Aufgaben: Baumdiagramme und Vierfeldertafeln

In einer Studie zur Nutzung sozialer Netzwerke an einem Gymnasium in Berlin wurde beobachtet, dass von einer Gruppe von $100$ Oberstufenschülerinnen und -schülern $65$ regelmäßig TikTok nutzen und $45$ Instagram nutzen. Außerdem ist bekannt, dass $25$ Schüler beide Plattformen nutzen.

Stellen Sie diese Daten in einer Vierfeldertafel dar (mit den Zeilen „TikTok“ und „kein TikTok“, den Spalten „Instagram“ und „kein Instagram“ sowie den Zeilen- und Spaltensummen) und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei zufälliger Auswahl einer Schülerin bzw. eines Schülers gilt:

1. a) Sie bzw. er nutzt keines der beiden sozialen Netzwerke.

1. b) Sie bzw. er nutzt TikTok, wenn sie bzw. er bereits Instagram nutzt.

Eine Kiste mit technischem Zubehör enthält $8$ weiße und $4$ schwarze kabellose Mäuse. Es werden nacheinander zwei Mäuse ohne Zurücklegen entnommen:

1. a) Zeichnen Sie das Baumdiagramm, das alle möglichen Ergebnisse beschreibt, und tragen Sie die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen ein.
2. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden entnommenen Mäuse die gleiche Farbe haben.

Sie können die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Lösung einsenden.

Ein Schüler der Jahrgangsstufe Q2 schreibt eine Abschlussklausur in Physik. Bekannt ist, dass $70\%$ der Schülerinnen und Schüler, die mit der digitalen Plattform der Schule gelernt haben, bestanden haben, während nur $40\%$ derjenigen, die sie nicht genutzt haben, bestanden haben. Man schätzt, dass $60\%$ der Klasse diese Plattform genutzt haben.

Bestimmen Sie mithilfe eines Baumdiagramms:

1. a) die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Schülerin bzw. ein zufällig ausgewählter Schüler die Klausur bestanden hat.
2. b) Wir wissen, dass eine Schülerin bzw. ein Schüler durchgefallen ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie bzw. er die digitale Plattform nicht genutzt hat?

In einer Sprachschule sind die Teilnehmenden nach ihrem Kurs aufgeteilt: $50\%$ lernen Englisch, $30\%$ Französisch und $20\%$ Deutsch. Außerdem ist bekannt, dass der Frauenanteil in den einzelnen Kursen $60\%$, $55\%$ bzw. $45\%$ beträgt.

Es wird zufällig eine Teilnehmerin bzw. ein Teilnehmer ausgewählt. Erstellen Sie eine Vierfeldertafel (bzw. Kreuztabelle; gehen Sie von insgesamt 1000 Teilnehmenden aus) und berechnen Sie:

1. a) die Wahrscheinlichkeit, dass die Person männlich ist.
2. b) Die Person ist männlich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er Englisch lernt?

Wir haben zwei Urnen für eine Verlosung vorbereitet. Urne A enthält $3$ grüne und $2$ rote Kugeln. Urne B enthält $1$ grüne Kugel und $4$ rote Kugeln. Das Zufallsexperiment besteht darin, eine Münze zu werfen: Fällt Kopf, ziehen wir eine Kugel aus Urne A; fällt Zahl, ziehen wir sie aus Urne B.

1. a) Stellen Sie die Situation in einem Baumdiagramm dar.
2. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel rot ist.

Eine Handyreparaturwerkstatt erhält Geräte mit zwei Hauptarten von Defekten: kaputtes Display oder defekter Akku. Im vergangenen Monat hatten von den $200$ reparierten Handys $120$ ein kaputtes Display, $70$ Akkuprobleme und $30$ beide Defekte.

Ordnen Sie die Informationen in einer Vierfeldertafel und beantworten Sie:

1. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Handy nur ein kaputtes Display hat?

1. b) Das Handy hat einen defekten Akku. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es auch ein kaputtes Display hat?

