Aufgaben: Statistik mit Technologie und kritisches Lesen

Die Abbildung zeigt eine Tabellenkalkulation mit den Altersangaben der Mitglieder eines Lesekreises. In den Zellen B11 und B12 zeigt die Tabelle die Ergebnisse der Formeln $=\text{MITTELWERT}(B2:B9)$ bzw. $=\text{MEDIAN}(B2:B9)$. In der oberen Leiste steht die Formel der Zelle B11, die ausgewählt ist.

1. a) Was berechnet die Formel in Zelle B11, $=\text{MITTELWERT}(B2:B9)$?

1. b) Und die in Zelle B12, $=\text{MEDIAN}(B2:B9)$?

1. c) Berechne beide Werte von Hand aus den Altersangaben in B2 bis B9 und überprüfe, dass sie mit den Werten übereinstimmen, die die Tabelle in B11 und B12 anzeigt.

Ein Fernsehsender hat dieses Säulendiagramm zur Zuschauerzahl zweier Sendungen gezeigt, wie in der Abbildung dargestellt.

1. a) Wie viel mal so viele Zuschauer scheint Sendung B auf den ersten Blick gegenüber A zu haben?

1. b) Lies die tatsächlichen Werte der Säulen ab und berechne das wahre Verhältnis der beiden Zuschauerzahlen.

1. c) Welchen Trick verwendet das Diagramm, um den Unterschied zu übertreiben? Wie müsste die senkrechte Achse aussehen, damit sie nicht täuscht?

Du kannst das auf Papier machen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Ein statistischer Taschenrechner zeigt an, dass das arithmetische Mittel der $10$ Noten einer Gruppe $6,4$ und der Median $6,5$ beträgt.

1. a) Wenn die Lehrkraft beschließt, alle Schülerinnen und Schüler um $0,5$ Punkte hochzustufen, wie lauten das neue Mittel und der neue Median? Begründe, ohne die Noten zu kennen.

1. b) Wenn sie stattdessen alle Noten mit $1,1$ multipliziert, was passiert dann mit dem Mittel und dem Median?

1. c) Die Summe der $10$ Noten betrug $64$. Nach einer Überprüfung wird aus einer Note $4$ eine $7$. Wie lautet das neue Mittel?

Wähle für jeden dieser Datensätze das am besten geeignete Diagramm (Säulendiagramm, Kreisdiagramm, Liniendiagramm, Häufigkeitspolygon oder Histogramm) und begründe deine Wahl:

1. a) Der prozentuale Anteil der Zeit, die ein Jugendlicher mit Schlafen, Lernen, Freizeit und Bildschirmen verbringt.

1. b) Die Entwicklung der Durchschnittstemperatur einer Stadt Monat für Monat über ein Jahr.

1. c) Die Mathematiknoten einer Klasse mit $28$ Schülerinnen und Schülern.

1. d) Die Anzahl der Haustiere, die die Schülerinnen und Schüler einer Klassenstufe zu Hause haben.

Du kannst das auf Papier machen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Lukas benutzt eine Tabellenkalkulation, um den Notendurchschnitt seiner fünf Mathematikarbeiten zu berechnen. Er hat die Noten in die Zellen $B2$ bis $B6$ eingegeben: $6$, $7$, $8$, $7$ und $7$. Zur Orientierung berechnet er in Zelle $B7$ die Summe aller Noten mit der Formel $=\text{SUMME}(B2:B6)$ und erhält $35$. Danach schreibt er in Zelle $B8$ die Formel $=\text{MITTELWERT}(B2:B7)$ in der Erwartung, seinen Notendurchschnitt zu erhalten, doch der Bildschirm zeigt $11,67$, eine unmögliche Note, da sie auf $10$ Punkte bezogen ist.

1. a) Finde den fremden Fehler, den Lukas beim Festlegen des Bereichs der Formel in $B8$ gemacht hat, und erkläre begründet, warum die Tabellenkalkulation $11,67$ ausgibt.
2. b) Schreibe die richtige Formel, die er in $B8$ hätte eingeben müssen, um das Mittel direkt mit der Funktion $\text{MITTELWERT}$ zu berechnen.
3. c) Wenn Lukas den bereits in $B7$ berechneten Summenwert nutzen wollte, welche Formel mit elementaren Rechenoperationen (ohne das Wort $\text{MITTELWERT}$) könnte er in $B8$ schreiben?

