Aufgaben: Quadratische Gleichungen

Löse die folgende unvollständige quadratische Gleichung, indem du direkt nach der Variablen auflöst:

$3x^2 - 48 = 0$

Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichung durch Ausklammern:

$5x^2 + 15x = 0$

Wende die Lösungsformel an, um die Lösungen der folgenden vollständigen quadratischen Gleichung zu finden:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Berechne die Diskriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ und gib an, wie viele reelle Lösungen die Gleichung hat:

$4x^2 - 12x + 9 = 0$

Schreibe eine quadratische Gleichung der Form $x^2 + bx + c = 0$ auf, deren Lösungen $x_1 = 4$ und $x_2 = -3$ sind.

Bestimme im Kopf die Lösungen der folgenden Gleichung, die bereits faktorisiert ist:

$(2x - 5)(x + 4) = 0$

Finde eine natürliche Zahl, deren Quadrat minus ihr Dreifaches gleich $18$ ist. Stelle die zugehörige Gleichung auf und löse sie.

Löse die folgende Gleichung, indem du zuerst die Nenner beseitigst, um sie in eine Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten umzuformen:

$\frac{x^2}{2} - \frac{x}{3} = \frac{5}{6}$

In einer Mathematikklausur soll Sergej die unvollständige Gleichung $3x^2 - 15x = 0$ lösen. Seine Rechnung auf dem Papier sah so aus:

Und er folgert: „Die einzige Lösung der Gleichung ist $x = 5$.“

1. a) Erkläre begründet, welchen grundsätzlichen Fehler Sergej macht, wenn er beide Seiten durch die Variable $x$ teilt, und welche unmittelbare Folge das für die Lösungen hat.
2. b) Löse die Gleichung richtig durch Ausklammern und begründe mithilfe des Satzes vom Nullprodukt ($A \cdot B = 0$), warum es in Wirklichkeit zwei verschiedene Lösungen gibt.

In einem städtischen Sportzentrum in Dortmund soll ein neues regelgerechtes Padelfeld gebaut werden. Nach den offiziellen Vorgaben des Deutschen Padel Verbands muss der Umfang der Anlage $60\text{ m}$ betragen (die Summe aus Länge und Breite beträgt also $30\text{ m}$) und die gesamte Spielfläche $200\text{ m}^2$.

1. a) Bezeichne die Breite des Felds in Metern mit $x$, drücke seine Länge in Abhängigkeit von $x$ aus und stelle die quadratische Gleichung auf, die den Flächeninhalt der Anlage bestimmt.
2. b) Löse die Gleichung, um die möglichen Werte von $x$ zu erhalten.
3. c) Erkläre die geometrische Bedeutung der zwei verschiedenen algebraischen Lösungen: Handelt es sich um zwei verschiedene Felder, oder stellen sie Länge und Breite desselben Felds dar?

Löse die folgende Gleichung, indem du zuerst die binomischen Formeln ausmultiplizierst und gleichartige Terme zusammenfasst:

$(x - 2)^2 + (x + 1)^2 = 5$

Der Flächeninhalt eines rechteckigen Solarmoduls beträgt $24$ m$^2$. Seine Länge ist $2$ Meter größer als seine Breite $x$. Berechne die genauen Abmessungen des Solarmoduls.

Eine Modellrakete wird senkrecht nach oben abgeschossen. Ihre Höhe $h$ in Metern nach $t$ Sekunden ist durch die Gleichung $h = 40t - 5t^2$ gegeben. Bestimme, zu welchen Zeitpunkten sich die Rakete genau in $75$ Metern Höhe befindet.

Bei der Gleichung $2x^2 + kx - 15 = 0$ ist bekannt, dass eine der Lösungen $x = 3$ ist. Berechne den Wert des Parameters $k$ und bestimme die andere Lösung.

Die Summe der Quadrate zweier aufeinanderfolgender ungerader ganzer Zahlen beträgt $130$. Stelle eine quadratische Gleichung auf, löse sie und finde diese Zahlen (gib alle möglichen Paare an).

Eine Gruppe von Freunden mietet für eine Reise einen Transporter für $120$ Euro und teilt die Kosten zu gleichen Teilen auf. Auf den letzten Drücker kommen $2$ Freunde mehr dazu, sodass jeder Teilnehmer $3$ Euro weniger zahlt. Stelle die zugehörige Gleichung auf und bestimme, wie viele Freunde schließlich mitfahren.