In einem Unternehmen zur Herstellung elektronischer Bauteile werden zwei Maschinen, $M_1$ und $M_2$, zur Produktion von Chips eingesetzt. Die Maschine $M_1$ produziert $60\%$ der Chips und den Rest produziert $M_2$. $2\%$ der Chips von $M_1$ sind defekt, während der Anteil defekter Chips bei $M_2$ $5\%$ beträgt.

1. a) Erstellen Sie das zu diesem Produktionsprozess gehörende Baumdiagramm.
2. b) Ein Chip wird zufällig ausgewählt und ist defekt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von der Maschine $M_1$ hergestellt wurde?

Es wurde eine Umfrage unter $80$ Personen zu ihren Lesegewohnheiten in digitaler Form oder auf Papier durchgeführt. Die Ergebnisse zeigen, dass $32$ Personen ausschließlich auf Papier lesen, $28$ Personen in beiden Formaten lesen und der Rest ausschließlich digital liest.

1. a) Erstellen Sie eine Vierfeldertafel, die diese Daten zusammenfasst.
2. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person digital liest.
3. c) Wir wissen, dass die Person auf Papier liest. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie auch digital liest?

Paul und Clara bereiten für das Schuljahresende eine Wohltätigkeitstombola mit einer Urne vor, die genau $10$ äußerlich identische USB-Sticks enthält: $3$ sind von $64\text{ GB}$ und $7$ sind von $128\text{ GB}$. Das Spiel besteht darin, nacheinander zwei Sticks ohne Zurücklegen zu ziehen. Paul möchte die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass beide Sticks von $64\text{ GB}$ sind, und schreibt an die Tafel:

$$P(\text{beide } 64\text{ GB}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{100} = 0,09$$

Als Clara ihn darauf hinweist, dass das Ergebnis falsch ist, verteidigt sich Paul: „Der Anteil der Sticks von $64\text{ GB}$ in der Kiste beträgt $3$ von $10$; diese Wahrscheinlichkeit ist eine feste Eigenschaft der Sticks und kann sich nicht dadurch ändern, dass ich einen herausnehme.“

1. a) Erklären Sie begründet den begrifflichen Fehler von Paul. Welche Regel für Baumdiagramme hat er verletzt und was bedeutet es in diesem Kontext, dass an den Ästen der zweiten Stufe bedingte Wahrscheinlichkeiten stehen, die vom bereits Geschehenen abhängen?
2. b) Modellieren Sie das Zufallsexperiment, indem Sie die Äste beschreiben, die in einem korrekten Baumdiagramm von jedem Knoten ausgehen (mit ihren genauen Wahrscheinlichkeiten).
3. c) Berechnen Sie die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, dass beide Sticks von $64\text{ GB}$ sind, und die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden von $128\text{ GB}$ ist.

An einem Gymnasium in Münster sind $200$ Schülerinnen und Schüler in der Jahrgangsstufe Q2 angemeldet. Davon besuchen $120$ den naturwissenschaftlich-technischen Schwerpunkt, während die übrigen $80$ den geisteswissenschaftlich-gesellschaftswissenschaftlichen Schwerpunkt besuchen. Unter den Schülerinnen und Schülern des naturwissenschaftlichen Schwerpunkts haben $30$ Französisch als Wahlfach gewählt. Unter denen des geistes- und gesellschaftswissenschaftlichen Schwerpunkts lernen $40$ Französisch.

1. a) Es werden zwei Möglichkeiten vorgeschlagen, die Informationen zu organisieren: ein mehrstufiges Baumdiagramm oder eine Vierfeldertafel ($2 \times 2$). Begründen Sie, welche der beiden Darstellungen am direktesten, übersichtlichsten und geeignetsten ist, wenn die Daten gleichzeitige Merkmale einer festen Gesamtheit beschreiben und nicht aufeinanderfolgende zeitliche Stufen.
2. b) Erstellen Sie eine Vierfeldertafel, indem Sie alle inneren Felder (Schnittmengen) und die Randsummen der Zeilen und Spalten anhand der gegebenen Daten vervollständigen.
3. c) Berechnen Sie ausschließlich mithilfe der Summen und Felder der Tabelle die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Schülerin bzw. ein zufällig ausgewählter Schüler den Zweig Geisteswissenschaften und Sozialwissenschaften belegt, wenn bekannt ist, dass sie bzw. er nicht Französisch lernt.

