Aufgaben: Exponential- und Logarithmusgleichungen

Lösen Sie die folgenden Exponentialgleichungen, indem Sie beide Seiten als Potenzen derselben Basis schreiben:

1. a) $2^{x} = 8$

1. b) $3^{x} = \frac{1}{9}$

1. c) $5^{x} = 25$

1. d) $10^{x} = 0,001$

Lösen Sie mithilfe der Definition des Logarithmus:

1. a) $\log_{2} x = 5$

1. b) $\log_{3} x = -2$

1. c) $\log x = 4$

1. d) $\ln x = 0$

Lösen Sie die Gleichungen:

1. a) $\log_{2} x + \log_{2} 4 = 5$

1. b) $\log_{5} x - \log_{5} 2 = 2$

Lösen Sie die folgenden Exponentialgleichungen, bei denen die Variable in einem Term im Exponenten steht:

1. a) $3^{x + 1} = 27$

1. b) $2^{3x} = 16$

1. c) $5^{2 - x} = 125$

Lösen Sie die Gleichungen, indem Sie auf beiden Seiten den dekadischen Logarithmus bilden. Geben Sie die exakte Lösung als Quotient von Logarithmen an (der Dezimalwert ist nicht nötig):

1. a) $2^{x} = 15$

1. b) $7^{x} = 100$

Lösen Sie, indem Sie die passende Umkehrfunktion anwenden:

1. a) $\ln x = 4$

1. b) $e^{x} = 7$

1. c) $10^{x} = 45$

1. d) $\log x = 2,5$

Zum Lösen der Exponentialgleichung $8^{x-1} = 4^{x+2}$ schlagen zwei Schüler verschiedene Wege vor:

• Paula meint, am direktesten sei es, die Basen als Potenzen von $2$ zu schreiben ($8 = 2^3$ und $4 = 2^2$) und die entstehenden Exponenten gleichzusetzen.

• Sergio schlägt vor, direkt auf beiden Seiten den dekadischen Logarithmus zu bilden: $\log(8^{x-1}) = \log(4^{x+2})$, und die Exponenten mit dem Logarithmusgesetz für Potenzen herunterzuholen.

1. a) Lösen Sie die Gleichung mit dem Verfahren von Paula.
2. b) Begründen Sie, warum beide Verfahren mathematisch gültig sind, und beurteilen Sie, welches in diesem Fall vorteilhafter und weniger fehleranfällig ist.

Lea versucht, die Exponentialgleichung $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$ zu lösen, und gibt in ihrem Heft die folgende Rechnung ab:

„Schritt 1: Ich substituiere $t = 2^x$, damit wird $4^x = (2^x)^2 = t^2$.

Schritt 2: Ich erhalte $t^2 - 3t - 4 = 0$ mit den Lösungen $t_1 = 4$ und $t_2 = -1$.

Schritt 3: Ich mache die Substitution rückgängig:

• Für $t_1 = 4 \implies 2^x = 4 \implies x = 2$.

• Für $t_2 = -1 \implies 2^x = -1 \implies x = -0,5$ (weil $2 \cdot (-0,5) = -1$).

Ergebnis: Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen: $x = 2$ und $x = -0,5$."

1. a) Finden Sie den begrifflichen Fehler, den Lea in Schritt 3 gemacht hat, und erklären Sie ihn ausführlich. Begründen Sie mit den Eigenschaften der Exponentialfunktion, warum die Gleichung $2^x = -1$ in den reellen Zahlen unmöglich ist.
2. b) Korrigieren Sie die Lösung und bestimmen Sie die endgültige Lösungsmenge der Gleichung.

Lösen Sie die Gleichung $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ mit der Substitution $t = 2^{x}$. Prüfen Sie die erhaltenen Lösungen.

Lösen Sie die Gleichung $2^{x + 1} + 2^{x} + 2^{x - 1} = 28$, indem Sie die kleinste Potenz ausklammern. Prüfen Sie die Lösung.

