Aufgaben: Die Zeitmessung

Betrachte das folgende Bild einer Wanduhr mit römischen Ziffern. Gib an, welche Uhrzeit die Uhr anzeigt, und schreibe die Stunden und Minuten im Dezimalsystem.

In der Geschichte und bei der Zeitrechnung verwenden wir Einheiten, die größer als das Jahr sind. Vervollständige die folgenden Gleichungen:

1. a) $3$ Jahrhunderte = $\dots$ Jahre.
2. b) $5$ Jahrzehnte = $\dots$ Jahre.
3. c) $8$ Lustren (Fünfjahreszeiträume) = $\dots$ Jahre.
4. d) $200$ Jahre = $\dots$ Jahrhunderte.

Ein kurzes Video in einem sozialen Netzwerk dauert genau $145$ Sekunden. Gib die Dauer dieses Videos in gemischter Schreibweise an, also mit den Minuten und Sekunden, die es dauert ($145$ s = $\dots$ min $\dots$ s).

Heute Nachmittag hast du zwei Zeitabschnitte für die Mathematikarbeit gelernt. Der erste hat $1$ h $40$ min gedauert und der zweite $55$ min. Berechne die gesamte Lernzeit und gib das Ergebnis in Stunden und Minuten an.

Ein Animationsfilm beginnt um $17:15$ und endet um $18:50$. Wie lang ist der Film genau in Stunden und Minuten?

Marcel bereitet sich auf einen Volkslauf über $10\text{ km}$ vor. Um sein Training zu kontrollieren, notiert er in seinem Tagebuch, dass er am Montag $1\text{ h } 40\text{ min}$ und am Mittwoch $1\text{ h } 50\text{ min}$ gelaufen ist. Um die gesamte Zeit zu berechnen, gibt er $1{,}40 + 1{,}50 = 2{,}90$ in den Taschenrechner ein und folgert, dass er „$2\text{ Stunden und } 90\text{ Minuten}$" trainiert hat, was seiner Meinung nach „$3\text{ Stunden und } 30\text{ Minuten}$" entspricht.

1. a) Finde die beiden Denkfehler, die Marcel beim Rechnen mit Zeitangaben gemacht hat, und erkläre sie ausführlich.
2. b) Korrigiere die Rechnung, indem du die Addition im Sexagesimalsystem richtig durchführst, und gib das Endergebnis in gemischter Schreibweise an ($h$ und $min$).
3. c) Wie vielen Stunden als Dezimalzahl entspricht die tatsächliche Gesamtzeit, die Marcel gelaufen ist? Runde auf zwei Nachkommastellen.

Eine analoge Wanduhr zeigt genau $03:20$.

1. a) Mache vor jeder Rechnung eine begründete Schätzung: Ist der kleinere Winkel, den die beiden Zeiger bilden, genau $30^\circ$, größer als $30^\circ$ oder kleiner als $30^\circ$? Begründe deine Vorhersage mit der Stellung des Stundenzeigers, wenn der Minutenzeiger bereits $20\text{ Minuten}$ weitergerückt ist.
2. b) Berechne die Stellung jedes Zeigers in Grad exakt mit Bezug auf $12:00$ ($0^\circ$), wobei der Minutenzeiger pro Minute $6^\circ$ weiterrückt und der Stundenzeiger pro Stunde $30^\circ$ plus $0{,}5^\circ$ für jede vergangene Minute.
3. c) Bestimme den genauen Winkel, den beide Zeiger um $03:20$ bilden, und vergleiche ihn mit deiner ersten Schätzung. Warum denken viele Menschen auf den ersten Blick fälschlicherweise, dass die Zeiger um $03:20$ einen Winkel von $30^\circ$ bilden?

Ein Spitzenathlet hat einen Marathon in einer offiziellen Zeit von $2$ Stunden, $12$ Minuten und $15$ Sekunden beendet.

1. a) Gib die gesamte Dauer des Laufs ausschließlich in Sekunden an.
2. b) Sein Trainer sagt ihm, er solle seine Zeit für den nächsten Wettkampf um $450$ Sekunden verbessern. Wie lautet sein neues Zeitziel in gemischter Schreibweise ($h$, $min$, $s$)?

Der ICE fährt um $08:45:00$ in Berlin ab und soll um $11:17:25$ in Dortmund ankommen. Wegen einer kleinen technischen Verzögerung ist der Zug um $11:23:10$ angekommen.

1. a) Wie lang war die planmäßige Fahrtdauer?
2. b) Wie viel Verspätung hatte der Zug gegenüber der geplanten Ankunftszeit?

Ein Jugendverein organisiert einen Reinigungstag in einem Park, der insgesamt $5$ Stunden, $42$ Minuten und $36$ Sekunden dauert. Es wurden $4$ Arbeitsteams gebildet, und die Gesamtzeit soll gleichmäßig aufgeteilt werden, sodass jedes Team ein eigenes Zeitfenster ohne Überschneidung abdeckt:

Wie lang muss die Schicht jedes Teams sein? (Führe die Division im Sexagesimalsystem durch.)