Eine Streaming-Plattform bietet zwei Arten von Abonnements an: Standard und Premium. Bekannt ist, dass $60 \%$ der Nutzer das Standard-Abonnement haben, während die übrigen das Premium-Abonnement haben. Von den Nutzern mit Standard-Abonnement schauen $25 \%$ Inhalte in 4K-Auflösung, bei den Premium-Nutzern steigt dieser Anteil auf $80 \%$.

Stellen Sie die Situation in einem Baumdiagramm dar und berechnen Sie:

1. a) die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Nutzer Inhalte in 4K schaut.

1. b) Wir wissen, dass ein Nutzer einen Film in 4K schaut. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er ein Standard-Abonnement hat?

An einem Gymnasium in Berlin wurde eine Umfrage zur Nutzung sozialer Netzwerke in der Oberstufe durchgeführt. Die Daten wurden in der folgenden Vierfeldertafel zusammengestellt, wobei einige Werte verloren gegangen sind:

	Instagram ($I$)	TikTok ($T$)	Gesamt
Jahrgangsstufe Q1	$45$		$110$
Jahrgangsstufe Q2		$60$
Gesamt	$85$		$210$

1. a) Vervollständigen Sie die Vierfeldertafel in Ihrem Heft.
2. b) Wir wählen zufällig eine Schülerin bzw. einen Schüler aus und diese(r) ist aus der Q2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das bevorzugte Netzwerk Instagram ist?
3. c) Sind die Ereignisse „aus der Q1 sein“ und „TikTok bevorzugen“ stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort mathematisch.

Ein Technologieunternehmen stellt Bauteile für Drohnen in drei verschiedenen Fabriken her: $F_1$, $F_2$ und $F_3$. $40 \%$ der Gesamtproduktion stammen aus $F_1$, $35 \%$ aus $F_2$ und der Rest aus $F_3$. Die Qualitätskontrolle zeigt, dass der Anteil defekter Bauteile $3 \%$ in $F_1$, $2 \%$ in $F_2$ und $5 \%$ in $F_3$ beträgt.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus der Gesamtproduktion ausgewähltes Bauteil nicht defekt ist.
2. b) Ein Kunde kauft ein Bauteil und es erweist sich als defekt. In welcher Fabrik wurde es am wahrscheinlichsten hergestellt? Begründen Sie das Ergebnis mithilfe des Satzes von Bayes.

Ein Datenanalyst untersucht den Zusammenhang zwischen der Nutzung des öffentlichen Nahverkehrs und der Pünktlichkeit der Beschäftigten eines großen Büros. Nach der Beobachtung von $500$ Beschäftigten stellt er fest, dass $350$ den öffentlichen Nahverkehr nutzen und die übrigen mit einem Privatfahrzeug kommen. Von denen, die den öffentlichen Nahverkehr nutzen, kommen $10 \%$ zu spät, von denen, die mit dem Privatfahrzeug kommen, $20 \%$.

1. a) Ordnen Sie diese Informationen in einer Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten.
2. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Beschäftigter pünktlich ist?
3. c) Ein Beschäftigter ist zu spät gekommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mit dem öffentlichen Nahverkehr gekommen ist?

Bei einem E-Sports-Turnier führt das Organisationskomitee Leistungstests bei den Spielern durch. Man schätzt, dass $5 \%$ der Teilnehmenden irgendeine Art verbotener Software (Cheat) verwenden. Der zur Erkennung dieser Cheats verwendete Test hat eine Zuverlässigkeit von $98 \%$ (er erkennt die Software, wenn der Spieler cheatet), liefert aber $2 \%$ „falsch positive“ Ergebnisse (er zeigt einen Cheat an, obwohl der Spieler regelkonform spielt).

