Aufgaben: Stochastik

Auf dem Weihnachtsmarkt in Dortmund gibt es ein Glücksrad. Es zeigt mit der Wahrscheinlichkeit $50\,\%$ Rot, mit $30\,\%$ Blau und mit $20\,\%$ Gelb. Das Rad wird zweimal gedreht.

1. a) Zeichne ein Baumdiagramm und trage alle Wahrscheinlichkeiten ein.

1. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für „zweimal Rot“.

1. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Drehungen dieselbe Farbe zeigen.

Bei einer Losbude auf dem Schützenfest liegen $20$ Lose in einer Trommel, davon sind $5$ Gewinne. Jan zieht zwei Lose ohne Zurücklegen.

1. a) Zeichne ein Baumdiagramm mit allen Wahrscheinlichkeiten.

1. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Lose Gewinne sind.

1. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Jan mindestens einen Gewinn zieht.

An einer Realschule wurden $200$ Schülerinnen und Schüler befragt, ob sie mit dem Fahrrad zur Schule kommen. Es waren $120$ Mädchen und $80$ Jungen. Von den Mädchen kommen $90$ mit dem Fahrrad, von den Jungen $40$.

1. a) Stelle die Daten in einer Vierfeldertafel dar.

1. b) Berechne den Anteil der Radfahrerinnen unter allen Mädchen.

1. c) Eine Person wird zufällig aus allen Radfahrenden ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Mädchen ist.

Eine Krankheit tritt bei $2\,\%$ der Bevölkerung auf. Ein Test erkennt $90\,\%$ der Erkrankten (positives Ergebnis). Bei $5\,\%$ der Gesunden zeigt der Test fälschlicherweise ebenfalls ein positives Ergebnis. Betrachtet werden $1\,000$ Personen.

1. a) Stelle die Situation in einer Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten dar.

1. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person ein positives Testergebnis hat.

1. c) Eine Person hat ein positives Testergebnis. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sie tatsächlich erkrankt ist, und kommentiere das Ergebnis.

In einer Fabrik in Siegen stellt Maschine A $60\,\%$ und Maschine B $40\,\%$ der Teile her. Von Maschine A sind $2\,\%$ der Teile fehlerhaft, von Maschine B $5\,\%$.

1. a) Zeichne ein Baumdiagramm mit allen Wahrscheinlichkeiten.

1. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Teil fehlerhaft ist.

1. c) Ein Teil ist fehlerhaft. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es von Maschine B stammt.

Beim Spiel „Siebener“ werden zwei faire Spielwürfel geworfen.

1. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme $7$.

1. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Sechs fällt.

1. c) Tim behauptet: „Die Augensumme $7$ ist genauso wahrscheinlich wie eine Augensumme von mindestens $10$.“ Überprüfe die Behauptung durch eine Rechnung.

In einer Urne liegen $4$ rote, $3$ grüne und $3$ blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

1. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln dieselbe Farbe haben.

1. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine grüne Kugel gezogen wird.

1. c) Es werden $x$ weitere rote Kugeln in die Urne gelegt. Bestimme $x$ so, dass die Wahrscheinlichkeit für „rot“ beim ersten Zug $60\,\%$ beträgt.

An einer Schule wurden $600$ Schülerinnen und Schüler befragt. $55\,\%$ der Befragten sind Mädchen. Von den Mädchen kommen $40\,\%$ mit dem Bus zur Schule, von den Jungen $30\,\%$.

1. a) Stelle die Daten in einer Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten dar.

1. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person mit dem Bus kommt.

1. c) Eine Person, die mit dem Bus kommt, wird zufällig ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Mädchen ist.

Eine Zeitung veröffentlicht vor einer Wahl das Ergebnis einer Umfrage unter $1\,000$ Personen: Partei A erhält $41\,\%$, Partei B $39\,\%$. Im zugehörigen Säulendiagramm beginnt die senkrechte Achse bei $35\,\%$.

1. a) Beschreibe, wie das Diagramm die Leserinnen und Leser täuschen kann.

1. b) Berechne das Verhältnis der Ergebnisse von A zu B einmal aus den Daten und einmal aus den Säulenhöhen des Diagramms.

1. c) Gib an, wie das Diagramm geändert werden muss, damit es die Daten angemessen darstellt, und gib die absoluten Häufigkeiten der Stimmen für A und B an.