Aufgaben: Logarithmusfunktion

Bestimmen Sie die Definitionsmenge der Logarithmusfunktion $f(x) = \log_3(2x - 8)$.

Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Funktion $g(x) = \ln(x - 2)$ mit den Koordinatenachsen (x-Achse und y-Achse, falls vorhanden).

Geben Sie für die Funktion $h(x) = \log_{0,5}(x)$ begründet an, ob sie auf ihrer gesamten Definitionsmenge monoton steigend oder fallend ist, und berechnen Sie den exakten Wert von $h(1)$ und $h(4)$.

Geben Sie den Funktionsterm der Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ der Exponentialfunktion $f(x) = 10^{x+2} - 5$ an.

Lösen Sie die folgende Logarithmusgleichung mithilfe der Definition des Logarithmus:

$\log_2(3x + 1) = 4$

In der Chemie wird der pH-Wert einer Lösung durch den Term $pH = -\log[H^+]$ definiert, wobei $[H^+]$ die Konzentration der Wasserstoffionen in mol pro Liter angibt. Berechnen Sie den pH-Wert eines Orangensafts mit der Wasserstoffionenkonzentration $[H^+] = 10^{-3,2}$.

Beschreiben Sie genau, welche geometrischen Abbildungen (Verschiebungen) auf den Graphen der Grundfunktion $f(x) = \ln(x)$ angewendet werden müssen, um den Graphen der Funktion $g(x) = \ln(x+2) - 3$ zu erhalten.

Formen Sie den folgenden Term mithilfe der Logarithmengesetze so um, dass er als Summe und Differenz einfacherer Logarithmen geschrieben ist:

$\log_5 \left( \frac{25x^3}{y} \right)$

Bei der Bestimmung der Definitionsmenge und der senkrechten Asymptote der Funktion $f(x) = \log_5(8 - 2x)$ schreibt Mateo in seiner Klausur:

„Schritt 1: Damit der Logarithmus existiert, darf sein Argument nicht negativ sein, also setze ich $8 - 2x \geq 0 \implies 8 \geq 2x \implies x \leq 4$ an. Die Definitionsmenge ist $(-\infty; 4]$."

„Schritt 2: Da der Logarithmus am Rand der Definitionsmenge null wird oder gegen unendlich geht, ist die Gerade $x = 4$ seine senkrechte Asymptote, und die Kurve schneidet diese Asymptote im Punkt $(4|0)$."

1. a) Finden Sie die beiden begrifflichen Fehler, die Mateo gemacht hat, und erklären Sie, warum sie sich nach der Definition der senkrechten Asymptote gegenseitig widersprechen.
2. b) Korrigieren Sie die Lösung: Geben Sie die richtige Definitionsmenge als Intervall an, bestimmen Sie begründet die Gleichung der senkrechten Asymptote und ermitteln Sie den tatsächlichen Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse.

Betrachten Sie die Logarithmusfunktion $f(x) = \log_2(x - 3)$.

1. a) Schätzen Sie ohne Taschenrechner ab, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen der Wert von $f(25)$ liegt. Begründen Sie Ihre Vorhersage, indem Sie das Argument zwischen zwei aufeinanderfolgenden Potenzen zur Basis $2$ einschließen, und argumentieren Sie, ob der Wert näher an der kleineren oder der größeren ganzen Zahl liegt.
2. b) Berechnen Sie den Zahlenwert von $f(25)$ mit dem Taschenrechner mithilfe der Basiswechselformel (mit dekadischen oder natürlichen Logarithmen), runden Sie das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen und prüfen Sie, ob es Ihre Schätzung bestätigt.
3. c) Ein Schüler behauptet, dass $x$ notwendigerweise negativ sein muss, wenn $f(x)$ einen negativen Wert annimmt. Lösen Sie die Gleichung $f(x) = -2$ exakt und widerlegen Sie mit dem Ergebnis diese Behauptung, indem Sie überprüfen, dass die Lösung zur Definitionsmenge der Funktion gehört.

Bestimmen Sie die Definitionsmenge der Funktion $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Geben Sie das Ergebnis mithilfe von Intervallen an.

