Aufgaben: Rechnen mit Brüchen

Bei einer Kaffeerunde mit Freunden wurden mehrere gleich große Pizzen gekauft, die alle in 8 gleiche Stücke geschnitten sind.

• Markus hat $\frac{3}{8}$ einer Pizza gegessen.

• Sarah hat $\frac{2}{8}$ einer Pizza gegessen.

Berechne, welchen Bruchteil einer Pizza die beiden zusammen gegessen haben und wie viele Stücke übrig sind, wenn nur eine Pizza angeschnitten wurde.

Für ein Kunstprojekt hat eine Schülergruppe eine Schachtel mit $60$ Filzstiften. Wenn sie $\frac{2}{5}$ der Filzstifte für ein Wandbild verbraucht haben, wie viele Filzstifte haben sie insgesamt benutzt?

Berechne die folgenden Summen und Differenzen von Brüchen mit gleichem Nenner und kürze das Ergebnis, wenn es möglich ist:

1. a) $\frac{5}{12} + \frac{1}{12}$

1. b) $\frac{11}{15} - \frac{4}{15}$

1. c) $\frac{7}{9} + \frac{2}{9} - \frac{4}{9}$

Eine junge Influencerin widmet ihren Nachmittag der Organisation ihrer Videos. Sie verbringt $\frac{1}{4}$ der Zeit mit dem Aufnehmen, $\frac{1}{3}$ mit dem Schneiden und die restliche Zeit nutzt sie, um Kommentare zu beantworten. Berechne, welchen Bruchteil der Gesamtzeit sie mit Aufnehmen und Schneiden verbringt (denke daran, einen gemeinsamen Nenner zu suchen).

Führe die folgenden Multiplikationen von Brüchen durch und kürze die Ergebnisse bis zum vollständig gekürzten Bruch:

1. a) $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}$

1. b) $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}$

1. c) $5 \cdot \frac{3}{10}$

In der Küche eines Cafés sollen $3$ Liter Orangensaft in Gläser zu je $\frac{1}{4}$ Liter verteilt werden. Wie viele Gläser können vollständig gefüllt werden? Veranschauliche deine Überlegung, indem du jeden Liter in Teile teilst. In der Abbildung siehst du die $3$ Liter in drei Flaschen zu je $1$ l; du kannst sie in dein Heft abzeichnen und jede Flasche unterteilen.

Löse diese Divisionen mithilfe des Kreuzprodukts:

1. a) $\frac{4}{5} : \frac{2}{3}$

1. b) $\frac{1}{6} : \frac{1}{2}$

1. c) $\frac{3}{7} : 3$

Der Akku eines Tablets zeigt an, dass noch $\frac{7}{10}$ Ladung übrig sind. Wenn er nach dem Ansehen einiger Videos $\frac{2}{5}$ der gesamten Ladung verbraucht hat, welcher Bruchteil des Akkus ist dann noch übrig? (Hilfe: Wandle $\frac{2}{5}$ in einen Bruch mit dem Nenner $10$ um.)

Auf einer Geburtstagsfeier sind zwei Platten mit gleich großen Stücken spanischer Kartoffeltortilla übrig geblieben: Auf der einen liegt noch $\frac{1}{2}$ Tortilla, auf der anderen noch $\frac{1}{4}$. Sergio möchte berechnen, wie viel Tortilla insgesamt übrig ist, und schreibt in sein Heft:

1. a) Erkläre, ohne schriftlich zu rechnen, warum Sergios Ergebnis in der Realität unmöglich ist (überlege, ob es sinnvoll ist, beim Zusammenlegen von Essen insgesamt weniger zu erhalten als die halbe Tortilla, die schon auf der ersten Platte lag).
2. b) Erkläre, welchen mathematischen Fehler Sergio beim Rechnen mit den Brüchen gemacht hat.
3. c) Löse die Addition richtig, indem du auf den gemeinsamen Nenner bringst, und gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

Um im Schullabor ein isotonisches Getränk zuzubereiten, gießt du in einen Krug mit $2$ Litern Fassungsvermögen zuerst $\frac{4}{5}$ Liter Mineralwasser und gibst dann $\frac{7}{10}$ Liter Orangensaft dazu.

