Aufgaben: Dreiecke

Um ihr Zimmer zu dekorieren, hat Lea einen Stoffwimpel in Form eines Dreiecks ausgeschnitten. Beim Messen der Seiten hat sie festgestellt, dass sie $15\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ und $20\text{ cm}$ lang sind. Wie wird dieses Dreieck nach der Länge seiner Seiten klassifiziert?

In einem Dreieck kennen wir die Größe von zwei Innenwinkeln: $\hat{A} = 45^\circ$ und $\hat{B} = 75^\circ$. Berechne, wie groß der dritte Winkel $\hat{C}$ ist, wenn du weißt, dass die Winkelsumme in jedem Dreieck immer $180^\circ$ beträgt.

Markus hat drei Holzstäbe, um eine dreieckige Konstruktion zu bauen. Die Stäbe sind $12\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ und $4\text{ cm}$ lang. Die Abbildung zeigt die drei Stäbe im gleichen Maßstab gezeichnet.

Begründe, ob Markus mit ihnen ein Dreieck bilden kann oder ob es unmöglich ist.

Klassifiziere die folgenden Dreiecke nach der Größe ihrer Winkel (spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig):

• Dreieck 1: Seine Winkel messen $90^\circ$, $40^\circ$ und $50^\circ$.

• Dreieck 2: Seine Winkel messen $110^\circ$, $30^\circ$ und $40^\circ$.

• Dreieck 3: Seine Winkel messen $60^\circ$, $60^\circ$ und $60^\circ$.

Ein Garten hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks. Wenn eine seiner Seiten $8\text{ Meter}$ misst, wie viele Meter Zaun brauchen wir, um ihn vollständig zu umzäunen? Berechne seinen Umfang.

Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Winkel an der Spitze, der $40^\circ$ misst. Wenn die beiden anderen Winkel gleich groß sind, wie groß ist jeder dieser gleich großen Winkel?

Betrachte das Verkehrszeichen „Vorfahrt gewähren“. Es hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks. Gib an, wie groß jeder seiner Innenwinkel sein muss, ohne ein Geodreieck zu benutzen. Begründe deine Antwort mit den Eigenschaften dieser Art von Vielecken.

In einem rechtwinkligen Dreieck messen die beiden Seiten, die den Winkel von $90^\circ$ bilden, $6\text{ cm}$ und $8\text{ cm}$. Wie heißen diese beiden Seiten in der mathematischen Fachsprache für rechtwinklige Dreiecke? Und wie heißt die längste Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt?

Markus möchte für sein Zimmer den Rahmen eines dreieckigen Spiegels bauen und hat drei Holzleisten zugeschnitten, die $4\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ und $10\text{ cm}$ lang sind. Als er sie seiner Schwester zeigt, behauptet er: „Da die drei Leisten unterschiedlich lang sind, kann ich problemlos ein unregelmäßiges Dreieck bilden.“\na) Finde den Fehler in Markus’ Behauptung und erkläre mithilfe der Dreiecksungleichung, warum es physikalisch unmöglich ist, den Rahmen mit diesen Maßen zu bauen.\nb) Wenn Markus nur die Leiste von $10\text{ cm}$ durch eine neue ersetzt, welche größte ganzzahlige Länge (in Zentimetern) kann die neue Leiste haben, damit das Dreieck zusammen mit den Leisten von $4\text{ cm}$ und $5\text{ cm}$ geschlossen werden kann?\nc) Wenn er ein gleichschenkliges Dreieck bilden wollte und dabei die Leisten von $4\text{ cm}$ und $5\text{ cm}$ weiterverwendet, welche zwei verschiedenen ganzzahligen Maße könnte die Ersatzleiste haben?