Bestimmen Sie anhand der folgenden grafischen Darstellung der Funktion $f(x) = \log_2(x+2) - 1$ rechnerisch ihre Definitionsmenge, ihre Wertemenge, die Gleichung ihrer senkrechten Asymptote und die exakten Koordinaten der Schnittpunkte mit der x- und der y-Achse.

Der Schallpegel $\beta$, gemessen in Dezibel (dB), wird mit der akustischen Formel $\beta = 10 \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$ berechnet, wobei $I$ die Schallintensität in $\text{W/m}^2$ und $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ die Standard-Hörschwelle ist. Wenn der Start eines Düsenflugzeugs einen Lärmpegel von $140 \text{ dB}$ erzeugt, wie groß ist dann die Intensität $I$ dieses Schalls in $\text{W/m}^2$?

Auf der Richterskala hängt die Magnitude $M$ eines Erdbebens mit der freigesetzten Energie $E$ (in Erg) über die empirische Gleichung $\log(E) = 11,8 + 1,5M$ zusammen. Berechnen Sie, wievielmal größer die freigesetzte Energie eines Erdbebens der Magnitude $7,0$ im Vergleich zur Energie eines Erdbebens der Magnitude $5,0$ ist.

Lösen Sie die folgende Logarithmusgleichung und prüfen Sie die Gültigkeit der erhaltenen Lösungen:

$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$

Der Buchwert eines Hochleistungsservers sinkt mit der Zeit nach der Exponentialfunktion $V(t) = 4500 \cdot e^{-0,25t}$, wobei $V$ der Wert in Euro und $t$ die seit dem Kauf vergangene Zeit in Jahren ist. Bestimmen Sie den Funktionsterm der Umkehrfunktion $t(V)$ und erklären Sie kurz, welche Größe sich mit dieser neuen Funktion berechnen lässt.

Bestimmen Sie die Werte von $x$ und $y$, die das folgende nichtlineare Gleichungssystem erfüllen:

$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log_3(x) + \log_3(y) = 3 \end{cases}$

Untersuchen Sie die folgende abschnittsweise definierte Funktion an der Stelle $x = 1$ auf Stetigkeit. Falls eine Unstetigkeitsstelle vorliegt, klassifizieren Sie sie und geben Sie ihre Art an.

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{für } x < 1 \\ \ln(x) & \text{für } x \ge 1 \end{cases}$

Bestimmen Sie den Funktionsterm einer Logarithmusfunktion der Form $f(x) = \log_a(x + b) + c$, die gleichzeitig die folgenden Bedingungen erfüllt:

1. Ihre Definitionsmenge ist das Intervall $(-3; +\infty)$ und die Gerade $x = -3$ ist ihre senkrechte Asymptote.

2. Ihr Graph schneidet die x-Achse im Punkt $(5|0)$.

3. Der Graph verläuft durch den Punkt $(1|-1)$.

Zur Lösung:

1. a) Leiten Sie begründet den Wert des Parameters $b$ aus den Angaben zur Definitionsmenge und zur Asymptote her.
2. b) Stellen Sie mit den Bedingungen 2 und 3 ein Gleichungssystem auf und lösen Sie es mithilfe der Logarithmengesetze, um die exakten Werte der Basis $a$ und des konstanten Gliedes $c$ zu bestimmen.
3. c) Begründen Sie, ob die erhaltene Funktion auf ihrer Definitionsmenge streng monoton steigend oder fallend ist, und berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts ihres Graphen mit der y-Achse.

In Deutschland regelt die Technische Anleitung zum Schutz gegen Lärm (TA Lärm) die Lärmbelastung in Städten. Der Schalldruckpegel $L$, gemessen in Dezibel ($\text{dB}$), wird mit der Logarithmusfunktion modelliert:

Dabei ist $I$ die physikalische Schallintensität in Watt pro Quadratmeter ($\text{W/m}^2$) und $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ die untere Hörschwelle des Menschen.

Während der Umbauarbeiten an einer Straße in Düsseldorf werden zwei Quellen dauerhaften Lärms getrennt gemessen: der Straßenverkehr mit der Intensität $I_1 = 10^{-5}\text{ W/m}^2$ und ein Baukompressor mit $I_2 = 10^{-4}\text{ W/m}^2$.

