Aufgaben: Darstellung auf dem Zahlenstrahl

Betrachte die folgende Zahlengerade und bestimme, welche ganze Zahl zu jedem der mit einem Punkt markierten Buchstaben gehört:

Zeichne in dein Heft eine Zahlengerade und stelle darauf die folgenden ganzen Zahlen dar: $+4$, $-3$, $0$, $+1$ und $-5$. Wähle zwischen den einzelnen Zahlen einen Abstand von $1$ cm.

Auf einem Thermometer gelten Temperaturen über null als positiv und Temperaturen unter null als negativ. Trage auf der senkrechten Skala des Thermometers die folgenden Temperaturen einer Winterwoche ein: $-2 ^\circ C$, $+5 ^\circ C$ und $0 ^\circ C$.

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Gib an, welche ganze Zahl die Gegenzahl der Zahl ist, die durch den orangefarbenen Punkt auf der Geraden dargestellt wird. Stelle diese Gegenzahl auch auf derselben Geraden dar.

Ein Taucher befindet sich in $-10$ Metern Tiefe (unter dem Meeresspiegel). Wenn er $4$ Meter aufsteigt, in welcher Position befindet er sich dann? Stelle es auf einer senkrechten Zahlengeraden dar, bei der $0$ der Meeresspiegel ist.

Betrachte die Gerade und schreibe die fehlenden ganzen Zahlen in die leeren Kästchen, wenn du weißt, dass der Abstand zwischen den Markierungen jeweils $1$ Einheit beträgt.

Denke daran: Je weiter rechts eine Zahl auf der Zahlengeraden liegt, desto größer ist sie. Vergleiche damit die folgenden Zahlenpaare mit den Zeichen $>$ (größer als) oder $<$ (kleiner als):

1. a) $-4$ _____ $+2$
2. b) $-1$ _____ $-5$
3. c) $+3$ _____ $0$
4. d) $-2$ _____ $+1$

Schreibe die ganzen Zahlen auf, deren Betrag gleich $3$ ist. Stelle sie anschließend auf einer Zahlengeraden wie in der Abbildung dar und erkläre, was dir an ihrer Lage in Bezug auf die Null auffällt.

In einer Klassenarbeit sollte Marta den Abstand auf der Zahlengeraden zwischen der Zahl $-6$ und der Zahl $+3$ berechnen. Auf ihrem Antwortblatt schrieb sie:

„Da der Abstand die Differenz der Zahlen ist, rechne ich $+3 - 6 = -3$. Also beträgt der Abstand zwischen beiden $-3$ Einheiten.“

1. a) Finde die beiden Fehler, die Marta gemacht hat (einen grundsätzlichen zum Ergebnis eines Abstands und einen zum Ansatz der Subtraktion mit negativen Zahlen).
2. b) Erkläre mit eigenen Worten, warum ein Abstand auf der Zahlengeraden nie negativ sein kann.
3. c) Schreibe die richtige Rechnung auf und berechne den tatsächlichen Abstand zwischen $-6$ und $+3$.

Auf einer Zahlengeraden sind zwei ganze Zahlen $A$ und $B$ markiert. Wir wissen, dass der genaue Mittelpunkt zwischen beiden die Zahl $-2$ ist. Außerdem ist gegeben, dass der Punkt $A$ die Zahl $+4$ ist.

1. a) Berechne, wie weit der Punkt $A$ vom Mittelpunkt $-2$ entfernt ist.
2. b) Da der Mittelpunkt von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist, leite begründet her, bei welcher ganzen Zahl der Punkt $B$ liegen muss.
3. c) Wende die Formel für den Mittelpunkt $\dfrac{A+B}{2}$ an, indem du die Werte von $A$ und $B$ einsetzt, und überprüfe, dass dein Ergebnis genau $-2$ ergibt.

Betrachte die folgende Zahlengerade, auf der drei Punkte $A$, $B$ und $C$ markiert sind. Bestimme mithilfe der Lage der Zahlen $0$ und $+2$, welche ganze Zahl jeder Buchstabe darstellt.

Zeichne eine Zahlengerade und stelle darauf alle ganzen Zahlen $x$ dar, die gleichzeitig diese beiden Bedingungen erfüllen:

1. Ihr Betrag ist kleiner als $5$, also: $|x| < 5$.

2. Sie sind echt kleiner als $-1$.

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Eine Inspektionsdrohne mit Wärmebildkamera führt die folgenden Bewegungen entlang der senkrechten Achse eines Industrieschornsteins aus. Die Schornsteinöffnung liegt bei $0$ Metern:

• Sie startet in $+12$ m Höhe.