Das Produktionsteam eines Bildungsfernsehsenders hat eine Dokumentation, die genau $1\text{ h } 14\text{ min } 24\text{ s}$ dauert, und muss sie in $6$ gleich lange Blöcke aufteilen, um informative Pausen einzufügen.

1. a) Wende Methode A an (direkte Division in sexagesimaler gemischter Schreibweise): Teile die Stunden durch 6, wandle den Rest in Minuten um, addiere sie zu den vorhandenen Minuten und wiederhole das Verfahren mit den Sekunden.
2. b) Wende Methode B an (Zurückführen auf die kleinste Einheit): Wandle die gesamte ursprüngliche Dauer in Sekunden um, führe die Division durch 6 im Dezimalsystem durch und wandle den erhaltenen Quotienten wieder in Stunden, Minuten und Sekunden um.
3. c) Vergleiche beide Verfahren: Bei welcher der beiden Methoden ist das Risiko von Fehlern bei den Überträgen deiner Meinung nach geringer? Wenn die Dauer der Dokumentation statt auf $6$ auf $7$ Teams aufgeteilt werden müsste, welche der beiden Methoden wäre dann vorteilhafter und warum?

Ein AVE-Hochgeschwindigkeitszug fährt um $08:35$ vom Bahnhof Madrid-Puerta de Atocha in Richtung Sevilla-Santa Justa ab. Laut Fahrplan beträgt die Dauer der direkten Fahrt ohne Zwischenfälle $2\text{ h } 42\text{ min } 30\text{ s}$. Während der Fahrt passieren zwei Ereignisse:

• Bei der Durchfahrt durch La Mancha gibt es eine vorübergehende Geschwindigkeitsbeschränkung wegen Bauarbeiten, die eine Verspätung von $14\text{ min } 45\text{ s}$ verursacht.

• Auf dem Schlussabschnitt zwischen Córdoba und Sevilla holt der Zug während der Fahrt $3\text{ min } 15\text{ s}$ wieder auf.

1. a) Modelliere die Situation mit Rechnungen im Sexagesimalsystem und berechne die genaue Uhrzeit (Stunden, Minuten und Sekunden), zu der der Zug schließlich in Sevilla ankommt.
2. b) Die Länge der zurückgelegten Bahnstrecke beträgt $471\text{ km}$. Gib die tatsächliche Gesamtdauer der Fahrt in Sekunden an und berechne daraus die Durchschnittsgeschwindigkeit des Zuges auf der gesamten Strecke in Kilometern pro Stunde ($km/h$), das Ergebnis auf Zehntel gerundet.

Ein Ultratrail-Läufer hat ein Rennen über $105 \text{ km}$ in einer Zeit von $14 \text{ h } 18 \text{ min } 36 \text{ s}$ beendet.

1. a) Berechne seine Durchschnittsgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde ($m/s$) und runde auf Hundertstel.
2. b) Wenn der Rekord des Rennens bei $12 \text{ h } 45 \text{ min } 50 \text{ s}$ liegt, um wie viele Sekunden pro Kilometer hätte er seine Zeit verbessern müssen, um den Rekord einzustellen?

Eine analoge Uhr zeigt genau $10:15:30$ (10 Stunden, 15 Minuten und 30 Sekunden). Berechne den genauen Winkel, den der Stundenzeiger und der Minutenzeiger in genau diesem Moment bilden. Hinweis: Beachte, dass sich der Stundenzeiger mit den vergehenden Minuten und Sekunden stetig weiterbewegt.

Der Planet Mars hat eine Rotationsdauer (einen „Sol“) von etwa $24 \text{ h } 37 \text{ min } 22 \text{ s}$. Ein Astronaut kommt auf dem Mars an und startet genau bei Sonnenaufgang eine Erdzeit-Stoppuhr und eine auf die Marszeit eingestellte Stoppuhr. Welchen Erdzeit-Unterschied zeigen beide Uhren, wenn genau eine Marswoche (7 Sole) vergangen ist? Gib das Ergebnis in gemischter Schreibweise (Stunden, Minuten und Sekunden) an.

Ein Internetserver verarbeitet Anfragen von Nutzern. Er braucht im Mittel $1,25$ Hundertstelsekunden, um jede Anfrage zu bearbeiten. Bei einem Hackerangriff erhält der Server insgesamt $2^{18}$ Anfragen:

1. a) Berechne die Gesamtzahl der Anfragen im Dezimalsystem.
2. b) Berechne die Gesamtzeit, die der Server braucht, um alle zu verarbeiten. Gib das Endergebnis in Stunden, Minuten und Sekunden an.

Bei einer Zeigeruhr liegen die beiden Zeiger um $12:00$ genau übereinander (sie bilden einen Winkel von $0^\circ$). Im Lauf des Vormittags überdecken sie sich jedoch mehrmals erneut. Wir wollen herausfinden, wann das zwischen $04:00$ und $05:00$ geschieht.