1. a) Berechnen Sie den Schallpegel in Dezibel, den jede Quelle einzeln erzeugt, $L(I_1)$ und $L(I_2)$, mithilfe der Definition des Logarithmus ohne Taschenrechner.
2. b) Eine Bürgerinitiative behauptet, dass der Gesamtschallpegel bei gleichzeitigem Betrieb beider Quellen die Summe der Dezibelwerte beider Quellen sei ($L(I_1) + L(I_2)$). Die physikalischen Intensitäten addieren sich direkt ($I_{\text{gesamt}} = I_1 + I_2$). Zeigen Sie mit den Logarithmengesetzen, warum die Summe der Dezibelwerte mathematisch falsch ist, und berechnen Sie den tatsächlichen gemeinsamen Lärmpegel $L(I_{\text{gesamt}})$. (Gegeben: $\log_{10}(1{,}1) \approx 0{,}041$).
3. c) Wenn der zulässige Grenzwert für dieses Gebiet tagsüber $85\text{ dB}$ beträgt, begründen Sie, ob die Bauarbeiten rechtmäßig sind oder gegen die Vorschrift verstoßen.

Bestimmen Sie die Definitionsmenge der Funktion $f(x) = \log_{10} \left( \frac{x+3}{|x-2|} \right)$. Achten Sie besonders auf die Stellen, an denen der Zähler, der Nenner und das Argument des Logarithmus null werden.

Untersuchen Sie die Symmetriebeziehung zwischen den Funktionen $f(x) = e^{x-1}$ und $g(x) = \ln(x) + 1$. Betrachten Sie das nebenstehende Schaubild, das beide Kurven und die Winkelhalbierende des ersten Quadranten zeigt. Zeigen Sie rechnerisch, dass es sich um Umkehrfunktionen handelt, indem Sie die Verkettungen $(f \circ g)(x)$ und $(g \circ f)(x)$ berechnen.

Lösen Sie die folgende Logarithmusgleichung. Prüfen Sie die möglichen Lösungen unbedingt in der ursprünglichen Gleichung, um Scheinlösungen auszuschließen:

$2\log_2(x) - \log_2(x-1) = 3$

Das Zerfallsgesetz des Kohlenstoffisotops C-14 ist durch die Funktion $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$ gegeben, wobei $N_0$ die Anfangsmenge des Isotops, $N(t)$ die verbleibende Menge zum Zeitpunkt $t$ (in Jahren) und $\lambda$ die Zerfallskonstante ist. Die Halbwertszeit (Zeit, in der sich die Anfangsmenge genau halbiert) beträgt $5730$ Jahre. Berechnen Sie den exakten Wert der Konstanten $\lambda$. Bestimmen Sie anschließend das ungefähre Alter eines Knochenfossils, das nur noch $15\%$ seines ursprünglichen C-14 enthält.

Nach dem newtonschen Abkühlungsgesetz ist die Temperatur $T$ eines Körpers zum Zeitpunkt $t$ (in Minuten) durch den Term $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$ gegeben, wobei $T_a$ die konstante Umgebungstemperatur und $T_0$ die Anfangstemperatur des Körpers ist. Eine Tasse Tee mit $90^\circ\text{C}$ wird in einem Raum mit einer Temperatur von $20^\circ\text{C}$ stehen gelassen. Wenn nach $10$ Minuten die Temperatur des Tees auf $60^\circ\text{C}$ gesunken ist, bestimmen Sie den exakten Wert der Abkühlungskonstanten $k$. Berechnen Sie anschließend, wie viel Zeit insgesamt seit Beginn vergehen muss, bis die Temperatur auf $35^\circ\text{C}$ gesunken ist.

Bestimmen Sie die Zahlenwerte der Parameter $a$ und $b$ so, dass die Logarithmusfunktion $f(x) = \ln(ax + b)$ gleichzeitig zwei Bedingungen erfüllt: Sie hat eine senkrechte Asymptote bei der Geraden mit der Gleichung $x = -3$ und verläuft durch den Punkt mit den Koordinaten $(2|0)$.