Im Kunstunterricht entwirft Lea ein Glasfenster mit dreieckigen Glasstücken. Bei einem der Stücke hat sie mit dem Geodreieck zwei seiner Innenwinkel gemessen, die $27^\circ$ und $38^\circ$ betragen.\na) Bevor du den genauen Wert des dritten Winkels berechnest, schätze mit Begründung, ob dieser Winkel spitz, recht oder stumpf sein wird (beachte, ob die Summe der beiden bekannten Winkel $90^\circ$ übersteigt oder nicht). Gib anhand deiner Schätzung an, welche Art von Dreieck du nach seinen Winkeln erwartest.\nb) Berechne den genauen Wert des dritten Winkels mit der Winkelsumme im Dreieck und überprüfe, ob deine Schätzung richtig war.\nc) Wenn du weißt, dass die drei Seiten dieses Stücks unterschiedlich lang sind, klassifiziere das Dreieck nach seinen Seiten.

In einer Grafikdesign-Werkstatt entsteht ein neues Logo in Form eines Dreiecks. Wir wissen, dass zwei seiner Innenwinkel $42^\circ$ und $68^\circ$ messen.

1. a) Berechne, wie groß der dritte Winkel des Logos ist.
2. b) Klassifiziere das Dreieck nach seinen Winkeln (spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig).
3. c) Klassifiziere das Dreieck nach seinen Seiten (gleichseitig, gleichschenklig oder unregelmäßig).

Ein Tischler hat drei Holzleisten, um einen dreieckigen Spiegelrahmen zu bauen. Die Leisten sind $15\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ und $24\text{ cm}$ lang.

1. a) Erkläre mithilfe der Dreiecksungleichung, ob man den Rahmen mit diesen Maßen bauen kann.
2. b) Wenn er die Leiste von $24\text{ cm}$ durch eine von $20\text{ cm}$ ersetzt, könnte er den Rahmen dann jetzt bauen? Begründe deine Antwort.

Ein Zelt hat eine Vorderseite in Form eines gleichschenkligen Dreiecks. Die Grundseite des Zeltes misst $2,4\text{ Meter}$ und die beiden gleich langen Seiten messen jeweils $2\text{ Meter}$.

1. a) Berechne mit dem Satz des Pythagoras die Höhe des Zeltes.
2. b) Berechne den Flächeninhalt der Zeltplane, die nur für die Vorderseite des Zeltes nötig ist.

Drei Dörfer, Altenau ($A$), Bergheim ($B$) und Calden ($C$), liegen so, dass sie ein ungleichseitiges Dreieck bilden, wie die Abbildung zeigt. Es soll ein Funkmast errichtet werden, der von allen drei Dörfern genau gleich weit entfernt ist.

1. a) Welcher besondere Punkt des Dreiecks gibt den Standort des Mastes an?

1. b) Welche besonderen Geraden musstest du zeichnen, um diesen Punkt zu finden? Zeichne eine Skizze der Situation.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Ein Spielplatz hat einen Sandkasten in Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Wir wissen, dass die längste Seite (die Hypotenuse) $13\text{ Meter}$ misst und eine der Seiten, die den rechten Winkel bilden, $5\text{ Meter}$ misst.

1. a) Berechne die Länge der anderen Seite des Sandkastens.
2. b) Bestimme den gesamten Umfang des Sandkastens.
3. c) Berechne die Fläche, die der Sand einnimmt.

Es wurde ein dreieckiges Verkehrsschild entworfen, das ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $60\text{ cm}$ ist.

1. a) Wenn wir um das Schild einen reflektierenden Rand anbringen wollen, wie viele Meter Reflexmaterial brauchen wir?
2. b) Wenn wir die drei Winkelhalbierenden des Dreiecks zeichnen, wie heißt der Punkt, in dem sie sich schneiden? Welche besondere Eigenschaft hat dieser Punkt in Bezug auf die Seiten des Schildes?

Betrachte die folgende Figur aus zwei Dreiecken. Das Dreieck $ABC$ ist rechtwinklig bei $B$ und das Dreieck $ACD$ ist gleichschenklig mit $\overline{AC} = \overline{AD}$.