1. a) Schätze: Überlege, bevor du genau rechnest, ob der Krug überlaufen wird (ob also die Summe $2$ Liter übersteigt) und ob das Endvolumen größer, kleiner oder gleich anderthalb Litern ($\frac{3}{2}$ Liter) ist. Begründe deine Schätzung, indem du jeden Bruch im Kopf mit 1 oder mit ½ vergleichst.
2. b) Berechne: Bestimme die genaue Flüssigkeitsmenge im Krug, indem du die Brüche mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen addierst. Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.
3. c) Überprüfe: Wandle deinen Bruch in eine Dezimalzahl um und prüfe, ob sie deine Schätzung aus Teilaufgabe a) bestätigt.

Für ein tropisches Erfrischungsgetränk mischt eine Gruppe von Freunden $\frac{3}{4}$ Liter Ananassaft, $\frac{1}{3}$ Liter Orangensaft und $\frac{5}{6}$ Liter Sprudelwasser. Wenn nach dem Mischen $\frac{2}{5}$ Liter getrunken werden, bevor das Getränk in den Kühlschrank kommt, wie viel Getränk bleibt dann insgesamt übrig? Gib das Ergebnis gekürzt in Litern an.

Eine Streaming-Plattform teilt ihren Serienkatalog in drei Teile auf: $\frac{2}{5}$ sind Actionserien, $\frac{1}{3}$ sind Comedyserien und der Rest sind Dokumentationen. Wenn ein Nutzer bereits $\frac{3}{4}$ aller verfügbaren Actionserien gesehen hat, welchen Bruchteil des gesamten Katalogs machen dann die Actionserien aus, die er noch nicht gesehen hat?

Berechne das Ergebnis der folgenden gemischten Rechnung unter Beachtung der Rechenreihenfolge und kürze das Endergebnis zu einem vollständig gekürzten Bruch:

Ein Gärtner hat $\frac{2}{9}$ seines Geldes für Werkzeuge für einen Rasenmäher ausgegeben und $\frac{3}{10}$ des anfänglichen Budgets für eine Gartenschere. Wenn ihm in seinem Budget noch $172$ € übrig bleiben, wie viel Geld hatte er am Anfang?

(Tipp: Berechne zuerst, welchen Bruchteil des Ganzen er ausgegeben hat, indem du beide Anteile addierst.)

Wende die Potenz- und Wurzelgesetze an, um den folgenden Zahlenterm zu vereinfachen:

In der Technik-Werkstatt werden Holzleisten zugeschnitten. Wir haben eine Leiste von $\frac{15}{2}$ Metern Länge und wollen sie in gleich lange Stücke von je $\frac{3}{4}$ Meter teilen. Wie viele vollständige Stücke erhalten wir? Bleibt Holz übrig?

Bestimme den Wert der Variablen $x$ in der folgenden Gleichung mit Bruchrechnung:

Eine Drohne startet vom Boden und steigt auf eine Höhe von $12$ Metern. Dann sinkt sie wegen einer Windböe um $\frac{14}{3}$ Meter. Wenn sie danach wieder um eine Höhe steigt, die $\frac{2}{5}$ der Position nach dem Sinken entspricht, in welcher Höhe über dem Boden befindet sich die Drohne dann am Ende?

Im Mathematikunterricht soll die folgende gemischte Rechnung gelöst werden:

Zwei Mitschüler vertreten unterschiedliche Strategien:

• Sophie multipliziert zuerst in einer Zeile die Zähler und die Nenner der Klammer und wendet dann die Division an, indem sie die großen Zahlen über Kreuz multipliziert und erst ganz am Ende kürzt.

• Lea wandelt die Division in eine Multiplikation mit dem Kehrwert um, zerlegt die Zahlen in Primfaktoren, um gemeinsame Faktoren in Zähler und Nenner vor dem Multiplizieren zu kürzen, und rechnet erst am Ende.

1. a) Löse die Aufgabe, indem du Schritt für Schritt Sophies Vorgehen folgst.
2. b) Löse die Aufgabe nach Leas Verfahren und zeige deutlich, wie du vor dem Rechnen kürzt.
3. c) Vergleiche beide Wege: Welcher ist effizienter und verringert das Risiko von Rechenfehlern bei großen Zahlen? Begründe deine Antwort.

