Aufgaben: Kombinatorik

Ein Schüler der Jahrgangsstufe 13 möchte für sein Fitnessstudio-Schließfach einen Zugangscode aus $4$ verschiedenen Ziffern festlegen. Er beschließt, nur die ungeraden Ziffern $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ zu verwenden, und darf keine Ziffer wiederholen.

1. a) Wie viele verschiedene Codes kann er erstellen?

1. b) Der Schüler vergisst den Code, erinnert sich aber, dass die erste Ziffer eine $7$ war. Wie viele verschiedene Codes müsste er höchstens ausprobieren?

Bei einem Robotik-Wettbewerb muss ein Team aus einer Gruppe von $8$ Schülern $3$ Vertreter auswählen, die das Projekt vor der Jury erläutern.

1. a) Auf wie viele verschiedene Arten kann die Gruppe der Vertreter ausgewählt werden, wenn die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt?

1. b) Unter den $8$ Schülern sind $2$ Programmierspezialisten, und es wird festgelegt, dass mindestens einer von ihnen in der Gruppe sein muss. Wie viele verschiedene Auswahlen sind möglich?

Seien $A$ und $B$ zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments mit $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ und $P(A \cap B) = 0,2$. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

1. a) $P(A \cup B)$

1. b) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ (Wahrscheinlichkeit, dass weder $A$ noch $B$ eintritt).

1. c) $P(A - B)$ (Wahrscheinlichkeit, dass $A$ eintritt, aber $B$ nicht).

Das Venn-Diagramm zeigt die Ereignisse $A$ und $B$ innerhalb der Ergebnismenge $E$ mit der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge.

In einer Untersuchung zur Nutzung mobiler Geräte in einer Klasse mit $30$ Schülern wurde die folgende Vierfeldertafel erstellt, die die Schüler nach ihrem bevorzugten Betriebssystem und danach einteilt, ob sie regelmäßig online einkaufen:

Es wird zufällig ein Schüler ausgewählt. Berechnen Sie:

1. a) die Wahrscheinlichkeit, dass er iOS verwendet.

1. b) die Wahrscheinlichkeit, dass er online einkauft, wenn bekannt ist, dass er Android verwendet.

1. c) Sind die Ereignisse „Android verwenden“ und „Online einkaufen“ stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Ein Spieleserver hat zwei Verbindungsknoten: Knoten 1, der $70\%$ der Nutzer bedient, und Knoten 2, der den Rest bedient. Es ist bekannt, dass bei $5\%$ der Verbindungen an Knoten 1 Lags auftreten, während dieses Problem an Knoten 2 bei $10\%$ der Verbindungen auftritt.

1. a) Stellen Sie die Situation in einem Baumdiagramm dar.

1. b) Wenn ein Spieler zufällig den Server betritt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Verbindung Lags hat?

In einer Fabrik für elektronische Bauteile beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mikrochip defekt ist, $0,02$. Die Mikrochips werden in Kisten zu je $10$ Stück verpackt, und das Auftreten von Defekten ist bei den einzelnen Chips voneinander unabhängig:

1. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einer Kiste kein defekter Mikrochip befindet?

1. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in der Kiste genau ein defekter Mikrochip befindet? (Geben Sie das Ergebnis mit Binomialkoeffizienten an.)

Drei Telefonanbieter $M_1$, $M_2$ und $M_3$ bearbeiten jeweils $40\%$, $35\%$ und $25\%$ der Anrufe eines Kundenservice-Centers. Der Anteil der Anrufe, die unerwartet abbrechen, beträgt beim jeweiligen Anbieter $2\%$, $3\%$ bzw. $4\%$.

Es wird zufällig ein Anruf ausgewählt, und er ist abgebrochen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er vom Anbieter $M_1$ bearbeitet wurde.

Verwenden Sie die Eigenschaften der Binomialkoeffizienten und den binomischen Lehrsatz, um Folgendes zu lösen:

1. a) Entwickeln Sie den Term $(x + 2)^4$ vollständig.

1. b) Berechnen Sie, ohne das gesamte Binom auszumultiplizieren, den Koeffizienten des Terms, der $x^3$ enthält, in der Entwicklung von $(x + 3)^5$.

Die Abbildung zeigt die Zeilen des Pascal'schen Dreiecks bis $n = 5$. Seine Zahlen sind die Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$: Beachten Sie, dass der Koeffizient eines Terms des Binoms außer dieser Zahl auch die Potenzen des zweiten Summanden enthält.