1. a) Ein Spieler wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test ein positives Ergebnis liefert (Cheat angezeigt)?
2. b) Der Test eines Spielers ist positiv ausgefallen. Wie groß ist die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, dass er cheatet? Deuten Sie das erhaltene Ergebnis.

In einem Ausbildungsgang absolvieren $10$ Auszubildende ein Praktikum in Unternehmen, davon sind $6$ in Technologieunternehmen und $4$ in Industrieunternehmen. Es werden nacheinander zwei Auszubildende zufällig und ohne Zurücklegen ausgewählt.

1. a) Zeichnen Sie das Baumdiagramm und tragen Sie die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen ein.
2. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausgewählten Auszubildenden in der gleichen Art von Unternehmen sind.
3. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine bzw. einer in einem Technologieunternehmen ist.

Sie können die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Lösung einsenden.

Untersucht wird das Leseverhalten zweier Personengruppen: Jugendliche (unter 25 Jahren) und Erwachsene. Bekannt ist, dass $70 \%$ der Befragten Erwachsene sind. $40 \%$ der Jugendlichen lesen mindestens ein Buch pro Monat, während es bei den Erwachsenen $60 \%$ sind.

1. a) Erstellen Sie die Vierfeldertafel der zugehörigen Wahrscheinlichkeiten (relative Häufigkeiten).
2. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person mindestens ein Buch pro Monat liest.
3. c) Eine Person gibt an, kein einziges Buch pro Monat zu lesen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie jugendlich ist?

Eine GPS-Navigations-App schätzt die Ankunftszeit am Ziel anhand des Verkehrs. Bei flüssigem Verkehr (Wahrscheinlichkeit $0,7$) trifft die App die geschätzte Zeit in $90 \%$ der Fälle. Bei dichtem Verkehr trifft sie nur in $40 \%$ der Fälle zu.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die App mit ihrer Zeitschätzung nicht richtig liegt.
2. b) Heute hat die App sich verschätzt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Verkehr flüssig war?

Auf der spanischen Hochgeschwindigkeitsstrecke Madrid–Barcelona konkurrieren drei Anbieter im Personenverkehr: die spanische Staatsbahn Renfe, die $50\,\%$ der täglichen Fahrten bedient; Iryo, die $30\,\%$ betreibt; und Ouigo, die die restlichen $20\,\%$ abdeckt. Laut Pünktlichkeitsdaten beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zug eine Verspätung von mehr als $15$ Minuten hat, $3\,\%$ bei Renfe, $5\,\%$ bei Iryo und $10\,\%$ bei Ouigo.

1. a) Modellieren Sie die Wahl und die Fahrt einer zufällig ausgewählten Reisenden bzw. eines zufällig ausgewählten Reisenden mit einem Baumdiagramm, in dem alle Elementarereignisse, ihre Wahrscheinlichkeiten und die bedingten Wahrscheinlichkeiten für Verspätung angegeben sind.
2. b) Ein zufällig ausgewählter Zug erreicht sein Ziel ohne Verspätung (also pünktlich oder mit weniger als $15$ Minuten Verspätung). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Verbindung von Ouigo betrieben wurde?
3. c) Eine Verbraucherorganisation argumentiert in sozialen Netzwerken: „Da Ouigo mit Abstand die höchste Verspätungsquote hat ($10\,\%$), gehört ein Zug, der mit Verspätung am Bahnhof Barcelona-Sants ankommt, höchstwahrscheinlich zu Ouigo.“ Zeigen Sie formal, indem Sie die A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten jedes Unternehmens für einen verspäteten Zug berechnen, ob diese Aussage wahr oder falsch ist, und begründen Sie, welches Gewicht der Marktanteil für die Schlussfolgerung hat.

