Aufgaben: Exponentialfunktionen

Gegeben ist die Exponentialfunktion $f(x) = 3^x$. Berechnen Sie die Zahlenwerte von $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ und $f(\frac{1}{2})$. Geben Sie die Ergebnisse exakt an und verwenden Sie, falls nötig, Wurzeln oder Brüche.

Ordnen Sie die folgenden Exponentialfunktionen als monoton steigend oder fallend ein und begründen Sie Ihre Antwort mit dem Wert ihrer Basis:

• $f(x) = 4^x$

• $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$

• $h(x) = 0,8^x$

• $i(x) = e^x$

Bestimmen Sie die Definitionsmenge, die Wertemenge und die Gleichung der waagerechten Asymptote der Funktion $f(x) = 2^x - 5$.

Lösen Sie die folgende Exponentialgleichung, indem Sie auf beiden Seiten der Gleichung gleiche Basen herstellen:

$5^{2x-1} = 125$

Eine Bakterienpopulation verdoppelt sich jede Stunde. Wenn sich anfangs $150$ Bakterien in der Kultur befinden, stellen Sie die Funktion $P(t)$ auf, die die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Stunden) modelliert. Wie viele Bakterien befinden sich nach $4$ Stunden in der Kultur?

Berechnen Sie rechnerisch die Koordinaten der Schnittpunkte der Funktion $f(x) = 3^{x+1} - 9$ mit der x-Achse und mit der y-Achse.

Ordnen Sie jeden der mit A, B, C und D beschrifteten Graphen in der folgenden Abbildung der zugehörigen Exponentialfunktion zu. Die Funktionen sind: $f(x) = 2^x$, $g(x) = 0,5^x$, $h(x) = 3^x$ und $i(x) = -2^x$.

Schreiben Sie beide Seiten der Gleichung als Potenzen zur Basis $2$ und lösen Sie:

$8^x = \frac{1}{4}$

Leon soll die Exponentialgleichung $3 \cdot 2^{x+1} = 48$ lösen. In seiner Klausur schreibt er die folgende Rechnung auf:

1. a) Finden Sie die beiden begrifflichen Fehler, die Leon in den ersten beiden Schritten seiner Lösung gemacht hat, und erklären Sie sie ausführlich.
2. b) Lösen Sie die Gleichung schrittweise richtig und geben Sie dabei jeweils ausdrücklich an, welche Potenzregel bzw. welche Eigenschaft der Exponentialfunktionen die jeweilige Umformung rechtfertigt.

Der Zeitwert eines Kleinwagens, der in Deutschland für $16\,000$ € neu gekauft wurde, sinkt jedes Jahr um $20\,\%$, sodass sein Wert nach $t$ Jahren durch $V(t) = 16\,000 \cdot 0,8^t$ gegeben ist.

1. a) Schätzen Sie ohne formales Aufstellen von Gleichungen begründet ab, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Jahren der Wert des Autos zum ersten Mal unter die Hälfte seines ursprünglichen Preises ($8\,000$ €) fällt. Berechnen Sie zur Begründung Ihrer Schätzung auf einfache Weise die Werte von $V(1)$, $V(2)$, $V(3)$ und $V(4)$ und grenzen Sie sie ein.
2. b) Überprüfen Sie Ihre Schätzung, indem Sie die genauen Zahlenwerte von $V(3)$ und $V(4)$ in Dezimalform berechnen. Begründen Sie anhand der Ergebnisse, ob das Auto jedes Jahr den gleichen absoluten Betrag in Euro verliert oder nicht, und erklären Sie, wie das mit dem exponentiellen Abnehmen zusammenhängt.

Bestimmen Sie den Funktionsterm einer Exponentialfunktion der Form $f(x) = k \cdot a^x$, deren Graph durch die Punkte $(0|3)$ und $(2|12)$ verläuft.

Es werden $5000$ Euro auf einem Festgeldkonto angelegt, das einen jährlichen Zinseszins von $3\%$ bietet.

• Geben Sie die Funktion an, die das angesammelte Kapital $C(t)$ nach $t$ Jahren beschreibt.

• Berechnen Sie das Gesamtkapital, das sich nach $10$ Jahren angesammelt hat.

Lösen Sie die folgende Exponentialgleichung mithilfe einer geeigneten Substitution:

$9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$

Bestimmen Sie die Definitionsmenge der folgenden Funktion:

$f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$

Ein radioaktives Isotop hat eine Halbwertszeit (Zeit, in der sich seine Anfangsmasse halbiert) von $8$ Tagen. Wir gehen von einer Anfangsprobe von $200$ Gramm aus:

• Geben Sie die Funktion $M(t)$ an, die die verbleibende Masse des Isotops in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Tagen beschreibt.

• Welche Masse dieses Isotops bleibt nach $24$ Tagen übrig?