Um die Schülerdelegation zu wählen, die ein Gymnasium im kommunalen Schulbeirat vertritt, müssen $3$ Schüler aus einer Gruppe von $24$ Freiwilligen der Jahrgangsstufe 13 ausgewählt werden. Markus argumentiert in seiner Klausur so: „Für den ersten Platz habe ich 24 Möglichkeiten, für den zweiten 23 und für den dritten 22, also ist die Gesamtzahl möglicher Delegationen $V_{24,3} = 24 \cdot 23 \cdot 22 = 12\,144$.“\n\na) Benennen Sie anhand der beiden Kernfragen der Kombinatorik den begrifflichen Fehler von Markus: Spielt die Reihenfolge hier eine Rolle? Dürfen Elemente wiederholt werden?\nb) Korrigieren Sie die Rechnung und bestimmen Sie die tatsächliche Anzahl möglicher Delegationen. Begründen Sie, durch welche Operation die Formel von Markus ersetzt werden muss.\nc) Wenn die drei Plätze unterschiedliche Ämter wären (ein Sprecher, ein Schriftführer und ein Beisitzer), wäre dann die ursprüngliche Rechnung von Markus richtig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Ein städtischer Verleih von Elektrofahrrädern in einer deutschen Stadt erneuert seine intelligenten Schlösser. Jeder Nutzer muss einen PIN-Code aus $4$ Ziffern mit zwei Bedingungen festlegen: Die erste Ziffer darf nicht $0$ sein, und es dürfen nicht zwei aufeinanderfolgende Ziffern gleich sein (zum Beispiel ist der Code $4727$ gültig, der Code $4772$ aber nicht).\n\na) Schätzen Sie, bevor Sie rechnen, intuitiv ab, ob die Anzahl der gültigen Codes näher an $5\,000$, an $6\,500$ oder an $9\,000$ liegen wird. Begründen Sie kurz, worauf Ihre Schätzung beruht.\nb) Wenden Sie das Zählprinzip an, um exakt zu berechnen, wie viele verschiedene Codes beide Bedingungen erfüllen.\nc) Überprüfen Sie, ob das exakte Ergebnis Ihre anfängliche Schätzung stützt, und berechnen Sie, welchen Prozentsatz es an der Gesamtzahl der vierstelligen Kombinationen ausmacht, die nicht mit null beginnen (von $1\,000$ bis $9\,999$).

Eine Streaming-Plattform entwirft eine neue personalisierte Benutzeroberfläche. Für das Nutzerprofil kann ein Avatar aus folgenden Elementen zusammengestellt werden: 4 verschiedene Gesichtsformen, 5 Frisuren und 3 Brillenstile. Außerdem muss der Benutzername eine Zeichenkette aus 5 Zeichen sein, bestehend aus 3 Kleinbuchstaben (aus einem Alphabet mit 26 Buchstaben), gefolgt von 2 Ziffern.

1. a) Wie viele verschiedene Avatare können erstellt werden?
2. b) Wie viele verschiedene Benutzernamen können erzeugt werden, wenn weder Buchstaben noch Ziffern wiederholt werden dürfen?
3. c) Ein Nutzer wählt Avatar und Namen zufällig (unter den Bedingungen von Teilaufgabe b). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sein Name mit dem Buchstaben „z“ beginnt und mit der Ziffer „9“ endet?

Bei einem Robotik-Wettbewerb müssen die Teams zwei voneinander unabhängige Prüfungen bestehen. Bekannt ist, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Roboter die Geschwindigkeitsprüfung besteht, $P(V) = 0,75$ beträgt und die Wahrscheinlichkeit, dass er die Präzisionsprüfung besteht, $P(P) = 0,60$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Team:

1. a) mindestens eine der beiden Prüfungen besteht.
2. b) die Geschwindigkeitsprüfung besteht, die Präzisionsprüfung aber nicht.
3. c) Es hat mindestens eine Prüfung bestanden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es beide bestanden hat?

Ein Cybersecurity-System verwendet zwei Filter, um Phishing-E-Mails zu erkennen. Filter A erkennt $92\%$ dieser E-Mails, Filter B erkennt $88\%$. Aufgrund der Systemstruktur wird eine E-Mail nur dann von Filter B geprüft, wenn sie von Filter A nicht erkannt wurde. Wird eine E-Mail von keinem der beiden erkannt, gelangt sie in den Posteingang des Nutzers. Man schätzt, dass $3\%$ der im Unternehmen eingehenden E-Mails Phishing-Versuche sind.

1. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Phishing-E-Mail im Posteingang landet?
2. b) Eine E-Mail ist im Posteingang gelandet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich tatsächlich um eine Phishing-E-Mail handelt?

Ein Unternehmen, das elektronische Bauteile im 3D-Druck herstellt, hat beobachtet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil einen Oberflächenfehler aufweist, $5\%$ beträgt. Es wird eine Charge von 12 Teilen gedruckt:

1. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Teile fehlerhaft sind?
2. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als ein Teil fehlerhaft ist?
3. c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Anzahl fehlerhafter Teile in der Charge.

Die Reichweite einer neuen Flotte von E-Scootern für den Stadtverkehr folgt einer Normalverteilung mit Mittelwert $35$ km und Standardabweichung $4$ km.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter E-Scooter eine Reichweite von mehr als $40$ km hat.
2. b) Wie viel Prozent der E-Scooter haben eine Reichweite zwischen $30$ und $38$ km?
3. c) Das Unternehmen möchte garantieren, dass $90\%$ seiner E-Scooter eine bestimmte Mindestreichweite $d$ überschreiten. Welchen Wert muss $d$ haben?

Unter 250 Studierenden eines Technologiezentrums wurde eine Umfrage zur Nutzung von Betriebssystemen durchgeführt. Die Ergebnisse zeigt die folgende Vierfeldertafel:

Es wird zufällig ein Studierender ausgewählt. Berechnen Sie:

1. a) die Wahrscheinlichkeit, dass er der Höheren Stufe angehört und hauptsächlich Linux verwendet.
2. b) Wir wissen, dass der Studierende hauptsächlich Windows verwendet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er der Mittleren Stufe angehört?
3. c) Sind die Ereignisse „der Höheren Stufe angehören“ und „hauptsächlich Linux verwenden“ stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Es ist bekannt, dass $15\%$ der Nutzer, die eine Website für den Verkauf von Computerkomponenten besuchen, am Ende einen Kauf tätigen. Die Website erhält an einem bestimmten Tag 400 voneinander unabhängige Besuche:

1. a) Geben Sie an, welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung die Zufallsgröße „Anzahl der getätigten Käufe“ folgt, und begründen Sie, ob sie durch eine Normalverteilung approximiert werden kann.
2. b) Berechnen Sie mit der geeigneten Näherung die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 50 und 70 Käufe (jeweils einschließlich) getätigt werden.

Ein Labor verfügt über 8 Präzisions-Temperatursensoren und 6 Feuchtigkeitssensoren. Für ein Experiment zur Umweltkontrolle werden zufällig 4 Sensoren ausgewählt.

1. a) Auf wie viele verschiedene Arten können die 4 Sensoren ausgewählt werden, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt?
2. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Temperatursensoren und 2 Feuchtigkeitssensoren ausgewählt werden?
3. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle ausgewählten Sensoren vom gleichen Typ sind?

Der Schachverband eines Bundeslandes veranstaltet eine Vorrunde im Turniermodus „Jeder gegen jeden“, bei der alle gemeldeten Teilnehmer gegen jeden anderen Gegner genau eine Partie spielen müssen. Der gemietete Saal und der verfügbare Terminplan erlauben insgesamt höchstens $100$ Partien.\n\na) Stellen Sie eine Ungleichung in Abhängigkeit von der Spielerzahl $n$ auf, die die Gesamtzahl der Partien des Turniers modelliert. Begründen Sie, welche kombinatorische Struktur diese Anzahl der Partien darstellt.\nb) Lösen Sie die Ungleichung, um die maximale Zahl an Teilnehmern zu bestimmen, die sich anmelden können, ohne die Partiengrenze zu überschreiten, und berechnen Sie, wie viele Partien bei dieser Höchstzahl genau gespielt würden.\nc) Wenn sich schließlich $8$ Teilnehmer anmelden und die Organisation den drei Erstplatzierten (ohne Gleichstand) einen Pokal in Gold, einen in Silber und einen in Bronze überreichen will, wie viele mögliche Zuordnungen für das Podium gibt es?

