Aufgaben: Spektren und Bohr'sches Atommodell

Ein Laserpointer, wie er häufig bei Demonstrationen im Unterricht verwendet wird, sendet sichtbare rote elektromagnetische Strahlung mit einer Wellenlänge von $656{,}3\,\mathrm{nm}$ aus. Berechnen Sie mithilfe dieser Angaben:

1. a) die Frequenz dieser elektromagnetischen Strahlung in SI-Einheiten.
2. b) die Energie, die ein einzelnes vom Laser ausgesandtes Photon trägt.

Gegeben: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$; Planck-Konstante $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$.

Die Analyse des von Stoffen ausgesandten oder absorbierten Lichts ist ein grundlegendes Werkzeug, um die Atomhülle zu verstehen.

1. a) Erklären Sie den wesentlichen physikalischen Unterschied zwischen einem kontinuierlichen Spektrum und einem diskontinuierlichen Spektrum (Linienspektrum).
2. b) Begründen Sie, warum das Emissionsspektrum eines Gases bei niedrigem Druck aus diskreten Linien besteht, und erläutern Sie, in welchem Zusammenhang diese Linien mit denen seines Absorptionsspektrums stehen.

Im Bohr'schen Atommodell für das Wasserstoffatom hängt die Energie jedes Elektronenniveaus von der Hauptquantenzahl $n$ ab, und zwar gemäß:

$$E_n = -\frac{2{,}18 \cdot 10^{-18}}{n^2}\,\mathrm{J}$$

1. a) Berechnen Sie die Energie des Elektrons im Grundzustand ($n=1$) und im ersten angeregten Zustand ($n=2$).
2. b) Erklären Sie die physikalische Bedeutung des negativen Vorzeichens dieser Energieniveaus und was der Zustand mit $n \rightarrow \infty$ darstellt.

Das folgende Schema zeigt die ersten drei Energieniveaus des Wasserstoffatoms und zwei mit A und B bezeichnete Elektronenübergänge:

. Beantworten Sie anhand des Diagramms und der gegebenen Daten:

1. a) Begründen Sie, ob die Übergänge A und B Absorptions- oder Emissionsvorgängen entsprechen.
2. b) Berechnen Sie die Energie (in $\mathrm{eV}$) und die Wellenlänge (in $\mathrm{nm}$) des am Übergang A beteiligten Photons ($3 \rightarrow 2$) und geben Sie mit Begründung an, welcher der beiden Übergänge (A oder B) Strahlung mit der kleineren Wellenlänge aussendet.

Gegeben: $E_1 = -13{,}6\,\mathrm{eV}$; $E_2 = -3{,}4\,\mathrm{eV}$; $E_3 = -1{,}51\,\mathrm{eV}$; Umrechnungsfaktor: $1\,\mathrm{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$; $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

In einer Gasentladungslampe mit atomarem Wasserstoff findet ein massenhafter Elektronenübergang vom vierten gequantelten Niveau ($n=4$) in den Grundzustand ($n=1$) statt.

1. a) Berechnen Sie die Energie, die ein einzelnes Wasserstoffatom bei dieser Abregung abgibt, und bestimmen Sie die Frequenz des ausgesandten Photons.
2. b) Berechnen Sie die insgesamt abgegebene Energie in $\mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}$, wenn ein ganzes Mol Wasserstoffatome diese Abregung gleichzeitig durchläuft.

Gegeben: Bohr'sche Formel für Wasserstoff: $E_n = -\frac{2{,}18 \cdot 10^{-18}}{n^2}\,\mathrm{J}$; Planck-Konstante $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; Avogadro-Konstante $N_A = 6{,}022 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}$.

Das Bohr'sche Atommodell war ein Meilenstein, da es den Begriff der Quantelung in den Atombau einführte und die Linien des Wasserstoffspektrums erfolgreich erklärte; dennoch zeigte es bald unüberwindbare Grenzen.

