5, 0)$ anwenden.

1. a) Bestimme die Endkoordinaten der Figur nach der Bewegung.
2. b) Erkläre, warum bei dieser Abbildung kein Punkt der Ebene fest bleibt.
3. c) Wäre es auch dann noch eine Gleitspiegelung, wenn die Verschiebung statt um $\vec{v}(5, 0)$ um den Vektor $\vec{w}(0, 5)$ erfolgte? Begründe deine Antwort mit dem Zusammenhang zwischen dem Vektor und der Spiegelachse.

Ein Mosaik der Alhambra besteht aus Teilen, die durch Verkettung von Drehungen entstehen. Ein Grundelement hat sein Drehzentrum im Punkt $C(2|2)$. Es wird um $120^\circ$ gedreht und anschließend um $240^\circ$ mit demselben Zentrum $C$.

1. a) Wo liegt ein Punkt $P(4|2)$ nach beiden Drehungen?
2. b) Verallgemeinere das Ergebnis: Welcher Abbildung entspricht die Verkettung zweier Drehungen mit demselben Zentrum und den Winkeln $\alpha$ und $\beta$?
3. c) Wenn wir zwei Drehungen um $90^\circ$ mit verschiedenen Zentren $C_1(0|0)$ und $C_2(4|0)$ ausführen, ist das Ergebnis dann eine weitere Drehung oder eine Verschiebung? Begründe deine Antwort, indem du den Gesamtwinkel untersuchst.

In einem Theater kann sich die runde Bühne um ihren Mittelpunkt $O(0|0)$ drehen, und einer der Scheinwerfer ist im Punkt $A(3|1)$ installiert. Bei einer Choreografie werden nacheinander zwei Abbildungen ausgeführt: zuerst eine Drehung um das Zentrum $O$ mit dem Winkel $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn und anschließend eine Spiegelung an der Geraden $y = x$. Die Abbildung zeigt den Scheinwerfer $A$ und die Gerade $y = x$.

1. a) Berechne die Koordinaten der Position des Scheinwerfers nach der Drehung ($A'$) und seiner Endposition nach der Spiegelung ($A''$).
2. b) Ist die Verkettung einer Drehung mit einer Spiegelung eine gleichsinnige oder eine ungleichsinnige Kongruenzabbildung? Begründe deine Antwort.
3. c) Ist diese Verkettung vertauschbar? Überprüfe dies, indem du die Endposition des Scheinwerfers berechnest, wenn zuerst die Spiegelung und danach die Drehung ausgeführt würde.

Zwei Dörfer $A$ und $B$ liegen auf derselben Seite einer geradlinigen Straße $r$. Ein Telekommunikationstechniker soll an einem Punkt $P$ der Straße eine Antenne aufstellen, sodass die Summe der Entfernungen der Dörfer zur Antenne ($AP + PB$) minimal ist.

1. a) Beschreibe, wie man mithilfe der Achsenspiegelung die genaue Lage des Punktes $P$ findet.

1. b) In einem Koordinatensystem liegen die Dörfer bei $A(2|5)$ und $B(10|3)$, und die Straße ist die $x$-Achse (wie in der Abbildung). Berechne die Koordinaten des Punktes $P$.

1. c) Zeige mithilfe der Eigenschaften der Spiegelung, dass für jeden anderen Punkt $Q$ der Straße $AQ + QB > AP + PB$ gilt.

Betrachte ein Quadrat mit den Eckpunkten $V_1(0|2)$, $V_2(2|2)$, $V_3(2|0)$ und $V_4(0|0)$. Darauf wird eine Abbildung angewendet, die aus einer Punktspiegelung am Punkt $(1|1)$ und anschließend einer Drehung um $180^\circ$ mit demselben Zentrum $(1|1)$ besteht.

1. a) Bestimme die Lage der Eckpunkte nach der ersten Abbildung.
2. b) Bestimme die Lage der Eckpunkte nach der zweiten Abbildung.
3. c) Welche Abbildung ergibt sich bei der Verkettung zweier Punktspiegelungen mit verschiedenen Zentren $C_1$ und $C_2$? Untersuche diesen Fall mit $C_1(1|1)$ und $C_2(3|1)$ am Eckpunkt $V_4$. Welchen Verschiebungsvektor erhältst du?