Ein IT-Sicherheitssystem einer kritischen Infrastruktur in Deutschland besteht aus drei nacheinander geschalteten Filterbarrieren zur Erkennung von Angriffsversuchen (Brute-Force-Angriffe).

1. Barriere A erkennt $95 \%$ der Angriffe, lässt aber den Rest durch.

2. Barriere B erhält, was Barriere A nicht erkannt hat. Diese Barriere hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von $80 \%$.

3. Barriere C ist die letzte Instanz und erkennt $60 \%$ der verbleibenden Angriffe.

Das System ist jedoch nicht perfekt und erzeugt manchmal Fehlalarme (legitimer Datenverkehr wird als Angriff erkannt). Bekannt ist, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Datenpaket ein echter Angriff ist, $0,001$ beträgt. Die Fehlalarmwahrscheinlichkeiten betragen $1 \%$ bei Barriere A, $2 \%$ bei Barriere B und $5 \%$ bei Barriere C.

Berechnen Sie mithilfe eines Baumdiagramms:

1. a) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Datenpaket vom System blockiert wird (d. h. von einer der drei Barrieren erkannt wird).

1. b) Das System hat soeben ein Datenpaket blockiert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich tatsächlich um einen Cyberangriff und nicht um einen Fehlalarm handelt?

In einer renommierten E-Sports-Akademie werden die Spieler nach ihrer Leistung in zwei Kategorien eingeteilt: Elite ($E$) und Talent ($P$). Es wurde eine Studie zur Nutzung mechanischer Tastaturen ($M$) und Membrantastaturen ($\bar{M}$) durchgeführt.

Bekannt ist, dass $30 \%$ der Spieler zur Kategorie Elite gehören. Außerdem ist bei den Talenten die Wahrscheinlichkeit, eine Membrantastatur zu nutzen, doppelt so groß wie die, eine mechanische Tastatur zu nutzen. Schließlich ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Spieler zur Elite gehört und eine mechanische Tastatur nutzt, $0,24$ beträgt.

1. a) Erstellen Sie die vollständige Vierfeldertafel mit den Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse.

1. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler eine mechanische Tastatur nutzt.

1. c) Es wird ein Spieler ausgewählt, der eine mechanische Tastatur nutzt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zur Kategorie Talent gehört?

1. d) Sind die Ereignisse „Elitespieler sein“ und „mechanische Tastatur nutzen“ stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort mathematisch.

Sie können dies auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Antwort einsenden.

Ein Pharmalabor untersucht die Wirksamkeit eines neuen Tests zum Nachweis einer Variante eines Atemwegsvirus. Bekannt ist, dass in der aktuellen Bevölkerung die Prävalenz der Krankheit $5 \%$ beträgt.

Der Test hat eine Besonderheit: Wird er bei einer kranken Person angewendet, fällt er in $98 \%$ der Fälle positiv aus. Wird er bei einer gesunden Person angewendet, fällt er in $96 \%$ der Fälle negativ aus. Wegen des Verdachts auf einen Fehler bei einer Massentestung wird beschlossen, dass sich alle Personen mit positivem ersten Test einem zweiten, identischen und vom ersten unabhängigen Test unterziehen.

1. a) Stellen Sie die Situation für eine zufällig ausgewählte Person der Bevölkerung, die sich gegebenenfalls dem gesamten Verfahren unterzieht, in einem Baumdiagramm dar.

1. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus der Bevölkerung im zweiten Test positiv ausfällt (gegeben, dass sie im ersten bereits positiv war)?

1. c) Eine Person war in beiden Tests positiv. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie tatsächlich krank ist? Kommentieren Sie das Ergebnis im Vergleich zur Wahrscheinlichkeit nach nur einem positiven Test.

In einem Technikraum enthalten zwei Urnen Teile aus verschiedenen Materialien für ein Projekt.

• Urne A enthält 6 Teile aus Biokunststoff (PLA) und 4 Teile aus Harz.

• Urne B enthält 3 Teile aus PLA und 7 Teile aus Harz.