Lösen Sie die Logarithmusgleichung $\log_{2}(x - 1) + \log_{2}(x + 1) = 3$ und prüfen Sie die Gültigkeit jeder möglichen Lösung.

Lösen Sie die Gleichung $\log x + \log(x + 3) = 1$, wobei $\log$ den dekadischen Logarithmus bezeichnet. Warum muss eine der Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung verworfen werden?

Lösen Sie die Gleichung $3^{x - 1} = 2^{x}$, indem Sie auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus bilden. Geben Sie die exakte Lösung mithilfe von Logarithmen an und ihren Näherungswert mit zwei Nachkommastellen.

Lösen Sie das Logarithmussystem:

Zeigen Sie, dass die Lösung beide Gleichungen erfüllt und dass die Werte für die Logarithmen zulässig sind.

Lösen Sie das Exponentialsystem:

Hinweis: Wandeln Sie jede Gleichung in eine lineare Gleichung für die Exponenten um.

In der Abbildung sind der Graph $y = 2^{x}$ und die Gerade $y = 5$ dargestellt.

1. a) Erklären Sie, warum die Lösung der Gleichung $2^{x} = 5$ die x-Koordinate des mit „?" markierten Schnittpunkts ist.

1. b) Schließen Sie die Lösung mithilfe des Graphen oder durch Probieren zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ein.

1. c) Geben Sie die exakte Lösung mithilfe eines Logarithmus an und berechnen Sie ihren Näherungswert mit drei Nachkommastellen.

Gegeben ist die Exponentialgleichung $3^{2x-1} = 50$:

1. a) Schätzen Sie den Wert der Variablen $x$ ohne Taschenrechner und ohne Logarithmen ab. Bestimmen Sie dazu, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzzahligen Potenzen zur Basis $3$ die Zahl $50$ liegt, folgern Sie, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen der Exponent $2x-1$ liegen muss, und geben Sie daraus ein Intervall für $x$ an, dessen Grenzen einfache rationale Zahlen oder Dezimalzahlen sind.
2. b) Lösen Sie die Gleichung exakt, indem Sie auf beiden Seiten den dekadischen Logarithmus bilden und nach der Variablen $x$ auflösen.
3. c) Bestimmen Sie den Näherungswert mit drei Nachkommastellen und prüfen Sie, ob Ihre anfängliche Abschätzung aus Teil a) dazu passte.

Nach den Bewertungstabellen für Gebrauchtfahrzeuge verliert ein Pkw mit Verbrennungsmotor in den ersten Jahren etwa $12\,\%$ seines Wertes pro Jahr. Ein Kurierdienst kauft einen Lieferwagen für $25\,000\text{ \euro}$. Sein Restwert $V(t)$ in Euro nach $t$ Betriebsjahren wird durch die Funktion $V(t) = 25\,000 \cdot (0,88)^t$ modelliert.

1. a) Stellen Sie die Exponentialgleichung auf, mit der berechnet werden kann, nach wie vielen Jahren der Wert des Lieferwagens genau auf $10\,000\text{ \euro}$ gesunken ist.
2. b) Lösen Sie diese Gleichung mithilfe von Logarithmen, runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel und deuten Sie den erhaltenen Wert, indem Sie angeben, nach etwa wie vielen Jahren und Monaten dieser Wert erreicht ist.
3. c) Hätte das Unternehmen einen größeren Lieferwagen für $50\,000\text{ \euro}$ mit derselben jährlichen Wertminderung von $12\,\%$ gekauft: Würde er länger, kürzer oder genauso lange brauchen, um genau die Hälfte seines Anfangswerts zu verlieren? Begründen Sie Ihre Antwort anhand der algebraischen Struktur der Gleichung, ohne alle Rechnungen zu wiederholen.

Lösen Sie die Exponentialgleichung $9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$ mit den folgenden Schritten:

1. a) Schreiben Sie $9^{x}$ als Potenz zur Basis $3$ und führen Sie die Substitution $t = 3^{x}$ durch.