Wenn $\overline{AB} = 8\text{ cm}$ und $\overline{BC} = 6\text{ cm}$ gilt, berechne:

1. a) Die Länge der Seite $\overline{AC}$.
2. b) Den gesamten Umfang der schraffierten Figur $ABCD$, wenn $\overline{CD} = 7\text{ cm}$ gilt.

In einem Garten soll ein Zaun einen Blumenbereich in Form eines gleichschenkligen Dreiecks begrenzen. Der Winkel an der Spitze misst $100^\circ$.

1. a) Wie groß sind die beiden anderen Winkel des Blumenbereichs jeweils?
2. b) Wenn wir von der Spitze mit dem Winkel von $100^\circ$ die Seitenhalbierende zur gegenüberliegenden Seite zeichnen, in welche zwei Arten von Dreiecken wird der Bereich dann geteilt? Klassifiziere sie nach ihren Winkeln.

Ein Grafikdesign-Team soll ein Logo entwerfen, das eine Dreiecksfigur enthält, die genau drei geometrische Bedingungen erfüllt:\n1. Das Dreieck muss gleichschenklig und außerdem stumpfwinklig sein.\n2. Der stumpfe Winkel ist der Winkel an der Spitze und sein Wert in Grad muss ein Vielfaches von $10^\circ$ sein.\n3. Jeder der beiden gleich großen Winkel muss echt größer als $25^\circ$ sein.\na) Stelle die mathematische Beziehung zwischen den drei Innenwinkeln auf und bestimme Schritt für Schritt alle möglichen Winkelkombinationen (Tripel), die diese drei Bedingungen erfüllen.\nb) Könnte es eine gültige Lösung geben, wenn wir die Bedingung hinzufügen, dass die gleich großen Winkel mehr als $45^\circ$ messen? Begründe deine Antwort anhand der Definition des stumpfwinkligen Dreiecks.

Auf einer Straßenkarte von Nordrhein-Westfalen bilden drei Städte ein Dreieck: Münster, Dortmund und Köln. Die in Luftlinie gemessenen Entfernungen betragen ungefähr:\n- Zwischen Münster und Dortmund: $48\text{ km}$.\n- Zwischen Dortmund und Köln: $96\text{ km}$.\na) Das Land prüft, ob eine direkte Straße zwischen Münster und Köln gebaut werden kann. Berechne mithilfe der Dreiecksungleichung, zwischen welchem Mindest- und Höchstwert (ohne die Grenzen) die Luftlinie zwischen Münster und Köln liegen muss, damit das Dreieck nicht zu einer Geraden zusammenfällt.\nb) Wenn die tatsächliche Luftlinie zwischen Münster und Köln $110\text{ km}$ betragen würde, überprüfe mit dem Satz des Pythagoras, ob diese drei Städte ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel in Dortmund bilden könnten (wobei die Strecke Münster–Köln die Hypotenuse wäre).\nc) Wenn ein Reiseprospekt fälschlicherweise angibt, dass die direkte Entfernung zwischen Münster und Köln nur $40\text{ km}$ beträgt, begründe, warum diese Angabe geometrisch unmöglich ist, ohne im Gelände zu messen.

In einem Workshop zur Entwicklung von Videospielen muss ein Programmierer eine Spielfigur in Form eines gleichschenkligen Dreiecks erstellen. Der abweichende Winkel an der oberen Spitze ist um $20^\circ$ kleiner als das Dreifache eines Basiswinkels. Berechne die Größe der drei Winkel der Figur, damit das Design geometrisch korrekt ist.

Drei Dörfer im Mittelgebirge, Altenau, Bergheim und Cronau, wollen einen Mobilfunkmast bauen, der von allen dreien genau gleich weit entfernt ist, damit alle denselben Empfang haben.