Zur Korrektur der Abiturklausuren in Mathematik an einem Hochschulstandort muss eine Prüfungskommission aus $6$ Korrektoren gebildet werden. Zur Verfügung stehen $10$ Lehrkräfte: $6$ kommen von staatlichen Gymnasien und $4$ von Privatschulen. Die Vorschrift des Organisationsausschusses verlangt, dass die Kommission mindestens $2$ Lehrkräfte staatlicher Schulen und mindestens $2$ Lehrkräfte von Privatschulen umfasst.\n\na) Modellieren Sie die Situation, indem Sie alle zulässigen Zusammensetzungen der Kommission nach der Anzahl der Lehrkräfte jeder Herkunft bestimmen.\nb) Berechnen Sie, wie viele verschiedene Kommissionen unter Einhaltung der Vorschrift gebildet werden können.\nc) Wenn die Kommission aus $6$ Personen vollkommen zufällig aus den $10$ Lehrkräften ausgewählt würde (ohne Vorgabe von Quoten), wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit, dass die Kommission die Vorschrift erfüllt? Deuten Sie, ob die Einschränkung viele oder wenige der möglichen Kombinationen ausschließt.

Ein Cybersecurity-Team untersucht die Schwachstellen eines Zugangssystems, das Passwörter mit $8$ Zeichen verwendet. Erlaubt sind die $26$ Buchstaben des Alphabets (ohne Unterscheidung von Groß- und Kleinschreibung) und die Ziffern von $0$ bis $9$. Ein Passwort gilt als „robust“, wenn es die folgenden Bedingungen erfüllt:

1. Es enthält genau $2$ verschiedene Ziffern und $6$ Buchstaben.

2. Die Buchstaben dürfen sich nicht wiederholen.

3. Die beiden Ziffern müssen an aufeinanderfolgenden Positionen stehen.

Berechnen Sie:

1. a) Die Gesamtzahl der robusten Passwörter, die erzeugt werden können.
2. b) Eine Brute-Force-Software erzeugt ein zufälliges Passwort, das nur der Struktur aus $8$ Zeichen (Buchstaben oder Ziffern) folgt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie ein bestimmtes robustes Passwort im ersten Versuch errät?

Bei der Entwicklung eines neuen Binoms muss ein Ingenieurstudent bestimmte Koeffizienten ermitteln. Betrachtet wird die Entwicklung des Binoms $Q(x) = \left( \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{k}{x} \right)^{12}$, wobei $k$ eine positive reelle Zahl ist.

1. a) Bestimmen Sie den Wert von $k$, wenn bekannt ist, dass das von $x$ unabhängige Glied in der Entwicklung von $Q(x)$ gleich $7920$ ist.
2. b) Berechnen Sie mit dem gefundenen $k$ den Koeffizienten des Terms, der $x^9$ enthält.

Eine Streaming-Plattform nutzt einen Empfehlungsalgorithmus, um vorherzusagen, ob einem Nutzer eine neue Serie gefallen wird. Der Algorithmus irrt sich manchmal: $10\%$ der Serien, die ein Nutzer lieben würde, werden nicht empfohlen ($FN$: falsch negativ), und $20\%$ der Serien, die einem Nutzer missfallen würden, werden fälschlicherweise empfohlen ($FP$: falsch positiv).

Wenn $60\%$ aller Serien des Katalogs dem Geschmack eines bestimmten Nutzers entsprechen, berechnen Sie:

1. a) Die Wahrscheinlichkeit, dass der Algorithmus eine zufällig gewählte Serie empfiehlt.
2. b) Der Algorithmus hat diesem Nutzer gerade eine Serie empfohlen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie ihm tatsächlich gefällt?

Ein Paketdienst setzt in einer Stadt Drohnen zur Paketzustellung ein. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Drohne bei einem Zustellflug einen technischen Defekt erleidet, beträgt $0,02$. Das Unternehmen führt täglich $250$ voneinander unabhängige Zustellungen durch.

1. a) Begründen Sie, ob die Zufallsgröße „Anzahl der Defekte pro Tag“ durch eine Normalverteilung angenähert werden kann. Geben Sie in diesem Fall deren Parameter an.
2. b) Berechnen Sie mit der geeigneten Näherung die Wahrscheinlichkeit, dass an einem bestimmten Tag genau $5$ Defekte auftreten.
3. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen $3$ und $8$ Defekte auftreten (beide eingeschlossen).

