Aufgaben: Elemente der Ebene

Betrachte das folgende Bild und bestimme, welches der gezeichneten Elemente eine Gerade, welches eine Halbgerade und welches eine Strecke ist. Erkläre kurz den Unterschied zwischen ihnen anhand ihrer Endpunkte.

Auf dem Stadtplan deines Viertels können sich zwei Straßen kreuzen oder parallel sein. Betrachte die Skizze der Geraden $a$, $b$ und $c$. Gib an, welche Geradenpaare parallel sind und welche sich schneiden. Wie heißt der orangefarbene Punkt, in dem sich zwei von ihnen schneiden?

Ordne die folgenden Winkel nach ihrer Öffnung ein: spitz, rechter oder stumpf. Zur Hilfe: Ein rechter Winkel misst genau $90^\circ$.

• Winkel $A = 45^\circ$

• Winkel $B = 120^\circ$

• Winkel $C = 90^\circ$

• Winkel $D = 10^\circ$

Zwei Winkel sind Komplementwinkel, wenn ihre Summe $90^\circ$ beträgt, und Supplementwinkel, wenn ihre Summe $180^\circ$ beträgt. Berechne in jedem Fall, wie groß der fehlende Winkel ist:

1. a) Der Komplementwinkel eines Winkels von $35^\circ$.
2. b) Der Supplementwinkel eines Winkels von $110^\circ$.

Wenn sich zwei Geraden schneiden, sind Scheitelwinkel gleich groß. Wenn in der folgenden Zeichnung der orangefarbene Winkel $\hat{\alpha}$ die Größe $40^\circ$ hat, wie groß sind dann die Winkel $\hat{\beta}$, $\hat{\gamma}$ und $\hat{\delta}$?

Die Zeiger einer Uhr bilden im Laufe des Tages unterschiedliche Winkel.

1. a) Welche Art von Winkel bilden die Zeiger, wenn es genau 3:00 Uhr ist?
2. b) Und wenn es genau 6:00 Uhr ist?
3. c) Welchen Winkel (in Grad) legt der Minutenzeiger in 15 Minuten zurück?

Zeichne ein Vieleck mit drei Seiten (ein Dreieck) und benenne seine wichtigsten Elemente. Gib an, wo die Ecken, die Seiten und die Innenwinkel liegen. Wie viele davon hat ein Dreieck jeweils?

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Die folgenden Strecken haben diese Längen:

• Strecke $AB = 40$ $mm$

• Strecke $CD = 2,5$ $cm$

• Strecke $EF = 0,5$ $dm$

Berechne die Gesamtsumme ihrer Längen in Zentimetern ($cm$).

Denke daran, vor dem Addieren alle Maße in dieselbe Einheit umzurechnen.

Lukas soll den Komplementwinkel von $\hat{A} = 42^\circ\ 35'$ berechnen. In sein Heft hat er folgende Lösung geschrieben:

„Da zwei Komplementwinkel zusammen $90^\circ$ ergeben, subtrahiere ich: $90^\circ - 42^\circ\ 35'$. Ich wandle $90^\circ$ in $89^\circ\ 100'$ um, also rechne ich $89^\circ\ 100' - 42^\circ\ 35' = 47^\circ\ 65'$. Da $65'$ mehr als ein Grad ist, übertrage ich $60'$ zu den Graden und erhalte als Endergebnis $48^\circ\ 5'$."

1. a) Finde den Fehler, den Lukas gemacht hat, und erkläre ausführlich, warum seine Überlegung zu den Einheiten nicht stimmt und wie sich das auf das Endergebnis auswirkt. Denke dabei an die Basis des Sexagesimalsystems.
2. b) Führe die Rechnung richtig durch und bestimme die genaue Größe des Komplementwinkels von $\hat{A}$.

In einer Werkstatt für geometrisches Design sollst du einen unbekannten Winkel $\hat{A}$ finden, der eine ganz bestimmte mathematische Eigenschaft erfüllt: Die Größe seines Supplementwinkels ist genau das Dreifache der Größe seines Komplementwinkels.

1. a) Überlege, ohne den Winkel $\hat{A}$ schon zu berechnen, wie viel Grad Unterschied zwischen dem Supplementwinkel und dem Komplementwinkel eines beliebigen Winkels in der Ebene immer besteht.
2. b) Nutze diese Differenz und die Bedingung, dass der eine das Dreifache des anderen ist, um herzuleiten, wie groß der Komplementwinkel von $\hat{A}$ zwingend sein muss.
3. c) Bestimme daraus die genaue Größe des Winkels $\hat{A}$ und überprüfe, dass die Ausgangsbedingung erfüllt ist, indem du seinen Komplement- und seinen Supplementwinkel berechnest.

