Aufgaben: Kettenregel

Gegeben ist die Funktion $f(x) = (3x^2 - 5)^4$. Bestimmen Sie die „äußere“ und die „innere“ Funktion. Wenden Sie anschließend die Kettenregel an, um ihre Ableitungsfunktion $f'(x)$ zu bestimmen.

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Wurzelfunktion:

$g(x) = \sqrt{5x + 2}$

Nutzen Sie die Struktur der Kettenregel für Potenzen und beachten Sie dabei, dass $\sqrt{u} = u^{1/2}$.

In der Marketingabteilung eines Mode-Start-ups hat man geschätzt, dass die Anzahl der auf der Website registrierten Nutzer der Funktion

$U(t) = e^{0,5t + 2}$

folgt, wobei $t$ die Zeit in Monaten ist. Bestimmen Sie den Term der momentanen Wachstumsrate der Nutzer (also die Ableitung $U'(t)$).

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $h(x) = \ln(x^2 + 3x)$. Denken Sie dazu daran: Wenn $y = \ln(u)$, dann $y' = \frac{u'}{u}$.

Die Kettenregel besagt: Ist eine Verkettung von Funktionen $y = f(g(x))$ gegeben, so ist ihre Ableitung $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Wenden Sie dieses Prinzip an, um die trigonometrische Funktion abzuleiten:

$f(x) = \sin(4x - 1)$

Ein Hersteller elektronischer Bauteile stellt fest, dass die Gesamtkosten (in Euro) für die Produktion von $x$ Stück eines neuen Sensors durch

$C(x) = (x + 10)^{3}$

gegeben sind. Berechnen Sie die Grenzkosten bei einer Produktion von $x$ Stück (d. h. bestimmen Sie $C'(x)$).

Betrachten Sie das folgende Schema, das die Verkettung zweier Funktionen $u(x)$ und $v(x)$ darstellt. Es gilt $f(x) = (v \circ u)(x)$. Berechnen Sie mithilfe der Angaben im Diagramm $f'(x)$.

$u(x) = x^3 + 1 \quad \longrightarrow \quad v(u) = \sqrt{u}$

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden verketteten Polynomfunktionen und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich:

1. a) $f(x) = (1 - x)^5$
2. b) $g(x) = (2x + 3)^2$

Markus bereitet sich auf die Abiturprüfung vor und soll die Funktion $f(x) = \sqrt{5x^2 - 2x + 1}$ ableiten. In sein Heft schreibt er die folgende Lösung:

Er argumentiert, dass laut der Grundtabelle der Ableitungen „die Ableitung der Wurzel immer eins geteilt durch das Doppelte der Wurzel selbst ist“.

1. a) Bestimmen Sie die äußere Funktion $v(u)$ und die innere Funktion $u(x)$, aus denen $f(x) = v(u(x))$ zusammengesetzt ist.
2. b) Erklären Sie begründet den begrifflichen Fehler, den Markus bei der Anwendung der Kettenregel gemacht hat, und welchen Faktor er vergessen hat.
3. c) Korrigieren Sie die Rechnung, indem Sie den vereinfachten Term der Ableitungsfunktion $f'(x)$ angeben, und berechnen Sie die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x = 1$.

Die Ableitungsfunktion von $f(x) = \ln\left(\frac{2x + 1}{x + 3}\right)$ soll für jeden Wert der Definitionsmenge bestimmt werden, für den $x > -0,5$ gilt. Dazu werden zwei verschiedene Wege vorgeschlagen:

• Methode A (direkte Kettenregel): $u(x) = \frac{2x + 1}{x + 3}$ betrachten, die Ableitung des Quotienten $u'(x)$ berechnen und anschließend $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ anwenden.

• Methode B (Logarithmusgesetze): Zuvor das Gesetz $\ln\left(\frac{A}{B}\right) = \ln A - \ln B$ anwenden, um die Funktion in eine Differenz zweier einfacher Logarithmen umzuformen, und anschließend Term für Term ableiten.

1. a) Leiten Sie nach beiden Methoden ab und zeigen Sie, dass in beiden Fällen derselbe vereinfachte Term entsteht.
2. b) Vergleichen Sie den algebraischen Rechenaufwand beider Verfahren und begründen Sie, welche der beiden Methoden Sie einem Mitschüler empfehlen würden, um das Risiko von Rechenfehlern möglichst gering zu halten.