Wir wollen ein Logikrätsel mit Brüchen lösen: Finde zwei verschiedene Stammbrüche (also Brüche der Form $\frac{1}{a}$ und $\frac{1}{b}$ mit Zählern gleich $1$ und verschiedenen natürlichen Nennern), die gleichzeitig diese beiden Bedingungen erfüllen:

1. Ihr Produkt ist genau $\frac{1}{12}$.

2. Ihre Differenz (der größere minus der kleinere) ist genau $\frac{1}{12}$.

1. a) Bestimme durch Überlegen, welche Zahlen $a$ und $b$ sein müssen, indem du die Teiler des gemeinsamen Nenners untersuchst.
2. b) Führe die Rechnungen durch und überprüfe, dass beide Brüche gleichzeitig die Bedingung für das Produkt und für die Differenz erfüllen.
3. c) Begründe, warum es unmöglich wäre, dass die Summe zweier positiver Brüche einen Bruch ergibt, der kleiner ist als einer der beiden Ausgangsbrüche.

Die Redaktion einer Jugendzeitschrift untersucht, woher ihre Leserinnen und Leser kommen. Sie weiß, dass $\frac{2}{5}$ aller Lesenden in Deutschland leben. Von den übrigen Lesenden leben $\frac{3}{8}$ in Ländern Lateinamerikas. Wenn noch $1.500$ Lesende im Rest der Welt leben, wie viele Lesende hat die Zeitschrift insgesamt?

Berechne das Ergebnis der folgenden gemischten Rechnung und kürze das Ergebnis vollständig:

In einem Chemielabor enthält ein Behälter $A$ $\frac{3}{4}$ Liter Alkohol und ein Behälter $B$ enthält $\frac{2}{3}$ Liter Wasser. Die Hälfte des Inhalts von Behälter $A$ wird in Behälter $B$ umgefüllt. Welcher Bruchteil eines Liters Mischung befindet sich nun in Behälter $B$? Wenn anschließend $\frac{1}{5}$ der gesamten Mischung von $B$ verschüttet wird, wie viele Liter bleiben dann in diesem Behälter?

Ein Architekt entwirft ein nachhaltiges Haus. Der Garten nimmt $\frac{2}{7}$ des gesamten Grundstücks ein. Das Haus nimmt $\frac{3}{5}$ der verbleibenden Fläche ein. Wenn Garage und Pool die letzten $120$ $m^2$ einnehmen, wie groß ist die gesamte Fläche des Grundstücks?

Bestimme den Wert des folgenden Terms mit Potenzen und Wurzeln rationaler Zahlen. Denke daran, die Rangfolge der Rechenoperationen zu beachten und so weit wie möglich zu kürzen:

Drei Freunde, Anna, Ben und Carla, kaufen eine riesige Pizza fürs Abendessen. Anna isst $\frac{1}{4}$ der Pizza. Ben isst $\frac{1}{3}$ von dem, was übrig ist. Carla isst $\frac{2}{5}$ von dem, was nach Anna und Ben übrig ist.

1. a) Welcher Bruchteil der Pizza ist übrig geblieben?

1. b) Wenn die Pizza $1,2$ kg wog, wie viele Gramm hat jeder gegessen?

Ein Radfahrer fährt eine Etappe von $120$ km in drei Abschnitten. In der ersten Stunde legt er $\frac{2}{5}$ der Strecke zurück. In der zweiten Stunde sinkt seine Geschwindigkeit wegen der Müdigkeit, und er schafft nur $\frac{1}{3}$ der Strecke, die noch vor ihm lag. Wie viele Kilometer bleiben ihm für die dritte Stunde? Welchen Bruchteil der Gesamtstrecke stellt dieser letzte Abschnitt dar?

Berechne den Wert der Variablen $x$ in der folgenden Gleichung mit Brüchen:

Nach den Daten eines Wasserverbands in Spanien hat ein Stausee zu Herbstbeginn eine bestimmte Wasserreserve. Im Oktober werden folgende Veränderungen verzeichnet:

• Es werden $\frac{3}{8}$ des anfänglichen Wassers für die Bewässerung in der Landwirtschaft und für die ökologische Mindestwassermenge des Flusses abgelassen.

• Von dem Wasser, das nach der Bewässerung im Stausee bleibt, verdunsten $\frac{1}{5}$ aufgrund der hohen Temperaturen im Spätsommer.

• Ende des Monats bringt ein Regenunwetter eine Wassermenge, die $\frac{1}{4}$ des Wassers entspricht, das zu Monatsbeginn anfangs vorhanden war.