• Sie sinkt $15$ Meter, um einen Riss zu untersuchen.

• Sie steigt wieder $6$ Meter, um eine Messung vorzunehmen.

Stelle den Weg auf einer senkrechten Geraden dar und markiere die Endposition der Drohne mit einem auffälligen farbigen Punkt. In welcher Höhe in Bezug auf die Schornsteinöffnung befindet sie sich?

Auf der Zahlengeraden ist der Mittelpunkt zwischen zwei ganzen Zahlen die Stelle, die von beiden genau gleich weit entfernt ist.

• Stelle die Zahlen $-6$ und $+2$ dar.

• Finde den Mittelpunkt zwischen ihnen anhand der Zeichnung und gib an, welche Zahl er darstellt.

• Wie groß ist der Abstand (in Einheiten) von diesem Mittelpunkt zu jedem der beiden Endpunkte?

Stelle die folgenden ganzen Zahlen auf einer Zahlengeraden dar. Wähle einen geeigneten Maßstab (bei dem jeder Teilstrich mehr als 1 Einheit wert sein darf), damit alle in deine Zeichnung passen:

$S = \{ -15, +5, -20, +25, 0, -5 \}$

Bestimme, welche ganzen Zahlen durch die Punkte $M$ und $N$ auf dieser Geraden dargestellt werden, wenn du weißt, dass der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Markierungen immer gleich ist.

Drei Wissenschaftler untersuchen einen Unterwasservulkan. Ihre Positionen in Bezug auf den Meeresspiegel ($0$ m) sind:

• Forscher A: Er befindet sich in einem U-Boot in $-450$ Metern.

• Forscher B: Er steht auf dem Gipfel des Vulkans, $+150$ Meter über dem Meeresspiegel.

• Forscherin C: Sie ist auf einem Schiff in $0$ Metern.

Stelle diese drei Positionen auf einer senkrechten Geraden dar. Wenn Forscher A bis zur Position von Forscher B aufsteigen möchte, wie viele Meter muss er insgesamt aufsteigen? Erkläre, wie du das an der Geraden siehst.

Zeichne eine Zahlengerade und trage darauf die Zahl $-3$ ein. Stelle dann dar:

• Den Punkt $A$, der die Gegenzahl von $-3$ ist.

• Den Punkt $B$, der $5$ Einheiten links von $-3$ liegt.

• Den Punkt $C$, der $2$ Einheiten rechts von $A$ liegt.

Welche Zahl stellt der Punkt $C$ dar? Welche ist die kleinste der vier Zahlen, die du auf der Geraden markiert hast?

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Der Deutsche Wetterdienst (DWD) misst an einer Bergstation im Harz um 7:00 Uhr eine Tiefsttemperatur von $-7\text{ }^\circ\text{C}$ und um 15:00 Uhr eine Höchsttemperatur von $+3\text{ }^\circ\text{C}$.

1. a) Bevor du rechnest, platziere beide Zahlen gedanklich auf der Zahlengeraden und schätze, ob die Temperatur im Mittelpunkt zwischen Tiefst- und Höchstwert positiv, negativ oder genau null sein wird. Begründe deine Vorhersage, indem du erklärst, welche der beiden Temperaturen weiter von $0$ entfernt ist.
2. b) Berechne mithilfe des Betrags den gesamten Temperaturunterschied (Änderung in Grad) zwischen Tiefst- und Höchstwert.
3. c) Berechne den Mittelpunkt der Temperaturen exakt mit der Formel $\dfrac{a+b}{2}$ und überprüfe, ob deine Schätzung aus Teilaufgabe a) richtig war.

An einem Verkehrsknotenpunkt in Berlin legen wir die Straßenhöhe als Höhe $0\text{ m}$ fest. Der unterirdische S-Bahn-Bahnsteig liegt auf der Höhe $-12\text{ m}$, während die obere Fußgängerbrücke zu den Bussen auf der Höhe $+8\text{ m}$ liegt.