In einem Genetiklabor wird die Resistenz einer Pflanze gegen einen Schädling untersucht. Bekannt ist, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Pflanze resistent ist, $p$ beträgt. Es werden $8$ Pflanzen zufällig ausgewählt, und man stellt fest, dass die Wahrscheinlichkeit, dass genau $2$ resistent sind, genauso groß ist wie die Wahrscheinlichkeit, dass genau $3$ resistent sind.

1. a) Berechnen Sie den Wert der Wahrscheinlichkeit $p$.
2. b) Berechnen Sie mit dem gefundenen Wert von $p$ die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Pflanze resistent ist.
3. c) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Anzahl resistenter Pflanzen in einer Stichprobe von $100$ Pflanzen.

Das Gewicht der in einer Fabrik produzierten Kaffeepackungen folgt einer Normalverteilung $N(\mu, \sigma)$. Man hat beobachtet, dass $15,87\%$ der Packungen mehr als $510$ Gramm wiegen und $2,28\%$ der Packungen weniger als $480$ Gramm.

1. a) Berechnen Sie den Mittelwert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ der Verteilung. (Beachten Sie, dass für eine $Z \sim N(0,1)$ gilt: $P(Z < 1) \approx 0,8413$ und $P(Z < 2) \approx 0,9772$.)
2. b) Das auf dem Etikett angegebene Nettogewicht beträgt $500$ Gramm. Wie viel Prozent der Packungen liegen unter dem gesetzlichen Gewicht?

Eine Auswahlprüfung umfasst $80$ Themen. Der Prüfling lernt $55$ zufällig gewählte Themen. Die Prüfungskommission zieht per Los $3$ Themen, und der Prüfling muss eines davon zur Bearbeitung auswählen.

1. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Prüfling keines der drei gezogenen Themen beherrscht?
2. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau zwei der Themen beherrscht?
3. c) Der Prüfling hat die Prüfung bestanden (das heißt, er beherrschte mindestens eines der Themen). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er alle drei gezogenen Themen beherrschte?

Eine Fabrik für elektronische Bauteile hat drei Produktionslinien: $L_1$, $L_2$ und $L_3$. Linie $L_1$ produziert doppelt so viel wie $L_2$, und $L_3$ produziert so viel wie $L_1$ und $L_2$ zusammen. Der Anteil fehlerhafter Bauteile beträgt $1\%$ bei $L_1$, $3\%$ bei $L_2$ und $2\%$ bei $L_3$.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus der Gesamtproduktion gewähltes Bauteil fehlerhaft ist.
2. b) Wir wählen ein Bauteil aus, und es ist fehlerhaft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es von Linie $L_3$ stammt?
3. c) Es werden $10$ Bauteile der Linie $L_1$ unabhängig voneinander geprüft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines davon fehlerhaft ist?

Bei der Abiturfeier werden $8$ Ehrungen vergeben. Auf der Bühne stehen $8$ nebeneinander aufgestellte, von $1$ bis $8$ nummerierte Stühle. Unter den $8$ ausgezeichneten Schülern sind Clara und Sergio, die sich kürzlich zerstritten haben; die Organisation möchte sie so setzen, dass sie nicht auf benachbarten Stühlen sitzen. Zwei Mitglieder des Organisationskomitees diskutieren, wie man die Anzahl der zulässigen Sitzordnungen berechnet:\n- Methode A (Lückenmethode bzw. direktes Vorgehen): Zuerst werden die übrigen $6$ Schüler der Reihe nach gesetzt, dann werden zwei der $7$ möglichen Lücken (am Rand oder zwischen den Mitschülern) für Clara und Sergio ausgewählt.\n- Methode B (Gegenereignis-Methode): Man berechnet die Gesamtzahl der Möglichkeiten, die $8$ Schüler ohne jede Einschränkung zu setzen, und zieht die ungünstigen Fälle ab, in denen Clara und Sergio zusammen als ein einziger Block sitzen.\n\na) Entwickeln Sie den kombinatorischen Ansatz und das Zahlenergebnis ausführlich mit Methode A.\nb) Entwickeln Sie den kombinatorischen Ansatz und das Zahlenergebnis ausführlich mit Methode B.\nc) Überprüfen Sie, dass beide Wege zur selben Lösung führen, und begründen Sie nachvollziehbar, welche der beiden Methoden eindeutig vorzuziehen und weniger fehleranfällig wäre, wenn die Bedingung verlangte, dass drei bestimmte Schüler (Clara, Sergio und Paul) paarweise nicht nebeneinander sitzen dürfen.