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden verketteten Polynomfunktion und bestimmen Sie die Steigung der Tangente an ihren Graphen an der Stelle $x = 1$:

$f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)^5$

Ein Unternehmen für elektronische Bauteile hat geschätzt, dass die Gesamtkosten (in Tausend Euro) für die Produktion von $x$ Stück eines neuen Prozessormodells durch die folgende Funktion gegeben sind:

$C(x) = \sqrt{2x^2 + 5x + 100}$

Bestimmen Sie mit der Kettenregel den Term der Grenzkosten $C'(x)$ und berechnen Sie diese Kosten für eine Produktion von genau $10$ Stück.

Die Anzahl der Follower einer bekannten Influencerin in einem sozialen Netzwerk, gemessen in Tausend Personen, folgt einem Wachstumsmodell mit der Funktion:

$S(t) = 50 \cdot \ln(t^2 + 4t + 5)$

Dabei ist $t$ die Zeit in Monaten seit dem Start ihrer Werbekampagne. Die Abbildung zeigt die Funktion und den Punkt zu $t = 3$.

Berechnen Sie die Wachstumsrate der Follower (die Ableitung) im dritten Monat ($t = 3$).

Gegeben ist die verkettete Exponentialfunktion $g(x) = e^{x^2 - 4x + 1}$. Bestimmen Sie die Punkte der Kurve, in denen die Tangente waagerecht ist.

Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktion, bei der Quotientenregel und Kettenregel kombiniert werden:

$h(x) = \frac{(3x - 1)^2}{x^2 + 1}$

Vereinfachen Sie das Endergebnis so weit wie möglich.

Der Marktwert einer Technologieaktie (in Euro) hat während eines Handelstages von 8 Stunden gemäß der Funktion geschwankt:

$V(t) = 10 + 2 \cdot \sqrt{(t - 4)^2 + 9}$

Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden ($0 \le t \le 8$). Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des Aktienwerts genau nach Ablauf der sechsten Stunde des Handelstages.

Bestimmen Sie den Wert des konstanten Parameters $k$ in der Funktion $f(x) = \ln(kx^2 + 1)$, wenn bekannt ist, dass die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle $x = 1$ gleich $1$ ist.

Seien $f$ und $g$ zwei differenzierbare Funktionen. Folgende Werte sind bekannt:

• $g(2) = 5$

• $g'(2) = 3$

• $f'(5) = -4$

Berechnen Sie mit der Kettenregel den Wert der Ableitung der verketteten Funktion $H(x) = (f \circ g)(x)$ an der Stelle $x = 2$, d. h. bestimmen Sie $H'(2)$.

Eine Olivenöl-Genossenschaft in Jaén modelliert ihre täglichen Gesamtkosten der Abfüllung $C$ (in Hundert Euro) in Abhängigkeit vom Volumen $q$ (in Tausend abgefüllten Litern) durch die Funktion:

Während einer durchgehenden Schicht von 8 Stunden ($0 \le t \le 8$, wobei $t$ in Stunden gemessen wird) folgt das aufgelaufene Volumen der Funktion:

1. a) Begründen Sie mithilfe der Kettenregel die wirtschaftliche Bedeutung der verketteten Ableitung $\frac{dC}{dt}$ und drücken Sie sie theoretisch durch $C'(q)$ und $q'(t)$ aus.
2. b) Bestimmen Sie den Term der momentanen Änderungsrate der Kosten nach der Zeit, $\frac{dC}{dt}$.
3. c) Berechnen Sie den exakten Wert von $\frac{dC}{dt}$ zwei Stunden nach Schichtbeginn ($t = 2$) und interpretieren Sie das Ergebnis unter Angabe der zugehörigen wirtschaftlichen Einheiten.

Ein wirtschaftswissenschaftliches Institut untersucht die Entwicklung eines Geschäftsklimaindex $I(x)$, der von der jährlichen Inflationsrate $x$ (in Prozent) abhängt und durch die folgende Funktion modelliert wird:

Aktuell liegt die Inflationsrate in Deutschland bei $6\,\%$ ($x = 6$).