1. a) Modelliere diese Situation auf einer Zahlengeraden und berechne, wie viele Meter ein Panoramaaufzug zurücklegt, der direkt vom S-Bahn-Bahnsteig zur Busbrücke fährt.
2. b) Die Bahnhofsleitung möchte eine Infotafel genau in der Mitte der senkrechten Strecke des Aufzugs anbringen. In welcher Höhe (in Metern) muss sie angebracht werden? Liegt sie über oder unter der Straßenhöhe?
3. c) Ein Techniker arbeitet an einem Punkt, der genau $5\text{ m}$ vom S-Bahn-Bahnsteig (Höhe $-12\text{ m}$) entfernt ist. Auf welchen zwei verschiedenen Höhen könnte sich der Techniker befinden? Begründe beide Möglichkeiten.

Ein Forscher sucht einen vergrabenen Schatz auf einem geraden Weg, den wir als Zahlenstrahl darstellen. Die Karte gibt ihm die folgenden Hinweise:

1. Der Schatz liegt an einer Stelle, die durch eine ganze Zahl $x$ dargestellt wird.

2. Der Abstand zwischen $x$ und der Zahl $-2$ beträgt genau $5$ Einheiten.

3. Der Betrag von $x$ ist größer als $4$.

Stelle die möglichen Orte des Schatzes auf dem Zahlenstrahl dar und bestimme, bei welcher Zahl oder welchen Zahlen genau er liegen könnte. Du kannst diesen Zahlenstrahl abzeichnen, um darauf zu arbeiten:

Du kannst das auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Eine Überwachungsdrohne bewegt sich entlang einer horizontalen Achse. Ihre Ladestation liegt am Punkt $0$. Sie führt nacheinander die folgenden Bewegungen aus:

• Sie startet an der Station und fliegt bis zum Punkt $+7$.

• Von dort aus fliegt sie $12$ Einheiten zurück.

• Schließlich bewegt sie sich zu einer Position $P$, sodass die insgesamt zurückgelegte Strecke seit dem Start $25$ Einheiten beträgt.

Wenn sich die Drohne immer geradlinig bewegt, bei welcher ganzen Zahl auf dem Zahlenstrahl liegt der Punkt $P$? Gibt es mehr als eine mögliche Lösung? Stelle es grafisch dar.

Wir entwerfen ein spezielles Thermometer für ein Physikexperiment. Wir müssen vier besondere Punkte markieren: $A$, $B$, $C$ und $D$, die diese Bedingungen erfüllen:

• $A$ ist die Gegenzahl von $+3$.

• $B$ hat den Betrag $5$ und liegt links von $A$.

• $C$ ist eine ganze Zahl mit $-1 < C < 4$, und ihr Abstand zu $A$ ist gleich ihrem Abstand zu $D$.

• $D$ ist die größte ganze Zahl, die kleiner als $+6$ ist.

Stelle die vier Punkte auf derselben Zahlengeraden dar (du kannst die Zahlengerade in der Abbildung als Vorlage verwenden) und ordne sie nach ihrem Betrag, vom kleinsten zum größten. Wenn zwei Punkte den gleichen Betrag haben, gib das an.

Zwei Städte, Kaltstadt und Heißstadt, sind durch eine gerade Straße verbunden, die wir uns als Zahlengerade vorstellen. Kaltstadt liegt beim Punkt $-15$ und Heißstadt beim Punkt $+21$.

Es soll ein Mobilfunkmast an einem Punkt $M$ errichtet werden, der von beiden Städten genau gleich weit entfernt ist.

1. Welche ganze Zahl gibt die Position des Mastes $M$ an?

2. Ein Auto fährt in Kaltstadt los in Richtung Mast und hat eine Panne, nachdem es $\frac{1}{3}$ der gesamten Strecke zwischen der Stadt und dem Mast zurückgelegt hat. Bei welcher Zahl auf der Zahlengeraden bleibt es stehen?

In einem Videospiel bewegt sich eine Figur auf einer Reihe von Feldern, die mit ganzen Zahlen nummeriert sind. Der Spieler soll „Fallen“ auf alle ganzen Zahlen $n$ setzen, die gleichzeitig diese beiden Bedingungen erfüllen:

• Der Betrag der Zahl ist kleiner oder gleich $6$: $|n| \le 6$.

• Der Abstand zwischen der Zahl $n$ und der Zahl $-3$ ist größer als $4$ Einheiten.

Zeichne eine Zahlengerade und markiere mit einem orangefarbenen „X“ alle Positionen, an denen der Spieler eine Falle setzen muss. Wie viele Fallen sind es insgesamt?

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Ein Historiker erstellt eine digitale Zeitleiste. Er legt das Jahr $0$ als Zeitpunkt einer großen Entdeckung fest.