Löse die folgende Gleichung, indem du die Brüche algebraisch umformst, sodass eine quadratische Polynomgleichung entsteht:

$\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x+1} = \frac{8}{x^2-1}$

Ohne die Gleichung $3x^2 - 12x + c = 0$ zu lösen: Bestimme den Wert des konstanten Glieds $c$, wenn das Produkt ihrer Lösungen $3$ beträgt. Berechne auch die Summe dieser Lösungen mithilfe des Satzes von Vieta.

Um die Gleichung $2(x - 3)^2 - 50 = 0$ zu lösen, schlagen zwei Mitschüler unterschiedliche Wege vor:

• Emilia schlägt vor, die binomische Formel $(x - 3)^2$ auszumultiplizieren, mit $2$ zu multiplizieren, $50$ zu subtrahieren, die Gleichung vollständig in die Form $ax^2 + bx + c = 0$ zu bringen und die allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen anzuwenden.

• Dario schlägt vor, den quadratischen Term $(x - 3)^2$ durch Division durch $2$ zu isolieren und anschließend direkt auf beiden Seiten die Quadratwurzel mit doppeltem Vorzeichen ($\pm$) zu ziehen.

1. a) Löse die Gleichung nach der Methode von Dario.
2. b) Vergleiche beide Strategien: Welche Methode ist effizienter und verringert die Wahrscheinlichkeit von Vorzeichenfehlern oder Fehlern bei den Zwischenschritten? Begründe deine Antwort.
3. c) In welchem Fall wäre Darios Vorgehen nicht anwendbar, sodass man unbedingt die allgemeine Form und die Lösungsformel für quadratische Gleichungen benötigt?

Das Straßenverkehrsamt modelliert den gesamten Anhalteweg $d$ (in Metern) eines Pkw auf trockenem Asphalt in Abhängigkeit von seiner Geschwindigkeit $v$ (in $\text{km/h}$) durch den folgenden quadratischen Term:

Nach einem Vorfall auf einer Landstraße mit einer Höchstgeschwindigkeit von $90\text{ km/h}$ maß die Verkehrspolizei eine Brems- und Anhaltespur von $70\text{ m}$.

1. a) Schätze ab: Berechne, ohne die vollständige Gleichung zu lösen, den Anhalteweg des Pkw bei $80\text{ km/h}$ und bei $100\text{ km/h}$. Begründe anhand dieser beiden Werte, zwischen welchen Geschwindigkeiten sich das Fahrzeug befand, und gib an, ob du vermutest, dass der Fahrer die erlaubte Höchstgeschwindigkeit von $90\text{ km/h}$ überschritten hat.
2. b) Berechne: Setze $d = 70$ in die Formel ein und multipliziere alle Terme mit $200$, um mit ganzzahligen Koeffizienten zu arbeiten. Löse die entstehende quadratische Gleichung, um die genaue Geschwindigkeit $v$ zu berechnen.
3. c) Überprüfe und bewerte: Vergleiche das Ergebnis mit deiner Abschätzung, scheide die mathematische Lösung, die physikalisch keinen Sinn ergibt, begründet aus und beurteile, ob der Fahrer ein Tempolimit überschritten hat.

Diskutiere die Anzahl der reellen Lösungen der Gleichung $x^2 - (m+2)x + 9 = 0$ in Abhängigkeit von den Werten des Parameters $m$.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse $2$ cm länger als die größere Kathete, und diese ist $2$ cm länger als die kleinere Kathete. Stelle mithilfe des Satzes des Pythagoras eine quadratische Gleichung auf und berechne den exakten Umfang des Dreiecks.

Gegeben sind die Lösungen $x_1$ und $x_2$ der allgemeinen Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ (mit $c \neq 0$). Zeige algebraisch, dass die Summe der Kehrwerte der Lösungen, $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$, stets gleich $-\frac{b}{c}$ ist.

Der Umfang eines rechteckigen Grundstücks beträgt $68$ Meter und sein Flächeninhalt $240$ m$^2$. Bestimme mithilfe des Zusammenhangs zwischen der Summe und dem Produkt der Lösungen einer quadratischen Gleichung ($x^2 - Sx + P = 0$) die Abmessungen des Grundstücks.