1. a) Schätzen: Begründen Sie ohne analytisches Ableiten, welches Vorzeichen $I'(6)$ im wirtschaftlichen Kontext haben muss (steigt oder sinkt das Geschäftsklima bei einem Anstieg der Inflation?). Schätzen Sie anhand der Form der Funktion begründet ab, ob der negative Einfluss auf das Geschäftsklima beim Anstieg der Inflation von $6\,\%$ auf $7\,\%$ schwächer oder stärker ausfällt als beim Anstieg von $1\,\%$ auf $2\,\%$.
2. b) Berechnen: Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion $I'(x)$ mit der Kettenregel und berechnen Sie ihren exakten Wert bei $x = 6$.
3. c) Überprüfen: Bestimmen Sie die Tangente an die Kurve bei $x = 6$, schätzen Sie damit den Wert des Index ab, falls die Inflation leicht auf $6,2\,\%$ stiege, und beurteilen Sie, ob das Ergebnis zu Ihrer anfänglichen Schätzung passt.

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion des folgenden Terms und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich mithilfe trigonometrischer Identitäten oder der Logarithmusgesetze:

Bestimmen Sie die Werte der Parameter $a, b \in \mathbb{R}$ so, dass die folgende Funktion auf ihrer gesamten Definitionsmenge stetig und differenzierbar ist. Achten Sie besonders auf die Verkettung im zweiten Teilstück:

Ein Digitalmarketing-Unternehmen hat festgestellt, dass die Anzahl der aktiven Nutzer einer sozialen Plattform, $U(t)$, gemessen in Tausend, einer Funktion folgt, die von den Werbeausgaben $x$ (in Tausend Euro) abhängt, die ihrerseits mit der Zeit $t$ (in Monaten) variieren. Die Funktionen lauten:

Berechnen Sie die momentane Änderungsrate der Nutzerzahl bezüglich der Zeit, wenn genau $t = 2$ Monate vergangen sind. Deuten Sie, ob das Nutzerwachstum zu diesem Zeitpunkt zunimmt oder abnimmt.

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion $g(x)$ an der Stelle $x = 1$. Die Funktion ist durch die folgende Verkettung definiert:

Bei der Untersuchung eines monopolistischen Marktes hat sich gezeigt, dass der Preis eines Produkts $p$ (in Euro) und die nachgefragte Menge $q$ (in Stück) implizit durch die folgende Gleichung zusammenhängen:

Der Gesamterlös ist durch die Funktion $I = p \cdot q$ gegeben. Bestimmen Sie mithilfe der Kettenregel und der impliziten Differenziation die Ableitung des Erlöses nach dem Preis, $\frac{dI}{dp}$, für den Preis $p = 4$ Euro (berücksichtigen Sie nur den positiven Wert von $q$).

Untersuchen Sie, ob die Funktion $f(x) = (x^2 - 4)^2 \cdot e^{-x^2}$ Punkte mit waagerechter Tangente besitzt. Bestimmen Sie dazu die erste Ableitung mit Ketten- und Produktregel und setzen Sie sie gleich null, um alle möglichen Lösungen in der reellen Definitionsmenge zu finden.

Gegeben ist die Funktion $h(x) = \log_2 \left( \sqrt[3]{x^3 + 3x^2} \right)$. Berechnen Sie den Wert ihrer Ableitung an der Stelle $x = 1$. Hinweis: Denken Sie daran, die Kettenregel für Logarithmen zu anderen Basen als $e$ anzuwenden.

Seien $f$ und $g$ zwei Funktionen, von denen folgende Daten bekannt sind:

• $g(1) = 2$ und $g'(1) = 3$

• $f(2) = -1$ und $f'(2) = 5$

Wir definieren eine neue Funktion $H(x) = \sqrt{f(g(x)) + 5}$. Berechnen Sie den Wert von $H'(1)$ unter konsequenter Anwendung der Kettenregel. Erläutern Sie, was mit der Ableitung geschähe, wenn der Wert unter der Wurzel negativ wäre.

Gegeben ist die verkettete Funktion $H(x) = \ln(x^2 + bx + c)$, wobei $b$ und $c$ reelle Parameter sind. Über ihr Verhalten ist Folgendes bekannt:

• Die Funktion $H(x)$ hat an der Stelle $x = 2$ eine lokale Extremstelle.

• Die Tangente an den Graphen von $H(x)$ an der Stelle $x = 1$ ist parallel zur Geraden mit der Gleichung $y = -x + 4$.