• Die Zivilisation Alfa entstand im Jahr $-450$ und bestand $300$ Jahre.

• Die Zivilisation Beta begann genau dann, als Alfa endete, und bestand doppelt so lange.

• Die Zivilisation Gamma liegt so auf der Zeitleiste, dass ihr Anfangsjahr der Mittelpunkt zwischen dem Beginn von Alfa und dem Ende von Beta ist.

Stelle auf einer Zahlengeraden (mit einem geeigneten Maßstab, zum Beispiel 1 Einheit = 100 Jahre) Anfang und Ende jeder Zivilisation dar. In welchem Jahr begann die Zivilisation Gamma?

Betrachte drei ganze Zahlen $a, b$ und $c$ auf der Zahlengeraden, über die wir Folgendes wissen:

• $a$ ist die Gegenzahl des Betrags von $-8$.

• $c$ ist eine Zahl, deren Abstand zu $0$ halb so groß ist wie der Abstand von $a$ zu $0$, und $c$ ist positiv.

• $b$ ist eine Zahl, die von $a$ und von $c$ gleich weit entfernt ist.

Zeichne die Gerade, trage die drei Punkte ein und berechne mithilfe ihrer Positionen den Wert des folgenden Terms:

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Stell dir vor, die Zahlengerade ist ein gespanntes Seil. Wir befestigen ein Gewicht bei der Zahl $0$ und ein weiteres bei der Zahl $-12$.

1. Bestimme die Position eines Punktes $P$ (eine ganze Zahl), der den Abstand $4$ Einheiten vom Punkt $-6$ hat. Wie viele Lösungen gibt es?

2. Wir suchen nun einen Punkt $Q$, dessen Abstand zu $+2$ doppelt so groß ist wie sein Abstand zu $-1$. Welche ganzen Zahlen kommen für $Q$ infrage? Bestimme sie und markiere sie auf der Zahlengeraden.

Wir wollen alle ganzen Zahlen finden, die auf der Zahlengeraden genau $6$ Einheiten von der Zahl $-2$ entfernt sind.

Zwei Schüler der Klasse 7 schlagen zwei verschiedene Wege vor:

• Albas Methode: Sie zeichnet eine Zahlengerade mit der Einteilung $1$ in $1$, sucht die Position der $-2$ und zählt am Bild $6$ Teilstriche nach rechts und dann $6$ Teilstriche nach links, um zu sehen, bei welchen Markierungen sie landet.

• Sergios Methode: Er übersetzt die Aufgabe in direkte Rechnungen: Da eine Bewegung nach rechts eine Addition und nach links eine Subtraktion ist, berechnet er $(-2) + 6$ und $(-2) - 6$.

1. a) Wende beide Methoden Schritt für Schritt an und überprüfe, dass beide dieselben Zahlen liefern.
2. b) Stell dir nun vor, die Aufgabe lautet: „Bestimme die ganzen Zahlen, die $235$ Einheiten von der Zahl $-148$ entfernt sind.“ Vergleiche beide Methoden und begründe, welche du wählen würdest, weil sie effizienter ist und Zählfehler vermeidet.
3. c) Löse den Fall mit $235$ Einheiten Abstand von $-148$ mit der Methode, die du in Teilaufgabe b) gewählt hast.

Wir suchen zwei unbekannte ganze Zahlen $x$ und $y$ (mit $x < y$), die auf der Zahlengeraden dargestellt sind. Um sie zu finden, hast du nur vier Hinweise:

1. Der Abstand zwischen $x$ und $y$ beträgt $14$ Einheiten.

2. Das Produkt beider Zahlen ist echt negativ (also $x \cdot y < 0$, das heißt, sie liegen auf gegenüberliegenden Seiten der $0$).

3. Der Mittelpunkt zwischen $x$ und $y$ ist eine negative ganze Zahl.

4. Der Betrag einer der beiden Zahlen ist genau $4$.

1. a) Leite begründet her, welche der beiden Zahlen, die positive oder die negative, den Betrag $4$ haben muss. (Hinweis: Überlege, welche Zahl auf der Geraden weiter von $0$ entfernt sein muss, damit der Mittelpunkt negativ wird.)
2. b) Bestimme aus deiner Überlegung die genauen Werte von $x$ und $y$.
3. c) Berechne den Mittelpunkt zwischen den gefundenen Werten und überprüfe rechnerisch, dass alle vier Bedingungen der Aufgabe erfüllt sind.