Ein Foto von $20$ cm Breite und $30$ cm Höhe wird mit einem Passepartout gleichmäßiger Breite $x$ gerahmt. Wenn der gesamte Flächeninhalt des Passepartouts genau so groß ist wie der Flächeninhalt des Fotos, stelle eine quadratische Gleichung auf und bestimme die Breite $x$ des Passepartouts.

Schreibe eine quadratische Gleichung auf, deren Lösungen das Doppelte der Lösungen der Gleichung $x^2 - 5x + 6 = 0$ sind. Löse die Aufgabe mithilfe der Eigenschaften von Summe und Produkt der Lösungen (Satz von Vieta), ohne vorher die Lösungen der ursprünglichen Gleichung zu berechnen.

Vereinfache und löse die folgende Bruchgleichung. Achte dabei auf mögliche Scheinlösungen, für die die Nenner null werden:

$\frac{x+1}{x-2} - \frac{x-1}{x+2} = \frac{12}{x^2-4} + 1$

Ein Güterzug fährt mit konstanter Geschwindigkeit. Ein Hochgeschwindigkeitszug, der $50$ km/h schneller fährt, legt eine Strecke von $300$ km in $1$ Stunde weniger zurück als der Güterzug. Stelle eine quadratische Gleichung auf, um die Geschwindigkeit des Güterzugs zu bestimmen.

Beim Entwurf der Konstruktion einer Fußgängerbrücke folgt der untere Bogen einer quadratischen Gleichung der Form $x^2 + bx + c = 0$, wobei die Variable $x$ die horizontale Position in Metern bezogen auf eine zentrale Markierung angibt. Für die Auflager am Boden ($x_1$ und $x_2$) gelten zwei statische Bedingungen:

1. Der gesamte Abstand zwischen den beiden Auflagern muss $40\text{ m}$ betragen (also $x_2 - x_1 = 40$).

2. Wegen des Gefälles des Geländes ist die Summe der horizontalen Positionen der Auflager $x_1 + x_2 = 20$.

1. a) Bestimme, ohne zuvor die Lage jedes Auflagers zu berechnen, den Wert des Koeffizienten $b$ mithilfe der Beziehungen von Vieta ($x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$).
2. b) Stelle das lineare Gleichungssystem aus zwei Gleichungen auf, das Summe und Differenz der Auflager bilden, und löse es, um die genauen Positionen $x_1$ und $x_2$ zu bestimmen.
3. c) Leite den Wert des konstanten Gliedes $c$ über das Produkt der Lösungen ($x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$) her, schreibe die vollständige allgemeine Gleichung auf und zeige anhand des Vorzeichens ihrer Diskriminante $\Delta = b^2 - 4ac$, dass zwei verschiedene reelle Auflager gesichert sind.

Eine Jugendtheatergruppe in Münster bietet ihre Aufführungen zum üblichen Preis von $12\text{ €}$ pro Eintrittskarte an und verzeichnet durchschnittlich $300$ Besucher pro Vorstellung. Eine Marktstudie des Kulturvereins zeigt: Für jeden Euro ($1\text{ €}$), um den der Eintrittspreis erhöht wird, kommen $15$ Zuschauer weniger. Die Einnahmen pro Vorstellung ergeben sich aus dem Produkt:

1. a) Wir bezeichnen mit $x$ den Betrag in Euro, um den der ursprüngliche Preis erhöht wird:

• Schreibe den neuen Preis und die neue Zuschauerzahl in Abhängigkeit von $x$ auf.

• Multipliziere das Produkt aus und zeige, dass die Gesamteinnahmen durch einen quadratischen Term gegeben sind.

1. b) Um eine Tournee durch Nordrhein-Westfalen zu finanzieren, muss die Gruppe bei einer Vorstellung genau $3780\text{ €}$ einnehmen. Stelle die entsprechende Gleichung auf, vereinfache sie, indem du alle Terme durch $-15$ teilst, und löse sie.
2. c) Interpretiere die beiden erhaltenen Ergebnisse: Welche zwei verschiedenen Eintrittspreise führen genau zu diesem Einnahmeziel? Welche der beiden Möglichkeiten würdest du wählen, wenn das soziale Ziel der Gruppe ist, möglichst vielen Menschen den Zugang zum Theater zu ermöglichen? Begründe deine Wahl.