Das Mitteilungsblatt einer Gemeinde veröffentlicht ein Säulendiagramm, um zu zeigen, wie die Zahl der im städtischen Sportzentrum angemeldeten Personen gewachsen ist. 2022 waren $500$ Personen angemeldet, 2023 wurden $520$ registriert. Der Ersteller des Diagramms hat jedoch die senkrechte Achse abgeschnitten und bei $490$ statt bei $0$ beginnen lassen. So hat die Säule von 2022 eine gezeichnete Höhe von $10$ mm ($500 - 490$) und die von 2023 misst $30$ mm ($520 - 490$).

1. a) Schätze, welchen optischen Eindruck eine Nachbarin oder ein Nachbar auf den ersten Blick bekommt, ohne die Zahlen an der Achse zu lesen: Wie viel mal so groß scheint die Zahl der Nutzer geworden zu sein?
2. b) Überprüfe die Wirklichkeit, indem du die tatsächliche prozentuale Zunahme der Anmeldungen von 2022 auf 2023 berechnest.
3. c) Bewerte kritisch, ob das Diagramm irreführend ist, und erkläre, welche geometrische Änderung die senkrechte Achse zwingend haben müsste, um die Wahrnehmung der Leserin oder des Lesers nicht zu verfälschen.

Die Abbildung zeigt eine Tabellenkalkulation mit den Punkten pro Spiel einer Basketballspielerin, wie unten dargestellt.

1. a) Welchen Wert zeigt Zelle B10 an, wenn sie die Formel $=\text{MITTELWERT}(B2:B8)$ enthält? Berechne ihn.

1. b) Zelle B11 enthält $=\text{MAX}(B2:B8) - \text{MIN}(B2:B8)$. Welchen statistischen Kennwert berechnet sie und wie groß ist er?

1. c) Schreibe mit eigenen Worten die Formel auf, die man eingeben müsste, um die Anzahl der Spiele zu erhalten, in denen sie mehr als $15$ Punkte erzielt hat.

Ein Getränkehersteller hat dieses Kreisdiagramm zu den Vorlieben der Verbraucher veröffentlicht, wie in der Abbildung dargestellt.

1. a) Addiere die Prozentsätze aller Sektoren. Welches Ergebnis erhältst du? Ist das in einem Kreisdiagramm möglich?

1. b) Erkläre, was bei der Umfrage passiert sein könnte, um diese Daten zu erhalten, und warum das Kreisdiagramm für ihre Darstellung nicht geeignet ist.

1. c) Welche Diagrammart würdest du wählen, um diese Prozentsätze korrekt darzustellen?

Die Schülervertretung eines Gymnasiums mit $850$ Schülerinnen und Schülern will entscheiden, welche neue AG angeboten werden soll. Eine Schülerin befragt $40$ Schülerinnen und Schüler am Ausgang der Turnhalle und schließt: „$70\ \%$ der Schülerschaft wollen mehr Sport, also muss ein Kletterclub eröffnet werden."

1. a) Wie groß ist der Stichprobenumfang? Und was ist die Grundgesamtheit?

1. b) Welchen Mangel hat die Art der Stichprobenauswahl? Wie wirkt er sich auf die Schlussfolgerung aus?

1. c) Schlage eine bessere Methode vor, die $40$ Befragten auszuwählen, und erkläre, warum die Schlussfolgerung dann verlässlicher wäre.

1. d) Wie viel Prozent der Grundgesamtheit macht die Stichprobe aus? Gib das Ergebnis mit zwei Nachkommastellen an.

Ein Trainer vergleicht mit einer App die Spielminuten zweier Basketballteams über $10$ Spiele. Die App zeigt diese Ergebnisse:

• Team Nord: Mittelwert $= 18,4$ min, Standardabweichung $= 7,9$ min.

• Team Süd: Mittelwert $= 17,8$ min, Standardabweichung $= 2,1$ min.

1. a) Welches Team verteilt die Minuten gleichmäßiger auf seine Spieler? Welcher Kennwert zeigt dir das?

