Aufgaben: Stochastik ohne Hilfsmittel

Eine Urne enthält 5 rote und 3 blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen gezogen.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind.

1. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Kugeln verschiedene Farben haben.

Eine faire Münze wird viermal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Würfe, bei denen „Kopf" erscheint.

1. a) Berechnen Sie $P(X=2)$.

1. b) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$.

Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ gilt $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$ und $P(A\cap B)=0{,}2$.

1. a) Zeigen Sie, dass $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

1. b) Berechnen Sie $P(A\cup B)$.

1. c) Berechnen Sie $P_B(A)$.

Bei einem Schnelltest sind 10 % der getesteten Personen infiziert. Ist eine Person infiziert, so fällt der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % positiv aus. Ist eine Person nicht infiziert, so fällt der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % negativ aus.

1. a) Stellen Sie die Situation in einem Baumdiagramm dar.

1. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei einer zufällig ausgewählten Person positiv ausfällt.

1. c) Eine zufällig ausgewählte Person wird positiv getestet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie tatsächlich infiziert ist.

Bei einem Glücksspiel auf dem Schützenfest in Neuss wird nach Zahlung des Einsatzes eine Auszahlung $X$ (in €) ausgespielt. Es gilt die Wahrscheinlichkeitsverteilung:

$x$	0	2	5
$P(X=x)$	0,6	0,3	0,1

1. a) Berechnen Sie den Erwartungswert von $X$.

1. b) Bestimmen Sie den Einsatz, bei dem das Spiel fair ist.

1. c) Berechnen Sie die Varianz von $X$.

Die Füllmenge $X$ (in ml) von Flaschen einer Abfüllanlage ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert $\mu=500$ und der Standardabweichung $\sigma=10$.

1. a) Geben Sie mithilfe der $\sigma$-Regeln näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P(490\le X\le 510)$ an.

1. b) Begründen Sie, dass $P(X\ge 500)=0{,}5$ gilt.

1. c) Bestimmen Sie mithilfe der $\sigma$-Regeln näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P(X>510)$.

Bei einem Zufallsexperiment tritt ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit $p=0{,}5$ ein. Das Experiment wird $n=400$ Mal unabhängig durchgeführt. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie oft das Ereignis eintritt.

1. a) Bestimmen Sie mithilfe der $\sigma$-Regeln das Prognoseintervall für die absolute Häufigkeit zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 95 % (verwenden Sie $1{,}96\,\sigma$).

1. b) Geben Sie das zugehörige Prognoseintervall für die relative Häufigkeit an.

1. c) In einer tatsächlichen Durchführung tritt das Ereignis 230-mal ein. Beurteilen Sie, ob dieses Ergebnis Anlass gibt, an der Annahme $p=0{,}5$ zu zweifeln.

In einer Stichprobe von $n=100$ zufällig ausgewählten Schülerinnen und Schülern einer Schule in Bielefeld geben 20 an, den Schulweg mit dem Fahrrad zurückzulegen.

1. a) Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall für den Anteil $p$ der Fahrradfahrer an der Schule zum Konfidenzniveau 95 % (verwenden Sie $z=1{,}96$).

1. b) Der Stichprobenumfang soll bei gleichem Konfidenzniveau und gleicher relativer Häufigkeit so vergrößert werden, dass das Konfidenzintervall nur noch halb so lang ist. Bestimmen Sie den neuen Stichprobenumfang.

1. c) Eine Mitschülerin sagt: „Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt der wahre Anteil $p$ im Intervall aus a)." Beurteilen Sie diese Aussage.

In einer großen Stadt sind 10 % der Einwohner Linkshänder. Es werden zehn Personen zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Linkshänder unter ihnen an.

1. a) Begründen Sie, dass $X$ näherungsweise als binomialverteilt modelliert werden kann.

1. b) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $1-0{,}9^{10}$ berechnet werden kann.

1. c) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $0{,}9^{10}+10\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9^{9}$ berechnet wird.

1. d) Die zehn Personen sind nun die Mitglieder einer einzigen Familie. Erläutern Sie, warum das Modell dann nicht mehr geeignet ist.