1. a) Wenden Sie die Kettenregel an, um den Term von $H'(x)$ in Abhängigkeit der Parameter $b$ und $c$ zu bestimmen.
2. b) Stellen Sie aus den obigen Angaben ein Gleichungssystem auf und bestimmen Sie begründet die Werte von $b$ und $c$. Zeigen Sie außerdem, dass mit diesen Koeffizienten das Argument des Logarithmus für jede reelle Zahl streng positiv ist, sodass die Definitionsmenge von $H(x)$ ganz $\mathbb{R}$ ist.
3. c) Klassifizieren Sie die lokale Extremstelle bei $x = 2$ (Hochpunkt oder Tiefpunkt), indem Sie das Vorzeichen von $H'(x)$ links und rechts dieser Stelle sorgfältig untersuchen.

Eine Finanzprüfung modelliert die Nettorentabilität zweier Geschäftsbereiche durch zwei unbekannte differenzierbare Funktionen $f$ und $g$. Die expliziten Funktionsterme sind nicht bekannt, aber folgende Daten sind exakt bekannt:

• Die Tangente an den Graphen von $g(x)$ an der Stelle $x = 3$ hat die Gleichung $y = -2x + 7$.

• Für die Funktion $f$ wurden die Werte $f(1) = 4$, $f'(1) = -3$, $f(3) = 2$ und $f'(3) = 5$ erfasst.

Aus diesen Daten werden zwei neue zusammengesetzte Finanzkennzahlen definiert:

1. a) Bestimmen Sie begründet aus der gegebenen Tangente die Zahlenwerte von $g(3)$ und der Ableitung $g'(3)$.
2. b) Berechnen Sie mit der Kettenregel die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion $h(x)$ an der Stelle $x = 3$. Begründen Sie ausdrücklich, welche der gegebenen Werte von $f$ Sie verwenden und welche Sie verwerfen müssen, und weisen Sie auf den typischen Fehler hin, $f'(g(3))$ mit $f'(3)$ zu verwechseln.
3. c) Berechnen Sie die momentane Änderungsrate $k'(3)$ und interpretieren Sie, ob sich die Kennzahl $k(x)$ an dieser Stelle in einer Wachstums- oder Abnahmephase befindet.

Themenprojekt. Wie schnell ändert sich unser Stromverbrauch?

1. Datenerhebung: Rufen Sie die Website der Bundesnetzagentur (SMARD) auf und notieren Sie die Last (in MW) zu sechs verschiedenen Uhrzeiten des gestrigen Tages. Geben Sie die Wertepaare Uhrzeit-Last in GeoGebra oder eine Tabellenkalkulation ein und passen Sie eine Polynomfunktion $D(t)$ an.

2. Ableiten und Kettenregel: Angenommen, die zugehörigen Großhandelskosten folgen dem Modell $C(D) = \sqrt{2 + 0,15 \cdot D^2}$ (in Tausend Euro). Bestimmen Sie mit den Ableitungsregeln und der Kettenregel analytisch die Funktion der Änderungsrate der Kosten nach der Zeit: $C'(t) = \frac{dC}{dD} \cdot D'(t)$.

3. Ableitung an einer Stelle und Interpretation: Berechnen Sie die Ableitung zu zwei markanten Zeitpunkten: in der Schwachlastzeit ($t = 4\text{ h}$) und in der Spitzenlastzeit ($t = 21\text{ h}$). Interpretieren Sie Wert und Vorzeichen von $D'(t)$ und $C'(t)$ als momentane Änderungsraten.

4. Endprodukt: Verfassen Sie einen kurzen Bericht (eine Seite) mit dem Graphen, den mathematischen Herleitungen und einem begründeten Vorschlag, wie man Verbrauchsgewohnheiten an die Geschwindigkeit anpassen kann, mit der sich die Energiekosten ändern.

Bewertet werden:

• Angemessene Beschaffung und Modellierung der realen Daten in GeoGebra oder einer Tabellenkalkulation.

• Korrektheit bei der Berechnung der Ableitungen unter richtiger Anwendung der Kettenregel.

• Fundierte mathematische und gesellschaftlich-wirtschaftliche Interpretation der Ableitung an einer Stelle.

• Klarheit der Schlussfolgerungen und Qualität der Darstellung des Berichts.