1. b) Wenn der Trainer von Nord möchte, dass ein bestimmter Spieler viel spielt, ist zu erwarten, dass ihm das gelingt? Und bei Süd?

1. c) Der Mittelwert von Team Nord ist etwas größer. Bedeutet das, dass alle seine Spieler mehr spielen als die von Süd? Begründe deine Antwort.

Ein kleines örtliches IT-Dienstleistungsunternehmen hat sieben Angestellte. In einer Tabellenkalkulation wurden ihre monatlichen Nettogehälter (in Euro) in den Zellen $B2$ bis $B8$ erfasst: $1\,250$, $1\,300$, $1\,300$, $1\,350$, $1\,400$, $1\,450$ und $5\,950$ (Letzteres gehört zur Geschäftsführung). Für eine Stellenanzeige muss die Kommunikationsabteilung entscheiden, welchen statistischen Kennwert sie als „typisches Gehalt" des Teams angibt.

1. a) Berechne das Ergebnis, das die Formel $=\text{MITTELWERT}(B2:B8)$ liefern würde, und das, das $=\text{MEDIAN}(B2:B8)$ ergäbe.
2. b) Wähle, welche der beiden Methoden aussagekräftiger ist, um eine Person, die sich auf eine Einstiegsstelle im Unternehmen bewirbt, ehrlich zu informieren, und begründe deine Wahl, indem du die Auswirkung des höchsten Gehalts analysierst.
3. c) Wenn das Unternehmen sich schließlich entscheidet, den Mittelwert statt des Medians zu veröffentlichen, welche überzeugende Absicht vermutest du dahinter und gegen welche Regel des kritischen Lesens von Daten wird verstoßen?

In einer schulischen Tabellenkalkulation enthalten die Zellen $B2$ bis $B6$ die wöchentlichen Sportstunden von fünf Schülerinnen und Schülern einer Klasse. Versehentlich wurde der Wert in Zelle $B6$ gelöscht. Von den anderen vier Zellen sind die Werte bekannt: $3$, $4$, $6$ und $8$ Stunden.

1. a) Wenn wir wissen, dass Zelle $B7$ die Formel $=\text{MITTELWERT}(B2:B6)$ enthält und genau den Wert $6$ Stunden ergibt, rekonstruiere den Zahlenwert, der in der leeren Zelle $B6$ stehen muss.
2. b) Berechne mit dem wiederhergestellten Wert von $B6$ den Wert, den die Formel $=\text{MEDIAN}(B2:B6)$ ergeben würde.
3. c) Stell dir vor, der Schüler in Zelle $B6$ ist Leistungssportler und trainiert in Wirklichkeit $25$ Stunden pro Woche statt des von dir gefundenen Werts. Begründe, ohne alles neu zu berechnen, ob sich der Median gegenüber dem vorigen Teil ändern würde, und begründe, warum der Median gegenüber Ausreißern robuster ist als das Mittel.

Entscheidungsaufgabe. Eine Online-Zeitung veröffentlicht die Schlagzeile „Ausgaben für Videospiele bei Jugendlichen schießen in die Höhe!" zusammen mit dem Diagramm in der Abbildung, wie unten dargestellt.

1. a) Lies die tatsächlichen Werte der Jahresausgaben im Diagramm ab und berechne die wahre prozentuale Zunahme zwischen dem ersten und dem letzten Jahr.

1. b) Warum erweckt das Diagramm einen viel alarmierenderen Eindruck als die Daten? Nenne mindestens zwei Gestaltungsentscheidungen, die das verursachen.

1. c) Formuliere die Schlagzeile ehrlich um, indem du die Daten verwendest.

1. d) Welche Fragen würdest du zur Stichprobe der Umfrage stellen, bevor du auch nur diese moderate Zunahme akzeptierst?

Um die Standardabweichung der Daten $4$, $6$, $7$, $7$, $9$, $11$ mit einer Tabellenkalkulation zu berechnen, wird eine Tabelle mit Hilfsspalten erstellt:

Wert $x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2$
$4$
$6$
$7$
$7$
$9$
$11$

1. a) Berechne das Mittel $\bar{x}$ und vervollständige die Tabelle in deinem Heft.