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem, das Exponential- und Logarithmusgleichungen kombiniert, und bestimmen Sie die Werte von $x$ und $y$:

$\begin{cases} 2^x \cdot 4^y = 64 \\ \ln(x) - \ln(y) = \ln(2) \end{cases}$

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ mit dem Intervall $x \in (-1;1)$ als Definitionsmenge. Zeigen Sie rechnerisch mithilfe der Logarithmengesetze, dass die Identität $f(a) + f(b) = f\left( \frac{a+b}{1+ab} \right)$ für alle Werte $a$ und $b$ aus der Definitionsmenge gilt, für die der Term sinnvoll ist.

Zur Lösung der Logarithmusgleichung $\log_2(x + 2) + \log_2(x - 1) = 2$ werden drei Lösungsstrategien vorgeschlagen:

• Methode 1 (Zusammenfassen zum Produkt): Mit dem Logarithmengesetz für die Summe von Logarithmen die Gleichung in $\log_2((x+2)(x-1)) = 2$ umformen, in die Exponentialform $(x+2)(x-1) = 2^2$ übergehen und die entstehende quadratische Gleichung lösen.

• Methode 2 (Gleichsetzen der Argumente): Das konstante Glied als $2 = \log_2(4)$ schreiben, die linke Seite zu einem einzigen Logarithmus zusammenfassen und direkt die Argumente gleichsetzen: $(x+2)(x-1) = 4$.

• Methode 3 (Umstellen und Quotient): Einen Logarithmus isolieren, $\log_2(x+2) = 2 - \log_2(x-1)$, die rechte Seite in $\log_2(4) - \log_2(x-1) = \log_2\left(\frac{4}{x-1}\right)$ umformen und die Argumente gleichsetzen: $x+2 = \frac{4}{x-1}$.

1. a) Lösen Sie die Gleichung mit allen algebraischen Schritten nach Methode 1 und nach Methode 3.
2. b) Bei allen drei Methoden ergibt sich die algebraische Lösung $x = -3$. Erklären Sie sorgfältig, warum diese Lösung eine Scheinlösung (nicht gültig) ist, und beschreiben Sie, in welchem genauen Schritt der Umformung der Gültigkeitsbereich gegenüber der ursprünglichen Definitionsmenge der Gleichung erweitert wird.
3. c) Vergleichen Sie die drei Methoden und analysieren Sie, welche algebraisch am sichersten ist, um Rechenfehler oder Nenner gleich null zu vermeiden, und begründen Sie, welche Probe unabhängig von der gewählten Methode immer durchgeführt werden muss.

Eine Logarithmusfunktion der Form $f(x) = \log_a(b \cdot x + c)$ mit der Basis $a>0$, $a \neq 1$ und dem Koeffizienten $b>0$ hat die Exponentialfunktion $f^{-1}(x) = \frac{3^x - 7}{4}$ als Umkehrfunktion.

1. a) Bestimmen Sie begründet die exakten Werte der Konstanten $a$, $b$ und $c$. Lösen Sie dazu den Term von $f^{-1}$ mithilfe der Definition des Logarithmus und der Eigenschaft der Umkehrbarkeit von Umkehrfunktionen nach der unabhängigen Variablen auf.
2. b) Bestimmen Sie sorgfältig die Definitionsmenge und die Wertemenge von $f(x)$ sowie die Gleichung ihrer senkrechten Asymptote. Erklären Sie, wie diese Elemente über die Spiegelsymmetrie an der Geraden $y = x$ der Wertemenge und der Definitionsmenge von $f^{-1}(x)$ entsprechen.
3. c) Bestimmen Sie die vereinfachten Terme der verketteten Funktionen $(f \circ f^{-1})(x)$ und $(f^{-1} \circ f)(x)$. Begründen Sie, für welche Menge reeller Zahlen jede von ihnen gültig ist, und erklären Sie, warum die Tatsache, dass ihre Definitionsmengen nicht übereinstimmen, der Definition von Umkehrfunktionen nicht widerspricht.