Auf einer Wanderkarte verbindet ein gerader Weg den Punkt $A$ (eine Hütte) mit dem Punkt $B$ (einem Wasserfall). Wenn wir den Weg über den Wasserfall hinaus bis zum Berggipfel (Punkt $C$) verlängern, bestimme, welches geometrische Element die folgenden Abschnitte darstellen:

1. Der Weg, der an der Hütte beginnt und am Wasserfall endet.

2. Der Weg, der an der Hütte beginnt und unbegrenzt weiterführt, am Wasserfall und am Gipfel vorbei.

3. Die gedachte Linie, die die Hütte, den Wasserfall und den Gipfel enthält und sich in beide Richtungen unendlich weit erstreckt.

Ein Architekt plant ein neues Wohngebiet. Er hat drei Straßen gezeichnet, die durch die Geraden $r$, $s$ und $t$ dargestellt werden. Betrachte den Plan und antworte mit Begründung:

• Wenn die Straße $r$ senkrecht zur Straße $s$ ist und die Straße $t$ parallel zur Straße $r$ verläuft, wie liegen dann die Straßen $s$ und $t$ zueinander?

• Wenn ein Auto auf der Straße $s$ fährt und in die Straße $t$ abbiegen möchte, um welchen Winkel (in Grad) muss es abbiegen?

Ein Verkehrsradar dreht sich um seine Achse und überstreicht dabei einen Gesamtwinkel von $145^\circ$ $30'$. Wenn sich der Radar bereits um $82^\circ$ $45' $ $20''$ gedreht hat, wie viel fehlt ihm noch, um den gesamten Bereich zu überstreichen? Gib das Ergebnis in Grad, Minuten und Sekunden an.

Beim Entwurf einer Skaterrampe wurden drei Innenwinkel berechnet, die zusammen einen gestreckten Winkel ergeben müssen, damit die Konstruktion stabil ist. Wenn die ersten beiden Winkel $\hat{A} = 48^\circ$ $25'$ und $\hat{B} = 72^\circ$ $50'$ messen, berechne die Größe des dritten Winkels $\hat{C}$. Um welche Art von Winkel handelt es sich der Größe nach (spitz, rechter oder stumpf)?

Zwei Winkel sind Supplementwinkel (ergänzen sich zu 180°). Wenn einer von ihnen dreimal so groß ist wie der andere, wie groß ist dann jeder der beiden Winkel? Nutze eine Skizze, um dir die Situation zu veranschaulichen.

Zwei Freunde, Anna und Björn, wollen auf dem Schulhof einen WLAN-Repeater aufstellen, der genau gleich weit von beiden entfernt ist. Anna steht im Punkt $A$ und Björn im Punkt $B$:

1. Wie heißt die gedachte Linie, auf der sie den Repeater aufstellen könnten?

2. Wenn der Abstand zwischen Anna und Björn $12$ Meter beträgt, wie weit ist der Repeater mindestens von jedem der beiden entfernt?

3. Zeichne eine Skizze mit den Punkten $A$ und $B$, der Strecke, die sie verbindet, und der Linie, auf der der Repeater stehen soll.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Ein Gärtner möchte ein Blumenbeet in Form eines Kreissektors in zwei gleich große Sektoren teilen. Dazu muss er die Winkelhalbierende des Mittelpunktswinkels des ursprünglichen Beets einzeichnen, der $135^\circ$ misst.

• Berechne, wie groß jeder der beiden neuen Winkel nach dem Einzeichnen der Winkelhalbierenden ist.

• Wenn der Gärtner einen Fehler macht und eine Linie zieht, die einen Winkel von $60^\circ$ $40'$ abtrennt, wie viele Grad, Minuten und Sekunden beträgt dann der Unterschied zur richtigen Winkelhalbierenden?

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Betrachte die Zeiger einer analogen Uhr, die genau $15:00$ (drei Uhr) anzeigt. Die Abbildung zeigt diese Uhr: Der kurze Zeiger ist der Stundenzeiger und der lange der Minutenzeiger.

Beantworte:

1. a) Welche Art von Winkel bilden die beiden Zeiger um $15:00$?

1. b) Wenn die Uhr bis $15:10$ vorrückt, hat sich der Minutenzeiger um einen bestimmten Winkel gedreht. Wenn jede Minute einer Drehung des Minutenzeigers um $6^\circ$ entspricht, welchen Winkel hat der Minutenzeiger zurückgelegt?