1. a) Wie heißt der besondere Punkt des Dreiecks, an dem der Mast stehen muss?

1. b) Wenn das Dreieck, das die Dörfer bilden, stumpfwinklig ist, begründe, ob der Mast innerhalb oder außerhalb der von den drei Dörfern begrenzten Fläche steht.

1. c) Zeichne eine Skizze der Situation: das stumpfwinklige Dreieck mit den drei Dörfern, die Linien, mit denen du den Punkt findest, und die Lage des Mastes.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Ein Architekt plant eine Rampe für einen Skatepark. Er hat berechnet, dass die Hauptstütze ein Dreieck mit den Seitenlängen $x + 2$ Meter, $2x - 1$ Meter und $10$ Meter bilden muss.

1. Das Dreieck soll gleichschenklig sein, wobei die Seiten $x + 2$ und $2x - 1$ gleich lang sind. Wie groß muss $x$ sein?

2. Wenn $x = 3$ gilt, kann man dieses Dreieck dann konstruieren? Begründe deine Antwort mit der Dreiecksungleichung.

Im Logo einer neuen Sportmarke überschneiden sich zwei Rechtecke und bilden mehrere Dreiecke. Im mittleren Dreieck $ABC$ wissen wir, dass der Winkel bei $A$ $45^\circ$ misst und dass der Außenwinkel am Eckpunkt $B$ $115^\circ$ misst.

1. Berechne die drei Innenwinkel des Dreiecks $ABC$.

2. Klassifiziere das Dreieck nach seinen Seiten und nach seinen Winkeln.

Ein Garten hat die Form eines Rechtecks mit $12 \times 8$ Metern. Für eine Bewässerungsanlage wurde der Garten durch eine Diagonale geteilt. In einem der beiden entstandenen Dreiecke soll ein kreisförmiger Sprinkler im Inkreismittelpunkt aufgestellt werden.

1. Erkläre, was Winkelhalbierende sind und warum der Sprinkler im Inkreismittelpunkt die beste Wahl ist, damit er von allen drei Seiten des Dreiecks (den zwei Gartenrändern und der Diagonalen) gleich weit entfernt ist.

2. Zeichne das Rechteck, die Diagonale und den Inkreismittelpunkt eines der Dreiecke als Skizze.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Betrachte die Abbildung, die ein Metallteil darstellt. Es besteht aus einem großen rechtwinkligen Dreieck und einem kleineren in seinem Inneren. Wir wissen, dass die waagerechte Kathete des großen Dreiecks $15 \text{ cm}$ misst und sein Flächeninhalt $60 \text{ cm}^2$ beträgt. Das kleine Dreieck ist ähnlich und hat eine Grundseite von $5 \text{ cm}$.

1. Berechne die Höhe des großen Dreiecks.

2. Berechne mithilfe der Proportionen den Flächeninhalt des kleinen Dreiecks. (Tipp: Wenn die Grundseite ein Drittel beträgt, was passiert dann mit der Höhe?)

Ein Pfadfinder hat ein Seil von $24$ Metern um ein dreieckiges Grundstück gelegt, um sein Lager aufzubauen.

1. Wenn das Grundstück ein gleichschenkliges Dreieck ist und eine der gleich langen Seiten $9 \text{ Meter}$ misst, wie lang ist die übrige Seite?

2. Wenn der Pfadfinder das Dreieck rechtwinklig mit den Seiten $6 \text{ m}$, $8 \text{ m}$ und $10 \text{ m}$ haben wollte, würde dasselbe Seil dann reichen? Überprüfe in diesem Fall auch, ob der Satz des Pythagoras gilt.

In einer Klassenarbeit zur weiterführenden Geometrie ist ein Dreieck gegeben, in dem sich die drei Seitenhalbierenden in einem Punkt $G$ (Schwerpunkt) schneiden. Die Seitenhalbierende, die vom Eckpunkt $A$ ausgeht, ist insgesamt $12 \text{ cm}$ lang. Berechne die Länge der beiden Strecken, in die der Punkt $G$ diese Seitenhalbierende teilt. (Denke an die Eigenschaft: Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierende in zwei Teile, von denen einer doppelt so lang ist wie der andere.)