Das Zufallsexperiment besteht aus Folgendem: Aus Urne A wird zufällig ein Teil entnommen und, ohne sein Material zu sehen, in Urne B gelegt. Anschließend werden aus Urne B gleichzeitig zwei Teile entnommen.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide aus Urne B entnommenen Teile aus Harz sind.

1. b) Es ist bekannt, dass beide aus Urne B entnommenen Teile aus Harz waren. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das aus Urne A übertragene Teil aus PLA war?

Ein Empfehlungsalgorithmus einer Musik-Streaming-Plattform verwendet drei verschiedene Modelle ($M_1, M_2, M_3$), um Nutzern Lieder vorzuschlagen. In $40 \%$ der Fälle verwendet er $M_1$, in $35 \%$ verwendet er $M_2$ und in den übrigen Fällen $M_3$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Nutzer einem von $M_1$ vorgeschlagenen Lied ein „Like“ gibt, beträgt $0,3$. Wird das Lied von $M_2$ vorgeschlagen, beträgt sie $0,45$. Bekannt ist, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass ein Nutzer einem zufällig gewählten Lied ein „Like“ gibt, $0,4325$ beträgt.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Nutzer einem vom dritten Modell $M_3$ vorgeschlagenen Lied ein „Like“ gibt.

1. b) Ein Nutzer hat einem Lied ein „Dislike“ gegeben (Gegenereignis zu „Like“). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es vom Modell $M_1$ vorgeschlagen wurde?

1. c) Es werden drei vorgeschlagene Lieder unabhängig voneinander ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines davon ein „Like“ erhält?

Bei einer Umfrage unter Schülerinnen und Schülern der Jahrgangsstufe Q2 zu ihren Plänen nach der Schule wurden die folgenden Daten erhoben, die in dieser Vierfeldertafel nur teilweise dargestellt sind. Die Merkmale sind das Geschlecht ($H$ für männlich, $M$ für weiblich) und der Interessenbereich ($I$ für Ingenieurwesen, $S$ für Gesundheit, $O$ für Sonstiges).

Es ist bekannt, dass die Ereignisse „weiblich“ und „Interesse an Ingenieurwesen“ stochastisch unabhängig sind und dass in der Stichprobe von 200 Personen gleich viele Männer wie Frauen sind:

	Ingenieurwesen ($I$)	Gesundheit ($S$)	Sonstiges ($O$)	Gesamt
Männlich ($H$)	40
Weiblich ($M$)		45
Gesamt		75		200

1. a) Vervollständigen Sie die Vierfeldertafel mit Begründung.

1. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Interesse an Gesundheit hat oder männlich ist.

1. c) Wir wählen eine Person aus, die kein Interesse an Ingenieurwesen hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie weiblich ist?

Ein autonomer Erkundungsroboter auf dem Mars hat zwei Sensoren, um Eisvorkommen unter der Oberfläche zu erkennen. Der Hauptsensor erkennt Eis mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,9$, wenn es vorhanden ist, liefert aber auch in $5 \%$ der Fälle einen falsch positiven Befund (zeigt Eis an, obwohl keines vorhanden ist).

Bekannt ist, dass der Roboter ein Gebiet erkundet, in dem die A-priori-Wahrscheinlichkeit, Eis zu finden, $15 \%$ beträgt.

Der Roboter ist so programmiert, dass er nur dann ein Bestätigungssignal sendet, wenn der Hauptsensor Eis erkennt. Um Energie zu sparen, wird jedoch, wenn der Hauptsensor Eis erkennt, automatisch ein Ersatzsensor aktiviert, dessen Trefferwahrscheinlichkeit $95 \%$ beträgt (sowohl für die Bestätigung des Vorhandenseins als auch für die des Nichtvorhandenseins).

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Roboter ein Signal sendet, das anzeigt, dass der Hauptsensor Eis erkannt hat.

1. b) Der Hauptsensor hat Eis erkannt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Ersatzsensor kein Eis erkennt?

1. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass tatsächlich Eis vorhanden ist, wenn beide Sensoren positiv angezeigt haben?

Zwei Freunde, Lea und Karl, spielen ein rundenbasiertes Strategiespiel. Lea ist erfahrener und gewinnt $60 \%$ der einzelnen Partien (das ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie die erste Partie gewinnt). Sie beschließen, ein Turnier nach dem Modell „Best of Three“ zu spielen (wer zuerst zwei Partien gewinnt, gewinnt das Turnier).

Wegen Ermüdung und Lerneffekten während des Spiels sind die Wahrscheinlichkeiten nicht konstant:

• Gewinnt Lea eine Partie, steigt die Wahrscheinlichkeit, dass sie die nächste gewinnt, auf $0,7$.

• Verliert Lea eine Partie, sinkt die Wahrscheinlichkeit, dass sie die nächste gewinnt, auf $0,5$.

1. a) Zeichnen Sie das Baumdiagramm, das den Turnierverlauf darstellt. Geben Sie an jedem Ast seine Wahrscheinlichkeit und am Ende jedes Pfades an, wer das Turnier gewinnt.

1. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Karl das Turnier gewinnt.

1. c) Das Turnier hat genau drei Partien gedauert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lea es gewonnen hat?

Sie können die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Lösung einsenden.

In einem Strafprozess vor dem Landgericht wird eine am Tatort gefundene biologische Probe untersucht. Das Sachverständigengutachten stellt fest, dass das gefundene genetische Profil mit dem des Angeklagten übereinstimmt. Das forensische Labor bescheinigt, dass der Test eine Sensitivität von $100\,\%$ hat (ist eine Person schuldig, stimmt der Test immer überein) und dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine unschuldige Person dieses Profil rein zufällig aufweist, $1$ zu $10.000$ beträgt ($P(\text{Übereinstimmung} \mid \text{Unschuldig}) = 0,0001$).

In seinem Plädoyer führt der Staatsanwalt aus: „Hohes Gericht, die Wahrscheinlichkeit, dass eine unschuldige Person dieses genetische Profil hat, beträgt nur $0,01\,\%$. Folglich beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Angeklagte unschuldig ist, nur $0,01\,\%$, was seine Schuld jenseits jedes vernünftigen Zweifels mit einer Wahrscheinlichkeit von $99,99\,\%$ beweist.“

Um diese Behauptung zu überprüfen, legt das Gericht eine Referenzpopulation von $100.000$ Personen fest, unter denen sich mit Sicherheit der einzige Täter befindet.

1. a) Benennen Sie mathematisch präzise den Denkfehler des Staatsanwalts (bekannt als „Trugschluss des Staatsanwalts“). Geben Sie unter Verwendung der formalen Notation für Ereignisse und bedingte Wahrscheinlichkeit an, welche Wahrscheinlichkeit das forensische Gutachten tatsächlich liefert und welche Wahrscheinlichkeit der Staatsanwalt bewiesen zu haben behauptet.
2. b) Modellieren Sie die Situation der $100.000$ Verdächtigen mit einer Vierfeldertafel $2 \times 2$ (schuldig / unschuldig gegenüber DNA-Übereinstimmung / keine Übereinstimmung) und bestimmen Sie die erwartete Anzahl an Personen in jedem der vier inneren Felder.
3. c) Berechnen Sie anhand der Werte der Vierfeldertafel die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, dass der Angeklagte schuldig ist, wenn seine DNA mit der Probe übereinstimmt, also $P(\text{Schuldig} \mid \text{Übereinstimmung})$.
4. d) Deuten Sie den gravierenden Unterschied zwischen dem vom Staatsanwalt angeführten Prozentsatz und dem in der vorherigen Teilaufgabe erhaltenen Wert. Erklären Sie, in welchem Zusammenhang dieses Phänomen mit der Größe der Gruppe der Verdächtigen steht und warum eine technisch sehr zuverlässige Übereinstimmung nicht automatisch Schuld bedeutet.