Nach diesen Veränderungen speichert der Stausee genau $150\text{ hm}^3$ (Kubikhektometer) Wasser.

1. a) Schreibe einen einzigen zusammengesetzten Term mit Brüchen auf, der den Bruchteil des anfänglichen Wassers darstellt, der unmittelbar vor Beginn des Regenunwetters noch vorhanden war.
2. b) Bestimme, welcher Bruchteil des Anfangsvolumens am Ende des Oktobers im Stausee ist.
3. c) Berechne, wie viele Kubikhektometer Wasser der Stausee zu Monatsbeginn enthielt.
4. d) Begründe, ob der Stausee im Laufe des Monats im Vergleich zu seinem Anfangsstand Wasser gewonnen oder verloren hat, indem du den erhaltenen Bruch mit 1 vergleichst.

Ein ICE der Deutschen Bahn fährt vollständig besetzt von Berlin nach Dortmund und hält auf der Strecke nur zweimal:

• Beim ersten Halt (Hannover) steigt genau $\frac{1}{4}$ der Fahrgäste aus und niemand steigt ein.

• Beim zweiten Halt (Bielefeld) steigt ein unbekannter Bruchteil $\frac{a}{b}$ der Personen aus, die sich zu diesem Zeitpunkt im Zug befinden, und es steigt ebenfalls niemand ein.

• Der Zug kommt am Zielbahnhof Dortmund mit $120$ Fahrgästen an, das sind genau $\frac{2}{5}$ aller Fahrgäste, die die Fahrt in Berlin begonnen haben.

1. a) Bestimme, wie viele Fahrgäste insgesamt bei der Abfahrt in Berlin im Zug waren.
2. b) Berechne, wie viele Personen unmittelbar nach der Abfahrt vom Halt in Hannover im Zug saßen.
3. c) Welchen Bruchteil der anfänglichen Fahrgäste aus Berlin machten die Personen aus, die in Bielefeld ausgestiegen sind?
4. d) Bestimme den Wert des unbekannten Bruchs $\frac{a}{b}$, also welcher Bruchteil der Fahrgäste, die sich zu diesem Zeitpunkt im Zug befanden, in Bielefeld ausgestiegen ist. Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an und begründe jeden Schritt.

Themenchallenge. Wie geht dein Haushalt mit Ressourcen um? Werde Umweltprüfer und untersuche den Wasserverbrauch bei dir zu Hause im Vergleich mit offiziellen Daten.

1. Datenerhebung: Suche auf der Website des Statistischen Bundesamts (Destatis) den durchschnittlichen Wasserverbrauch in Deutschland (ca. $133$ Liter pro Person und Tag) heraus oder notiere den Zählerstand des Wasserzählers bei dir zu Hause an zwei aufeinanderfolgenden Tagen, um den tatsächlichen Tagesverbrauch zu berechnen.

2. Brüche und rationale Zahlen: Schätze den Wasserverbrauch nach Tätigkeiten (Dusche, Toilettenspülung, Küche, Reinigung) und ordne ihn ein. Gib jeden Verbrauch als Bruchteil des Gesamtverbrauchs an und kürze ihn vollständig. Begründe, dass er zur Menge der rationalen Zahlen ($\mathbb{Q}$) gehört. Bestimme außerdem für jeden Fall zwei gleichwertige Brüche durch Erweitern.

3. Rechnen mit Dezimalzahlen: Der durchschnittliche Preis für $m^3$ ($1000$ Liter) beträgt $1,97$ €. Berechne in einer Tabellenkalkulation mit Dezimalzahlen die täglichen Kosten für jeden Verbrauch und die geschätzte Rechnung für einen Monat ($30$ Tage).

4. Begründeter Vorschlag: Verfasse einen kurzen Bericht mit einem Plan, um $2/15$ des Verbrauchs zu senken, und berechne mit Dezimalzahlen die monatliche Ersparnis in Euro.

Bewertet wird:

• das sorgfältige Bestimmen vollständig gekürzter und gleichwertiger Brüche anhand realer Daten.

• die Richtigkeit bei gemischten Rechenaufgaben mit Dezimalzahlen.

• die übersichtliche Anordnung der Daten in der Tabellenkalkulation und die Umsetzbarkeit des Vorschlags.