1. c) Ist der Winkel zwischen den beiden Zeigern um $15:10$ größer oder kleiner als um $15:00$? Beachte, dass sich auch der Stundenzeiger ein wenig bewegt: Er dreht sich pro Minute um $0,5^\circ$.

Der Schwenkarm einer Sortiermaschine in einem Logistikzentrum in Essen startet aus einer Referenzposition und dreht sich um einen Winkel von $58^\circ\ 48'$. Um eine Kalibrierung abzuschließen, bei der genau ein rechter Winkel ($90^\circ$) erreicht werden muss, muss der Bediener im Anschluss an die erste Drehung eine zweite, ergänzende Drehung programmieren.

1. a) Schätze, bevor du mit Stift und Papier rechnest, begründet ab, zwischen welchen zwei vollen Zehnern von Grad (zum Beispiel zwischen $20^\circ$ und $30^\circ$ oder zwischen $30^\circ$ und $40^\circ$) der Wert der restlichen Drehung liegt. Erkläre, worauf du dich bei der Schätzung stützt, ohne den genauen Wert zu berechnen.
2. b) Berechne im Sexagesimalsystem (in Grad und Minuten) genau, wie groß die Drehung ist, die der Maschine noch fehlt, um $90^\circ$ zu erreichen.
3. c) Vergleiche den erhaltenen genauen Wert mit deiner vorherigen Schätzung und beurteile begründet, ob er geometrisch sinnvoll ist.

Bei der Neugestaltung eines Stadtviertels in Münster kreuzen sich zwei gerade Straßen, die Nordallee und die Zentralallee, in einem Punkt $P$. Einer der vier an dieser Kreuzung entstehenden Winkel misst $68^\circ\ 40'$.

1. a) Modelliere die Situation, indem du die gegenseitige Lage der beiden Straßen in der Ebene einordnest, und bestimme begründet die Größe der anderen drei an der Kreuzung entstehenden Winkel $P$. Begründe dabei, welche Scheitelwinkel und welche Nebenwinkel sind.
2. b) Um das Abbiegen der Stadtbusse zu erleichtern, ist eine Plattform geplant, deren Mittelachse genau mit der Winkelhalbierenden des Winkels von $68^\circ\ 40'$ übereinstimmt. Berechne die genaue Größe des Winkels (in Grad und Minuten), den diese Plattform mit der Zentralallee bildet.
3. c) Wenn später eine neue Straße angelegt wird, die vollkommen parallel zur Nordallee verläuft und die Zentralallee in einem anderen Punkt schneidet, begründe, welche Winkel diese neue Straße mit der Zentralallee bildet, ohne sie vor Ort messen zu müssen.

Drei Dörfer, Alcedo ($A$), Berzosa ($B$) und Cañotal ($C$), liegen so, dass der Winkel mit Scheitelpunkt in $A$, den die Straßen nach $B$ und $C$ bilden, $74^\circ \ 12'$ misst. Es soll ein Funkmast gebaut werden, der von der Straße $AB$ genau denselben Abstand hat wie von der Straße $AC$. Außerdem soll der Mast von den Dörfern $B$ und $C$ gleich weit entfernt sein. Beschreibe begründet, welche geometrischen Elemente der Ebene (besondere Geraden) du zeichnen musst, um den genauen Standort des Masts zu finden, und wie der Schnittpunkt heißt.

Beim Entwurf eines Metallteils sind zwei Winkel Nebenwinkel (ergänzen sich zu 180°). Wenn einer von ihnen das Dreifache des anderen vermindert um $20^\circ$ beträgt, wie groß ist dann jeder der beiden Winkel? Entwickle eine logische oder mathematische Strategie, um ihre Maße in Grad, Minuten und Sekunden zu bestimmen.

Berechne exakt den kleineren Winkel, den die Zeiger einer analogen Uhr bilden, wenn sie $10:20$ morgens anzeigt. Beachte, dass sich der Stundenzeiger proportional zur Bewegung des Minutenzeigers weiterbewegt. (Hinweis: Pro Minute rückt der Stundenzeiger um $0,5^\circ$ vor.)

Zwei parallele Geraden $r$ und $s$ werden von einer Geraden $t$ geschnitten. Zwei Wechselwinkel haben die Maße $2x + 15^\circ$ und $3x - 10^\circ$.

1. a) Bestimme den Wert von $x$.
2. b) Berechne die Maße aller acht Winkel, die an den Schnittpunkten entstehen.