Lösen Sie die folgende Exponentialgleichung mithilfe von Logarithmen:

$4^{x-1} = 15$

Geben Sie das Ergebnis exakt mithilfe von Logarithmen an und außerdem einen auf zwei Nachkommastellen gerundeten Näherungswert.

Erklären Sie ausgehend von der Funktion $f(x) = 2^x$ ausführlich, welche geometrischen Abbildungen auf ihren Graphen angewendet werden müssen, um den Graphen der Funktion $g(x) = 2^{x-3} + 1$ zu erhalten. Bestimmen Sie die Definitionsmenge, die Wertemenge und die Gleichung der waagerechten Asymptote von $g(x)$.

Der Marktwert einer Industriemaschine nimmt mit der Zeit exponentiell ab. Sie wurde für $40000$ Euro gekauft, und es ist bekannt, dass sie jedes Jahr $15\%$ ihres Wertes gegenüber dem unmittelbaren Vorjahr verliert.

• Geben Sie die Funktion $V(t)$ an, die den Wert der Maschine in Abhängigkeit von den vergangenen Jahren beschreibt.

• Wie groß ist ihr Wert nach $5$ Jahren?

• Wie viel Zeit muss genau vergehen, bis sich ihr Wert halbiert hat?

Entwerfen Sie eine Exponentialgleichung, die gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

1. Sie wird mit der Substitution $t = 2^x$ gelöst und geht dabei in eine quadratische Gleichung in der Variablen $t$ über.

2. Beim Lösen der quadratischen Gleichung in $t$ erhält man zwei verschiedene reelle Lösungen, aber die ursprüngliche Exponentialgleichung in der Variablen $x$ hat nur eine einzige reelle Lösung, und zwar genau $x = 3$.

3. Das konstante Glied der quadratischen Gleichung in $t$ muss eine streng negative ganze Zahl sein.

1. a) Stellen Sie die Gleichung in $t$ auf und begründen Sie, welchen Wert die zweite Lösung haben muss, damit sie beim Rückgängigmachen der Substitution keine reelle Lösung liefert.
2. b) Geben Sie die vollständige Exponentialgleichung in der Variablen $x$ an, ausmultipliziert in der Form $a \cdot 4^x + b \cdot 2^x + c = 0$ mit $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
3. c) Zeigen Sie rechnerisch, dass die einzige reelle Lösung Ihrer Exponentialgleichung $x = 3$ ist.

Nach den Zählungen des spanischen Umweltministeriums (MITECO) ist der Bestand des Iberischen Luchses auf der Iberischen Halbinsel von etwa $100$ Tieren im Jahr $2002$ ($t = 0$) auf rund $1\,600$ Tiere im Jahr $2022$ ($t = 20$) gestiegen. Es wird ein exponentielles Wachstumsmodell der Form $P(t) = P_0 \cdot a^t$ angenommen, wobei $t$ die seit $2002$ vergangene Zeit in Jahren ist:

1. a) Bestimmen Sie die exakten Werte der Konstanten $P_0$ und des jährlichen Wachstumsfaktors $a$. Geben Sie den Wachstumsfaktor $a$ als Potenz mit vollständig gekürztem Exponenten zur Basis $2$ an.
2. b) Berechnen Sie ausgehend vom Wert von $a$ die durchschnittliche jährliche prozentuale Wachstumsrate, die dieses Modell vorhersagt, und runden Sie auf $0,1\,\%$.
3. c) Bestimmen Sie nur mithilfe von Potenzgesetzen zur Basis $2$ (ohne Dezimalnäherungen oder Logarithmen), in welchem Jahr der Bestand nach dem Modell $6\,400$ Luchse erreichen würde. Erklären Sie, warum ein rein exponentielles Modell biologisch nicht mehr realistisch ist, wenn man es sehr weit in die Zukunft fortschreibt.

Die Ausbreitung eines Virus in einer abgeschlossenen Bevölkerung von $10000$ Einwohnern folgt einem logistischen Wachstumsmodell mit der Funktion:

$P(t) = \frac{10000}{1 + 99 e^{-0,5t}}$

Dabei ist $P(t)$ die Anzahl der infizierten Personen und $t$ die seit Beginn des Ausbruchs vergangene Zeit in Tagen.

• Berechnen Sie die anfängliche Anzahl der Infizierten zum Zeitpunkt $t = 0$.

• Bestimmen Sie, wie viele Personen nach $10$ Tagen infiziert sind.

• Berechnen Sie die genaue Zeit, die nötig ist, bis die Hälfte der Bevölkerung infiziert ist.

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem aus Exponentialgleichungen:

Führen Sie für die Funktion $f(x) = e^{\frac{2x}{x-1}}$ eine Funktionsuntersuchung durch und bestimmen Sie:

• ihre Definitionsmenge,

• die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen,

• die Gleichungen ihrer waagerechten und senkrechten Asymptoten, falls vorhanden.