1. a) Wenn wir mit $m$ die Anzahl der Minuten bezeichnen, die seit genau $04:00$ vergangen sind, gib den Term für die Winkelposition (in Grad ab $12:00$) des Stundenzeigers und des Minutenzeigers in Abhängigkeit von $m$ an. Denke daran, dass der Stundenzeiger um 4 Uhr bei $120^\circ$ startet und pro Minute $0{,}5^\circ$ weiterrückt, während der Minutenzeiger pro Minute $6^\circ$ weiterrückt.
2. b) Stelle die Gleichung auf, die ausdrückt, dass beide Zeiger an derselben Winkelposition stehen, und berechne den genauen Wert von $m$. Gib die Lösung als vollständig gekürzten Bruch einer Minute und als gemischte Zahl an ($m = A + \frac{B}{C}$).
3. c) Bestimme aus diesem Wert die genaue Uhrzeit des Zusammentreffens in Stunden, Minuten und ganzen Sekunden (die Sekunden auf die Einheit gerundet). Überprüfe numerisch, dass sich die Winkelpositionen beider Zeiger zu dieser berechneten Zeit um weniger als $0{,}1^\circ$ unterscheiden.

Eine Photovoltaik-Solaranlage in der Provinz Cáceres (Extremadura) hat Module mit einer Nachführachse, die sich von Ost nach West um einen Gesamtwinkel von $180^\circ$ drehen, um senkrecht zur Sonne ausgerichtet zu bleiben. Nach den örtlichen astronomischen Aufzeichnungen geht die Sonne zur Sommersonnenwende um $06:52$ auf und um $21:48$ unter, während sie zur Wintersonnenwende um $08:38$ aufgeht und um $18:04$ untergeht.

1. a) Modelliere und berechne die Tageslänge (Sonnenscheindauer) zu jeder Sonnenwende in gemischter Schreibweise ($h$ und $min$). Wie viele Stunden und Minuten Sonnenlicht verliert die Anlage zur Wintersonnenwende gegenüber der Sommersonnenwende?
2. b) Damit das Modul den Weg von $180^\circ$ genau während der Tageslichtstunden kontinuierlich und gleichmäßig durchläuft, berechne die konstante Winkelgeschwindigkeit (in Grad pro Stunde, auf Hundertstel gerundet), die im Motor zur Sommersonnenwende und zur Wintersonnenwende programmiert werden muss.
3. c) Der Wartungsverantwortliche schlägt eine Vereinfachung vor: „Da sich die Erde in 24 Stunden um $360^\circ$ dreht, bewegt sich die Sonne immer mit $15^\circ$ pro Stunde über den Himmel. Programmieren wir den Motor das ganze Jahr auf eine feste Geschwindigkeit von $15^\circ$ pro Stunde." Zeige rechnerisch, wie viele Grad Abweichung das Modul beim Sonnenuntergang zur Wintersonnenwende ansammeln würde, wenn man seinem Vorschlag folgte, und begründe, warum seine theoretische Überlegung für diesen Nachführmechanismus nicht gültig ist.

Herausforderung des Themas. Wie verändert sich die Dauer des Sonnenlichts im Lauf des Jahres? Untersuche den Sonnenrhythmus deiner Gemeinde mithilfe der Zeitmessung und des Sexagesimalsystems.

1. Datensammlung: Suche auf der Webseite des Deutschen Wetterdienstes (dwd.de) oder eines zuverlässigen astronomischen Portals die genaue Uhrzeit von Sonnenaufgang und Sonnenuntergang an deinem Wohnort für zwei Daten: den vergangenen 21. Juni und den vergangenen 21. Dezember.

2. Sexagesimale Berechnung: Berechne von Hand die Lichtdauer beider Tage, indem du die Uhrzeit des Untergangs und die des Aufgangs im Sexagesimalformat ($h$, $min$, $s$) subtrahierst, und wende bei den Überträgen Umwandlungen zur Basis $60$ an.

3. Digitale Auswertung: Trage in einer Tabellenkalkulation die Daten ein und wandle beide Dauern in Dezimalstunden um (zum Beispiel $9\text{ h } 30\text{ min} = 9,5\text{ h}$). Bestimme den gesamten Lichtunterschied zwischen beiden Daten und berechne die mittlere tägliche Veränderung, indem du diese Differenz durch die $183$ vergangenen Tage teilst.

4. Abschlussbericht: Verfasse eine begründete Schlussfolgerung von einer halben Seite, in der du die Vor- und Nachteile des Sexagesimalsystems gegenüber dem Dezimalsystem bei der Zeitmessung im Alltag bewertest.

Bewertet werden:

• Genauigkeit bei den Rechnungen und Umwandlungen im Sexagesimalsystem.

• Richtigkeit beim Übergang von sexagesimalen zu dezimalen Ausdrücken (mit Komma).

• Angemessene Verwendung von Formeln in der Tabellenkalkulation.

• Kritische Argumentation in den Schlussfolgerungen des Berichts.