Zeichne einen stumpfen Winkel $\widehat{AOB} = 150^\circ$. Zeichne seine Winkelhalbierende $OC$. Zeichne anschließend die Winkelhalbierende $OD$ des Winkels $\widehat{AOC}$. Berechne rechnerisch, ohne das Geodreieck für das Endmaß zu benutzen, wie groß der Nebenwinkel des Winkels $\widehat{DOB}$ ist. Zeige alle Rechenschritte im Sexagesimalsystem.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Eine Pizzeria möchte eine runde Pizza mit $30 \text{ cm}$ Durchmesser in 7 gleich große Stücke teilen.

1. a) Wie groß ist der Mittelpunktswinkel jedes Stücks genau, in Grad, Minuten und Sekunden?
2. b) Wenn der erste Schnitt versehentlich bei $52^\circ$ gemacht wird, um wie viele Minuten und Sekunden ist dieses Stück größer als das richtige Maß?

Zwei Schüler der Klasse 7, Irene und Marcos, wollen herausfinden, wie groß der Winkel ist, den die Winkelhalbierenden zweier beliebiger Nebenwinkel $\hat{A}$ und $\hat{B}$ (die zusammen $180^\circ$ ergeben und den Scheitelpunkt sowie einen gemeinsamen Schenkel haben) miteinander bilden.

• Irenes Methode (Zahlenprobe): Sie wählt einen konkreten Fall, zum Beispiel $\hat{A} = 120^\circ$ und $\hat{B} = 60^\circ$. Sie halbiert jeden Winkel, um die Winkelhalbierenden ($60^\circ$ und $30^\circ$) zu erhalten, addiert sie ($60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$) und folgert, dass sie immer $90^\circ$ bilden.

• Marcos’ Methode (allgemeine Herleitung): Er geht davon aus, dass bei $\hat{A} + \hat{B} = 180^\circ$ der von den beiden Winkelhalbierenden gebildete Winkel die Summe ihrer Hälften ist: $\frac{\hat{A}}{2} + \frac{\hat{B}}{2} = \frac{\hat{A} + \hat{B}}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.

1. a) Vergleiche beide Wege kritisch: Warum ist Irenes Methode ein Hinweis, beweist aber nicht formal, dass die Eigenschaft für alle möglichen Paare von Nebenwinkeln gilt? Welchen Vorteil hat Marcos’ Methode?
2. b) Wende Marcos’ allgemeine deduktive Methode an, um zu berechnen und zu beweisen, wie groß der von den Winkelhalbierenden zweier benachbarter Komplementwinkel gebildete Winkel immer sein wird.
3. c) Begründe anhand deiner Herleitung, ob es möglich ist, dass die Winkelhalbierenden zweier benachbarter Komplementwinkel in irgendeinem Fall einen stumpfen Winkel bilden.

In der Seenotrettungsleitstelle in Cuxhaven zeichnen die Lotsen auf einem ebenen Bildschirm den Kurs mehrerer Schiffe ein:

• Das Schiff Alfa fährt auf einer geradlinigen Bahn, die durch die Gerade $r$ dargestellt wird.

• Das Schiff Bravo fährt auf einer anderen geradlinigen Route, dargestellt durch die Gerade $s$. Beide Routen schneiden sich in einem Punkt $P$ und bilden einen spitzen Winkel von $41^\circ\ 35'$.

• Ein Rettungsboot startet am Kreuzungspunkt $P$ und fährt geradlinig genau auf der Winkelhalbierenden des stumpfen Winkels, den die Routen von Alfa und Bravo an diesem Punkt bilden.

• Ein Versorgungsschiff Charlie bewegt sich auf einer geradlinigen Bahn $t$, die senkrecht zur Bahn des Schiffs Alfa ($r \perp t$) in einem Punkt steht, der einige Seemeilen von $P$ entfernt liegt.

1. a) Bestimme begründet das genaue Maß des stumpfen Winkels, den die Bahnen von Alfa und Bravo im Punkt $P$ bilden.
2. b) Berechne das genaue Maß (in Grad, Minuten und Sekunden) des Winkels, den der Kurs des Rettungsboots mit der Bahn des Schiffs Bravo bildet.
3. c) Zeige rein geometrisch, ob sich die Bahnen des Schiffs Charlie ($t$) und des Schiffs Bravo ($s$) in irgendeinem Punkt der Ebene schneiden oder ob sie parallel sein können. Leite zur Begründung her, welche Winkelbedingung $r$ und $s$ erfüllen müssten, damit $t$ parallel zu $s$ sein könnte.