1. b) Lösen Sie die entstandene quadratische Gleichung.

1. c) Machen Sie die Substitution rückgängig, prüfen Sie jede Lösung in der ursprünglichen Gleichung und verwerfen Sie die unbrauchbaren.

Lösen Sie die Logarithmusgleichung $\log_{2} x + \log_{4} x = 3$.

1. a) Drücken Sie $\log_{4} x$ mithilfe des Basiswechsels durch $\log_{2} x$ aus.

1. b) Lösen Sie die entstandene Gleichung und prüfen Sie die Lösung.

Ein Schüler löst die Gleichung $\log_{2}(x - 1) + \log_{2}(x - 3) = 3$ so:

„$\log_{2}[(x - 1)(x - 3)] = 3 \Rightarrow (x - 1)(x - 3) = 8 \Rightarrow x^{2} - 4x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ und $x = -1$. Also hat die Gleichung zwei Lösungen: $x = 5$ und $x = -1$."

1. a) Erklären Sie, wo der Fehler in seiner Schlussfolgerung liegt, obwohl die Rechnungen richtig sind.

1. b) Schreiben Sie die vollständige und richtige Lösung auf und geben Sie an, welche Probe bei jeder Logarithmusgleichung unbedingt nötig ist.

Lösen Sie die Gleichung $4^{x} - 3 \cdot 2^{x + 1} + 8 = 0$.

1. a) Schreiben Sie die Gleichung nur mit Potenzen zur Basis $2$ um und substituieren Sie $t = 2^{x}$.

1. b) Lösen Sie die quadratische Gleichung in $t$.

1. c) Machen Sie die Substitution rückgängig und prüfen Sie die beiden Lösungen.

Eine Familie legt $5.000\ \text{ €}$ bei einem jährlichen Zinssatz von $4 \%$ mit Zinseszins an, sodass das Kapital nach $t$ Jahren $C(t) = 5.000 \cdot 1,04^{t}$ beträgt.

1. a) Stellen Sie die Exponentialgleichung auf, die bestimmt, nach wie vielen Jahren das Kapital $8.000\ \text{ €}$ erreicht.

1. b) Lösen Sie sie mithilfe von Logarithmen und runden Sie das Ergebnis auf Monate.

1. c) Überlegen Sie ohne die ganze Rechnung, ob die benötigte Zeit bei einem Zinssatz von $2 \%$ genau doppelt so lang wäre. Überprüfen Sie Ihre Vermutung durch Rechnung.

Lösen Sie die folgenden Gleichungen, in denen die Variable an ungewöhnlichen Stellen auftritt:

1. a) $\log_{x} 8 = \frac{3}{2}$ (die Variable ist die Basis des Logarithmus; denken Sie daran, welche Werte eine Basis annehmen darf).

1. b) $\log_{3}(x + 2) - \log_{3}(x - 2) = 1$ (wenden Sie das Logarithmusgesetz für den Quotienten an und prüfen Sie die Lösung).

Eine Bakterienkolonie wächst täglich um $15 \%$, wobei sich das Wachstum aufsummiert. Zu Beginn sind $2.000$ Bakterien vorhanden:

1. a) Geben Sie den Term für die Anzahl der Bakterien nach $t$ Tagen an und stellen Sie die Ungleichung auf, die bestimmt, wann die Population $10.000$ Bakterien übersteigt.

1. b) Lösen Sie sie mithilfe von Logarithmen und folgern Sie, wie viele ganze Tage mindestens vergehen müssen.

Entwerfen Sie eine Exponentialgleichung mit quadratischer Struktur der Form $a \cdot 4^x + b \cdot 2^x + c = 0$, die gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

1. Die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ sind ganze Zahlen und $a = 1$.

2. Die reelle Zahl $x = 3$ ist die einzige reelle Lösung der Gleichung.

3. Nach der Substitution $t = 2^x$ hat die quadratische Gleichung $t^2 + bt + c = 0$ zwei verschiedene reelle Lösungen, von denen aber eine keine reelle Lösung für $x$ liefert.