Bestimmen Sie die Werte der Parameter $a$ und $b$ so, dass die folgende abschnittsweise definierte Funktion auf ganz $\mathbb{R}$ stetig ist:

Lösen Sie die folgende Exponentialgleichung, indem Sie nach Anwendung der Potenzgesetze ausklammern:

$2^{x+2} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 34$

Nach dem newtonschen Abkühlungsgesetz ist die Temperatur eines Objekts zum Zeitpunkt $t$ (in Minuten) durch den Term $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$ gegeben, wobei $T_a$ die Umgebungstemperatur und $T_0$ die Anfangstemperatur des Objekts ist. Eine Tasse Kaffee mit $90^\circ\text{C}$ wird in einem Raum abgestellt, der auf einer konstanten Temperatur von $20^\circ\text{C}$ gehalten wird. Nach $10$ Minuten ist die Temperatur des Kaffees auf $60^\circ\text{C}$ gesunken:

• Berechnen Sie den exakten Wert der Abkühlungskonstanten $k$.

• Bestimmen Sie die insgesamt seit Beginn vergangene Zeit, bis der Kaffee eine Temperatur von $30^\circ\text{C}$ erreicht.

Bestimmen Sie rechnerisch die Intervalle mit konstantem Vorzeichen (d. h. die Intervalle, in denen die Funktion streng positiv bzw. streng negativ ist) der Funktion:

$f(x) = (x^2 - 5x + 6)e^{-x}$

Im nebenstehenden Schaubild sind die Funktionen $f(x) = e^x$ und $g(x) = e^{-x}$ zusammen mit der waagerechten Geraden $y = e$ dargestellt.

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$. Berechnen Sie anschließend den exakten Flächeninhalt des Dreiecks, dessen Eckpunkte dieser Schnittpunkt und die beiden Punkte sind, in denen die Kurven die Gerade $y = e$ schneiden.

Gegeben sind die beiden folgenden Exponentialgleichungen:

Gleichung 1: $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} = 21$

Gleichung 2: $9^x - 4 \cdot 3^{x+1} + 27 = 0$

Ihnen stehen drei mögliche algebraische Strategien zur Verfügung:

• Strategie A: Als ersten direkten Schritt auf beiden Seiten logarithmieren.

• Strategie B: Die Potenz zur Basis $3$ mit dem kleineren Exponenten ausklammern.

• Strategie C: Mit den Potenzgesetzen den Term umformen und die Substitution $t = 3^x$ durchführen.

1. a) Begründen Sie, warum Strategie A als erster Schritt bei beiden Gleichungen nicht zielführend ist, und nennen Sie den typischen algebraischen Fehler im Zusammenhang mit $\log(u + v)$.
2. b) Wählen Sie für jede Gleichung begründet die günstigste Strategie aus B und C und geben Sie an, welche spezielle algebraische Struktur der Gleichung Ihre Wahl motiviert.
3. c) Lösen Sie beide Gleichungen schrittweise, indem Sie jeweils die als günstigste begründete Strategie verwenden.

An der Wetterstation des DWD in Bad Marienberg (Westerwald) bleibt die Außentemperatur während einer Winternacht konstant bei $T_a = -5$ °C. Ein Thermobehälter mit einer Flüssigkeit der Anfangstemperatur $T_0 = 75$ °C wird ins Freie gestellt. Seine Temperatur entwickelt sich nach dem newtonschen Abkühlungsgesetz:

Dabei ist $t$ die vergangene Zeit in Minuten und $a \in (0, 1)$ der Abnahmefaktor der Temperatur pro Minute.

1. a) Nach $15$ Minuten im Freien beträgt die Temperatur der Flüssigkeit $35$ °C. Berechnen Sie den exakten Wert des Faktors $a$ als Potenz mit vollständig gekürztem Exponenten und geben Sie den endgültigen Funktionsterm von $T(t)$ an.
2. b) Beweisen Sie formal, dass $T(t)$ für alle $t \ge 0$ streng monoton fallend ist. Bestimmen Sie die waagerechte Asymptote der Funktion für $t \to +\infty$ und deuten Sie ihre physikalische Bedeutung im Zusammenhang des Experiments.
3. c) Ein Schüler behauptet, dass das Thermometer bei ausreichend langem Warten genau $-5$ °C anzeigt. Stellen Sie die zugehörige Gleichung auf und zeigen Sie anhand der Wertemenge der Exponentialfunktion, warum das kontinuierliche mathematische Modell diese Behauptung widerlegt. Erklären Sie kurz, warum dieser Unterschied zwischen der theoretischen Vorhersage und der physikalischen Realität der Thermodynamik entsteht.