Das gewöhnliche Kfz-Zulassungssystem in Spanien weist jedem Fahrzeug ein Kennzeichen zu, das aus einem Block von $4$ Ziffern (von $0000$ bis $9999$) und einem anschließenden Block von $3$ Konsonanten besteht, die aus $20$ möglichen Buchstaben gewählt werden (die Vokale A, E, I, O, U sowie die Buchstaben Ñ und Q werden ausgeschlossen, um Verwechslungen und anstößige Kombinationen zu vermeiden).\n\na) Berechnen Sie die Gesamtzahl der theoretisch möglichen Kennzeichen, die dieses System ausgeben kann, und geben Sie das Ergebnis mithilfe von Zehnerpotenzen an.\nb) Ein Kombinatorik-Fan sucht „symmetrische Kennzeichen“: solche, deren Zifferblock aus $4$ Ziffern ein Zahlenpalindrom ist (zum Beispiel $4884$ oder $0330$) und deren Block aus $3$ Buchstaben ein Palindrom ist (der erste und der dritte Buchstabe stimmen überein, wie in $TRT$). Bestimmen Sie, wie viele symmetrische Kennzeichen es gibt, und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig zugelassenes Fahrzeug diese Eigenschaft besitzt.\nc) Die Verkehrsbehörde untersucht einen Algorithmus zur Kennzeichenerkennung und stellt Fehler bei den Kennzeichen fest, die sie „gemischt heterogen“ nennt: solche, deren $4$ Ziffern paarweise verschieden sind und die gleichzeitig im Buchstabenblock genau zwei gleiche und einen davon verschiedenen Buchstaben enthalten (in beliebiger Reihenfolge, wie in $LBL$ oder $DDH$). Modellieren Sie die Situation und berechnen Sie, wie viele „gemischt heterogene“ Kennzeichen es im potenziellen spanischen Fahrzeugbestand gibt.

Themenprojekt. Analyse des Jugendarbeitsmarkts mit Daten des Statistischen Bundesamts (Destatis).

Ihre Aufgabe ist es, einen Beschäftigungsausschuss zu beraten, indem Sie anhand realer Daten den Zusammenhang zwischen Bildungsniveau und Jugendarbeitslosigkeit untersuchen.

1. Datenerhebung: Rufen Sie das Portal von Destatis auf (aktuellste Erhebung) und entnehmen Sie die Häufigkeiten von Jugendlichen und jungen Erwachsenen (16–29 Jahre) Ihres Bundeslandes nach Bildungsniveau (niedrig, mittel, hoch) und Erwerbsstatus (erwerbstätig, arbeitslos).

2. Strukturierung und Zählen: Erstellen Sie in einer Tabellenkalkulation die Kontingenztabelle und das zugehörige Baumdiagramm mit relativen Häufigkeiten. Wenden Sie Kombinatorik an, um zu berechnen, auf wie viele verschiedene Arten Sie eine Stichprobe von $5$ jungen Menschen auswählen können, bei der mindestens $3$ einen hohen Bildungsabschluss haben.

3. Bayes'sche Modellierung: Berechnen Sie die totale Wahrscheinlichkeit der Arbeitslosigkeit $P(D)$ und wenden Sie den Satz von Bayes an, um die a-posteriori-Wahrscheinlichkeit $P(\text{hoch} \mid D)$ zu bestimmen. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der a-priori-Wahrscheinlichkeit $P(\text{hoch})$ und entscheiden Sie, ob beide Ereignisse stochastisch unabhängig sind.

4. Ergebnisbericht: Verfassen Sie einen begründeten Bericht (eine Seite) mit erläuternden Diagrammen, in dem Sie anhand Ihrer Berechnungen begründen, ob ein höheres Bildungsniveau mit einem geringeren Arbeitslosigkeitsrisiko einhergeht, und erklären, warum dieser Zusammenhang allein nicht ausreicht, um Kausalität zu belegen.

Bewertet werden:

• Sorgfalt im Umgang mit den Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit, der totalen Wahrscheinlichkeit und dem Satz von Bayes.

• Korrekte Anwendung der Zähltechniken und Strukturierung in der Tabellenkalkulation.

• Qualität des Berichts und Stimmigkeit der kritischen Interpretation der Destatis-Daten.