1. a) Bestimmen Sie die ganzzahligen Werte von $b$ und $c$, die diese Bedingungen erfüllen, und erläutern Sie den Zusammenhang zwischen den Lösungen der quadratischen Gleichung in $t$ und der Wertemenge der Exponentialfunktion $2^x$.
2. b) Lösen Sie die erhaltene Gleichung Schritt für Schritt und zeigen Sie, dass sie tatsächlich nur $x = 3$ als reelle Lösung in $\mathbb{R}$ besitzt.

Betrachten Sie das folgende nichtlineare Gleichungssystem:

$\begin{cases} \log x + \log y = 2 \\ x - y = 15 \end{cases}$

1. a) Lösen Sie das Gleichungssystem algebraisch mithilfe der Logarithmusgesetze und des Einsetzungsverfahrens.
2. b) Beim Lösen der dabei entstehenden quadratischen Gleichung erhält man zwei Wertepaare: $(20|5)$ und $(-5|-20)$. Erklären Sie analytisch anhand der Definition und der Definitionsmenge der ursprünglichen Logarithmusfunktion, warum eines davon verworfen werden muss.
3. c) Ein Schüler ersetzt die erste Gleichung durch $\log(x \cdot y) = 2$ und formt das System um zu:

$\begin{cases} \log(x \cdot y) = 2 \\ x - y = 15 \end{cases}$

Ist dieses neue System zum ursprünglichen äquivalent? Vergleichen Sie begründet die Definitionsmengen der Terme $\log x + \log y$ und $\log(x \cdot y)$ und entscheiden Sie, ob das Paar $(-5|-20)$ eine zulässige Lösung dieses zweiten Systems ist.

Projektaufgabe zum Thema. Ihre Aufgabe ist es, einen tragfähigen Finanzbericht für eine Jugend-Mikrogenossenschaft zu erstellen und dabei Daten des Statistischen Bundesamts (Destatis) zu verwenden (Medianeinkommen und durchschnittliche Konsumausgaben der Haushalte).

Phase 1 (Daten und Gauß): Recherchieren Sie bei Destatis die durchschnittlichen monatlichen Ausgaben für drei Posten (Wohnen, Verkehr und Ernährung). Stellen Sie ein Gleichungssystem $3 \times 3$ mit Budgetbedingungen und festgelegtem Sparbetrag auf und lösen Sie es mit dem Gauß-Verfahren, um die Zuweisungen zu bestimmen.

Phase 2 (Polynome und Tragfähigkeit): Modellieren Sie Kosten und Erlöse mit Polynomen. Faktorisieren Sie sie und stellen Sie die Durchschnittskostenfunktion als gebrochenrationale Funktion auf. Stellen Sie eine quadratische Ungleichung auf und lösen Sie sie, um die Rentabilitätsschwelle festzulegen, sowie ein Ungleichungssystem, das den zulässigen Bereich abgrenzt.

Phase 3 (Langfristprognose): Modellieren Sie in GeoGebra den Reservefonds gegenüber der Inflation (durchschnittliche Rate von $2,5\%$) mithilfe eines nichtlinearen Systems mit Exponential- und Logarithmusfunktionen. Untersuchen Sie das Verhalten im Unendlichen ($t \to +\infty$), um vorherzusagen, ob das Projekt scheitern oder sich stabilisieren wird.

Geben Sie einen kurzen Bericht mit GeoGebra-Screenshots und Ihrem begründeten Vorschlag ab.

Bewertet werden:

• Korrekte Anwendung des Gauß-Verfahrens, der Faktorisierung und der Lösung von Ungleichungen und Systemen.

• Genauigkeit bei der Analyse des Verhaltens im Unendlichen und dessen wirtschaftlich-gesellschaftliche Deutung.

• Stimmige Einbindung der realen Destatis-Daten in den Abschlussbericht.