Das große Rosettenfenster einer gotischen Kathedrale in Köln besitzt Drehsymmetrie. Für eine virtuelle Restaurierung wird das Rosettenfenster in ein kartesisches Koordinatensystem gelegt, wobei sein geometrischer Mittelpunkt im Punkt $C(2|3)$ liegt. Ein wichtiges Zierelement hat eine seiner Ecken im Punkt $P(5|7)$ (die Maße sind in Metern angegeben).

1. a) Das Rosettenfenster hat die Drehsymmetrieordnung $n = 8$ (es sieht nach Drehungen um ganzzahlige Vielfache von $360^\circ / 8$ identisch aus). Welches ist der kleinste positive Drehwinkel (ungleich $0^\circ$), der das Zierelement auf einen anderen, identischen Teil der Rosette abbildet?
2. b) Der Restaurator muss die Lage der Ecke $P'$ bestimmen, die entsteht, wenn man den Punkt $P(5|7)$ um $90^\circ$ im Uhrzeigersinn um den Punkt $C(2|3)$ dreht. Da das Zentrum nicht der Koordinatenursprung $(0|0)$ ist, leite die Koordinaten von $P'$ mit Begründung her. (Du kannst dir helfen, indem du den horizontalen und den vertikalen Abstand von $P$ zu $C$ berechnest und untersuchst, wie sie nach der Drehung ausgerichtet sind.)
3. c) Ein Historiker behauptet, dass eine Drehung um $180^\circ$ mit dem Zentrum $C(2|3)$ genau dasselbe Ergebnis liefert wie die Verkettung zweier Spiegelungen an zwei senkrechten Geraden, die sich in $C$ schneiden. Gib die Gleichung einer waagerechten und einer senkrechten Geraden an, die diese Bedingung erfüllen, berechne rechnerisch das Bild von $P(5|7)$ nach beiden Spiegelungen und zeige, ob die Behauptung des Historikers richtig ist.

Herausforderung des Themas. Hast du schon einmal auf die Mathematik geachtet, die den Boden deiner Küche, deines Hausflurs oder eines Platzes in deinem Viertel schmückt? Du wirst zum digitalen Designer, indem du ein echtes geometrisches Muster analysierst und nachbaust.

1. Erfassung realer Daten: Wähle eine Fliese, einen Kachel oder ein Mosaik aus deiner Umgebung mit sich wiederholenden Figuren. Miss mit einem Lineal oder Maßband die tatsächlichen Abmessungen (zum Beispiel Seitenlängen von $15,5\text{ cm}$ oder Abstände zwischen Eckpunkten) und notiere die Zahlenwerte.

2. Konstruktion in GeoGebra: Öffne GeoGebra und lege die Eckpunkte des erzeugenden Grundmotivs fest, indem du die gemessenen Werte als Koordinaten verwendest. Erzeuge aus diesem Anfangsstück das Mosaik, indem du mindestens drei verschiedene geometrische Abbildungen anwendest: eine Verschiebung mit einem Vektor $\vec{u}$, eine Drehung mit Angabe von Zentrum und Winkel $\alpha$ und eine Spiegelung (Achsen- oder Punktspiegelung).

3. Designbericht: Erstelle einen einseitigen Bericht mit dem Foto des Originals, einem Screenshot deiner Konstruktion mit sichtbarem Gitter und einer Tabelle, in der du die ursprünglichen Koordinaten dreier wichtiger Eckpunkte ihren Bildkoordinaten gegenüberstellst und jede ausgeführte Operation rechnerisch angibst.

Bewertet werden:

• Genauigkeit beim Erfassen der realen Maße und ihre stimmige Übertragung in das Koordinatensystem.

• Richtiges Erkennen und Anwenden von Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen mit ihren bestimmenden Elementen (Vektoren, Zentren, Achsen).

• Qualität der Modellierung in GeoGebra und Klarheit des rechnerischen Berichts.