1. b) Welche Tabellenkalkulationsformel würde den Wert der Zelle in der zweiten Spalte für den Wert $4$ ergeben? Und die in der dritten Spalte?

1. c) Berechne das Mittel der Quadrate aus der dritten Spalte (die Varianz) und bestimme mit dem Taschenrechner die Quadratwurzel, um die Standardabweichung zu erhalten.

1. d) Die Summe der zweiten Spalte ergibt $0$. Ist das Zufall oder würde das bei jedem Datensatz passieren? Begründe.

Du kannst das auf Papier machen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Ein Leichtathletikverein muss eine Staffelläuferin verpflichten und hat die Zeiten der beiden Kandidatinnen aus ihren letzten $8$ Läufen über $100\ \text{m}$:

• Kandidatin 1: Mittelwert $= 12,40\ \text{s}$, Standardabweichung $= 0,45\ \text{s}$.

• Kandidatin 2: Mittelwert $= 12,55\ \text{s}$, Standardabweichung $= 0,10\ \text{s}$.

1. a) Der Trainer braucht eine Läuferin, die bei der Meisterschaft mit größtmöglicher Zuverlässigkeit unter $12,9\ \text{s}$ bleibt, weil eine schlechte Zeit das Team ausscheiden lässt. Wen verpflichtet er? Begründe deine Antwort mit Mittelwert und Standardabweichung.

1. b) Wenn er stattdessen die Läuferin suchte, die die beste Zeit des Tages erreichen kann, würde sich deine Wahl ändern? Warum?

1. c) Berechne den Variationskoeffizienten jeder Kandidatin, $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$, und erkläre, welche Information er gegenüber der Standardabweichung zusätzlich liefert.

Gib an, ob jede Aussage über den Einsatz von Technologie in der Statistik wahr oder falsch ist, und begründe deine Antwort:

1. a) „Das mit einer Tabellenkalkulation aus in Intervallen gruppierten Daten (mit den Klassenmitten) berechnete Mittel ist genau gleich dem aus den Originaldaten berechneten."

1. b) „Wenn ein statistisches Diagramm mit einem Computerprogramm erstellt wurde, kann es nicht irreführend sein."

1. c) „Ein wissenschaftlicher Taschenrechner kann die Standardabweichung liefern, auch wenn wir die Formel nicht verstehen, aber sie zu interpretieren bleibt unsere Aufgabe."

1. d) „Um die Streuung zweier Datensätze mit sehr unterschiedlichen Mittelwerten zu vergleichen, ist es besser, die Standardabweichung als den Variationskoeffizienten zu verwenden."

Ein Nachrichtenportal veröffentlicht folgende Schlagzeile: „Gesundheitsalarm: Wassermelonenverzehr im Sommer lässt Krankenhauseinweisungen wegen Sonnenstichs in die Höhe schnellen". Zur Begründung zeigt es die folgende Tabelle mit echten Daten aus einer Region über sechs Monate, in einer Tabellenkalkulation in den Spalten $A$ (Monat), $B$ (verkaufte Tonnen Wassermelonen) und $C$ (behandelte Sonnenstichfälle) eingetragen:

• Mai: $15$ t Wassermelonen und $2$ Sonnenstiche.

• Juni: $60$ t Wassermelonen und $16$ Sonnenstiche.

• Juli: $150$ t Wassermelonen und $45$ Sonnenstiche.

• August: $170$ t Wassermelonen und $52$ Sonnenstiche.

• September: $45$ t Wassermelonen und $8$ Sonnenstiche.

• Oktober: $10$ t Wassermelonen und $0$ Sonnenstiche.

1. a) Modelliere den beobachteten Zusammenhang zwischen beiden Variablen: Beschreibe, ob zwischen dem Wassermelonenverzehr und den Sonnenstichfällen eine positive, negative oder keine Korrelation besteht, und begründe das anhand der Daten der Tabelle.
2. b) Wende das Kriterium des kritischen Lesens „Korrelation beweist keine Kausalität" an, um die Schlagzeile des Artikels zu widerlegen. Welche zugrunde liegende Störvariable erklärt, dass beide Datenreihen gemeinsam steigen und fallen?
3. c) In Zelle $C7$ steht für den Monat Oktober eine $0$. Wenn jemand diese Zahl löschte und die Zelle völlig leer (leer gelassen) ließe, wie würde sich das auf das Ergebnis der Formel $=\text{MITTELWERT}(C2:C7)$ auswirken? Erkläre den technischen Unterschied, wie eine Tabellenkalkulation bei der Berechnung des Mittelwerts eine leere Zelle und eine Zelle mit der Zahl $0$ verarbeitet.