1. a) Erklären Sie zwei konkrete Mängel des Bohr'schen Modells: seine Unfähigkeit, Atomsysteme mit mehr als einem Elektron zu beschreiben, und die mit hochauflösenden Spektroskopen beobachtete Feinstruktur der Spektren.
2. b) Begründen Sie, warum es der Heisenberg'schen Unschärferelation widerspricht, dem Elektron eine Bahn mit gleichzeitig bestimmtem Ort und Impuls zuzuschreiben. Grenzen Sie diese Einschränkung davon ab, dass eine stehende de-Broglie-Welle sehr wohl eine Deutung der Bohr'schen Quantelung liefern kann.

Die Ionisierungsenergie einer gasförmigen Teilchenart ist die Mindestenergie, die nötig ist, um ihr äußerstes Elektron aus dem Anfangszustand bis zur Ruhe im Unendlichen zu entfernen.

1. a) Berechnen Sie auf Grundlage des Bohr'schen Modells für Wasserstoff ($E_n = -\frac{2{,}18 \cdot 10^{-18}}{n^2}\,\mathrm{J}$) die Ionisierungsenergie eines Wasserstoffatoms im Grundzustand ($n=1$) in Joule und den entsprechenden Wert für ein Mol Atome in $\mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}$.
2. b) Befindet sich eine gasförmige Probe von Wasserstoffatomen zuvor angeregt im Niveau $n=3$, bestimmen Sie die maximale Wellenlänge (in $\mathrm{nm}$), die ein monochromatischer Lichtstrahl haben muss, um die Atome aus diesem angeregten Niveau zu ionisieren, und ordnen Sie mit Begründung den Bereich des elektromagnetischen Spektrums zu, zu dem sie gehört.

Gegeben: $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$; $N_A = 6{,}022 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}$.

In einem optischen Spektrometer wird eine Emissionslinie des Wasserstoffatoms im sichtbaren Bereich (Balmer-Serie, Endniveau $n_f = 2$) mit einer experimentellen Wellenlänge von $\lambda = 434{,}1\,\mathrm{nm}$ registriert.

1. a) Berechnen Sie die Energie des ausgesandten Photons in Joule und bestimmen Sie mithilfe der Bohr'schen Beziehung $E_n = -\frac{2{,}18 \cdot 10^{-18}}{n^2}\,\mathrm{J}$ die Hauptquantenzahl des Anfangsniveaus $n_i$, aus dem das Elektron stammte.
2. b) Begründen Sie streng anhand der passenden Energiebilanz, ob ein einfallendes Photon mit einer Energie von $3{,}00\,\mathrm{eV}$ von einem Wasserstoffatom im Zustand $n=2$ absorbiert werden könnte.

Gegeben: $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$; $1\,\mathrm{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$.

Eine Wasserstoff-Entladungsröhre sendet ultraviolette Strahlung der Lyman-Serie aus, bei der alle Übergänge im Grundzustand $n_f = 1$ enden. Betrachtet werden zwei bestimmte Linien: Übergang 1 aus $n=2$ und Übergang 2 aus $n=3$.

1. a) Berechnen Sie die Energie der bei den beiden Übergängen ausgesandten Photonen (in $\mathrm{J}$) und ihre zugehörigen Wellenlängen (in $\mathrm{nm}$).
2. b) Begründen Sie, warum die Bohr'schen Gleichungen die Hauptniveaus und Spektrallinien des einfach positiv geladenen Heliumions $\mathrm{He}^+$ näherungsweise beschreiben, wenn man den Faktor $Z^2$ in der Energie ($Z=2$) berücksichtigt und Feinstruktur sowie Massenkorrekturen vernachlässigt, aber die Emissionsfrequenzen des neutralen Heliumatoms ($\mathrm{He}$) nicht berechnen können.

Gegeben: $E_n = -\frac{2{,}18 \cdot 10^{-18}}{n^2}\,\mathrm{J}$ (für H); $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$.