Um herauszufinden, ob drei starre Stäbe der Längen $a = 8\text{ cm}$, $b = 15\text{ cm}$ und $c = 25\text{ cm}$ an ihren Enden zu einem Dreieck verbunden werden können, werden im Unterricht zwei Wege vorgeschlagen:\n- Methode 1 (vollständige Überprüfung): Die drei Dreiecksungleichungen aufstellen und nacheinander überprüfen: $a < b + c$, $b < a + c$ und $c < a + b$.\n- Methode 2 (verkürzte Überprüfung): Den längsten Stab ($c$) bestimmen und nur überprüfen, ob dieser Stab kürzer ist als die Summe der beiden anderen ($c < a + b$).\na) Wende beide Methoden auf den Fall der Stäbe $8\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ und $25\text{ cm}$ an und schreibe die Schlussfolgerung auf, zu der man jeweils kommt.\nb) Begründe mathematisch, warum Methode 2 immer ausreicht: Warum können wir, wenn die längste Seite kleiner ist als die Summe der beiden anderen, mit absoluter Sicherheit sagen, dass die beiden anderen Ungleichungen immer erfüllt sind, ohne sie zu berechnen?\nc) Wir entfernen den Stab $25\text{ cm}$ und ersetzen ihn durch einen neuen Stab mit ganzzahliger Länge $x$, um zusammen mit den Stäben $8\text{ cm}$ und $15\text{ cm}$ ein Dreieck zu bilden:\n1) Berechne, welche genaue ganzzahlige Länge $x$ haben muss, damit das Dreieck rechtwinklig ist und dieser Stab die Hypotenuse bildet, und überprüfe das mit dem Satz des Pythagoras.\n2) Gib an, welche ganzzahligen Werte $x$ annehmen könnte, damit das entstehende Dreieck gleichschenklig und geometrisch möglich ist.

Bei einer Hochgebirgsüberquerung im Nationalpark Picos de Europa sind drei Hütten ($A$, $B$ und $C$) durch gerade Wanderwege verbunden und bilden ein Dreieck. Der Bergführer prüft die technischen Daten:

• Der Winkel an der Hütte $A$ ist dreimal so groß wie der Winkel an der Hütte $B$.

• Der Winkel an der Hütte $C$ misst genau $20^\circ$.

• Die Luftlinie zwischen der Hütte $A$ und der Hütte $B$ beträgt $7\text{ km}$.

• Die Luftlinie zwischen der Hütte $B$ und der Hütte $C$ beträgt $18\text{ km}$.

1. a) Modelliere die Situation, indem du eine Gleichung mit den Innenwinkeln des Dreiecks aufstellst, und bestimme die genaue Größe der Winkel an der Hütte $A$ und an der Hütte $B$.
2. b) Klassifiziere das Dreieck, das die drei Hütten bilden, sowohl nach seinen Winkeln (spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig) als auch nach seinen Seiten (gleichseitig, gleichschenklig oder unregelmäßig).
3. c) Ein Wanderer behauptet: „Um direkt von der Hütte $C$ zur Hütte $A$ in gerader Linie zu gehen, müssen wir mehr als $25\text{ km}$ laufen.“ Zeige mithilfe der Dreiecksungleichung mathematisch, warum die Behauptung des Wanderers unmöglich ist.
4. d) Der Notruf 112 will eine Notfallantenne aufstellen, die von allen drei Hütten genau gleich weit entfernt ist. Nenne den besonderen Punkt des Dreiecks, den die Techniker finden müssen, und erkläre, welche Geraden sie auf der Karte zeichnen müssen, um ihn zu finden.