Ein Limonadenhersteller startet eine Werbekampagne unter dem Slogan: „$80\,\%$ der Verbraucher bevorzugen unsere Marke gegenüber dem führenden Konkurrenten". Bei der Durchsicht des technischen Berichts, der die Werbung stützt, entdeckt ein Verbraucherverband drei fragwürdige methodische Entscheidungen:

1. Die gesamte Stichprobe bestand aus $20$ Kunden, die am Ausgang eines von der Marke selbst gesponserten Konzerts ausgewählt wurden (davon sagten $16$ „Ja" zu ihrer Limonade und $4$ sagten „Nein").

2. Die Werbung enthält ein Kreisdiagramm, in dem der „Ja"-Sektor mit einem Mittelpunktswinkel von $324^\circ$ und der „Nein"-Sektor mit $36^\circ$ gezeichnet ist.

3. Die Marke behauptet, dass, wenn es ihr gelingt, $5$ weitere Personen zu überzeugen, in einer zweiten Umfrage mit insgesamt $25$ Personen ($21$ zustimmende Stimmen von $25$) positiv abzustimmen, die Zustimmungsquote gegenüber der ersten Stichprobe genau um $25\,\%$ gestiegen sei.

1. a) Finde den fremden Fehler bei der Konstruktion des Kreisdiagramms: Berechne den Mittelpunktswinkel, der dem $80\,\%$ tatsächlich zustünde, und erkläre, welchen irreführenden optischen Effekt der von der Marke gezeichnete Winkel hervorruft.
2. b) Übe fundierte Kritik an Stichprobenumfang und Auswahlverfahren: Warum lassen sich diese Ergebnisse nicht auf die Gesamtheit der Verbraucher in Deutschland übertragen?
3. c) Korrigiere den Rechenfehler des technischen Berichts: Berechne die tatsächliche Zustimmungsquote, wenn es $21$ positive Meinungen bei $25$ Befragten gäbe, und erkläre, warum es falsch ist, dass die Zustimmung um $25\,\%$ gestiegen sei, und kläre den Unterschied zwischen Prozentpunkten und prozentualer Zunahme.

Herausforderung des Themas. Ist das Wetter dieser zwei Wochen in deinem Ort repräsentativ? Werde zur Datenanalystin oder zum Datenanalysten und erstelle einen kritischen Wetterbericht.

1. Erfassen und Ordnen: Rufe die Website des Deutschen Wetterdienstes auf und notiere die Tageshöchsttemperatur deines Kreises für die letzten $15$ Tage. Bestimme begründet die Art des statistischen Merkmals und erstelle in einer Tabellenkalkulation (oder GeoGebra) die vollständige Häufigkeitstabelle.

2. Kennwerte und Diagramm: Bestimme mit Formeln der Tabellenkalkulation das arithmetische Mittel ($\bar{x}$), den Median ($Me$), die Spannweite und die Standardabweichung ($\sigma$). Erzeuge mit demselben Werkzeug das passendste statistische Diagramm und beschrifte Achsen und Einheiten angemessen.

3. Kritisches Lesen und Schlussfolgerungen: Verfasse einen kurzen Bericht (eine Seite), in dem du analysierst, ob das Mittel das Temperaturverhalten zutreffend beschreibt oder ob eine hohe Standardabweichung (zum Beispiel über $3,5$ °C) zu große Streuung anzeigt. Überlege: Könnte ein Medium die Wahrnehmung des Klimas manipulieren, indem es nur einen dieser Kennwerte verwendet?

Bewertet wird:

• Sorgfalt bei der Einordnung des Merkmals und korrekte Erstellung der Häufigkeitstabelle.

• Genauigkeit der berechneten Kennwerte und technische Qualität des Diagramms in der Tabellenkalkulation oder in GeoGebra.

• Tiefe des kritischen Lesens zur Aussagekraft der Mittelwerte und der Streuung.