Aufgaben: Ableitungsregeln

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x) = 5x^4 - \frac{3}{x^2} + 2\sqrt{x} - 7$ mithilfe der grundlegenden Ableitungsregeln für Potenzen und der Linearität.

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion $g(t) = (3t^2 - 5t) \cdot e^t$ mithilfe der Produktregel.

Wenden Sie die Quotientenregel an, um die Ableitung der gebrochenrationalen Funktion $h(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 3}$ zu bestimmen.

Berechnen Sie die Ableitung der verketteten Funktion $f(x) = \sin(4x^3 - x)$, indem Sie die Kettenregel korrekt anwenden.

Bestimmen Sie die erste Ableitung der Logarithmusfunktion $y = \ln(x^2 + 5x + 6)$.

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $f(x) = 3^{2x} + \arctan(x)$ und denken Sie dabei an die Ableitungsregel für Exponentialfunktionen mit einer anderen Basis als $e$ und für Arkusfunktionen (Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen).

Bestimmen Sie die zweite Ableitung $f''(t)$ der Funktion $f(t) = \cos(5t) - t^3$.

Lea soll die Ableitungsfunktion von $h(x) = (3x^2 - 5)^4$ berechnen. In ihrer Klausur schreibt sie Folgendes:

Und daraus folgert sie, dass $h'(1) = 4(3\cdot 1^2 - 5)^3 = 4(-2)^3 = -32$.

1. a) Geben Sie genau an, welche Ableitungsregel sie unvollständig angewendet hat, und erklären Sie mit eigenen Worten, welchen Faktor sie nach der Kettenregel vergessen hat und was dieser Faktor inhaltlich darstellt.
2. b) Korrigieren Sie Leas Rechenweg, schreiben Sie den richtigen Term der Ableitungsfunktion $h'(x)$ auf und berechnen Sie den tatsächlichen Wert von $h'(1)$.

Es soll die Ableitungsfunktion von $f(x) = \frac{6x^4 - 9x^2}{3x^2}$ für alle $x \ne 0$ berechnet werden.

• Methode 1: Direkt die Quotientenregel anwenden: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

• Methode 2: Zuvor jeden Summanden des Zählers durch das Monom des Nenners dividieren, um $f(x)$ als einfaches Polynom umzuschreiben, und danach Term für Term ableiten.

1. a) Berechnen Sie die Ableitung mit beiden Methoden Schritt für Schritt.
2. b) Vergleichen Sie die beiden Wege: Welcher ist zügiger und weniger anfällig für Rechen- oder Vorzeichenfehler? Begründen Sie, warum Methode 2 nur empfehlenswert ist, wenn der Nenner ein einzelnes Monom ist.

Die Zahl der täglichen Abrufe eines viral gegangenen Songs entwickelt sich gemäß der Funktion $R(t) = 50 t^2 e^{-0,2t}$, wobei $t$ in Tagen seit der Veröffentlichung und $R(t)$ in Tausend Abrufen gemessen wird. Berechnen Sie die momentane Änderungsrate $R'(t)$ mithilfe der Ableitungsregeln und geben Sie ihren Term maximal faktorisiert an.

Die durchschnittlichen Produktionskosten eines hochpräzisen elektronischen Bauteils sind durch $C(x) = \frac{\ln(x + 1)}{x}$ gegeben, wobei $x$ die Anzahl der gefertigten Lose ist ($x > 0$). Bestimmen Sie die Funktion, die die Änderungsrate der Durchschnittskosten beschreibt, $C'(x)$.

Die Temperatur eines Industrieofens sinkt nach dem Abschalten gemäß dem Abkühlungsgesetz $T(t) = 20 + 80 \cos^2\left(\frac{\pi t}{4}\right)$, mit $T$ in Grad Celsius und $t$ in Stunden. Bestimmen Sie den Term der Abkühlungsgeschwindigkeit $T'(t)$ mithilfe der Kettenregel.

Das Profil des Daches eines Olympiastadions folgt der ebenen Kurve $f(x) = \frac{100}{x^2 + 25}$, in Metern. Berechnen Sie die allgemeine Gleichung der Tangente an der Stelle $x = 5$, um eine geradlinige Tragkonstruktion zu entwerfen, die sich in diesem Punkt tangential anlegt.

Ein Gelenkroboterarm bewegt sich so, dass der Winkel seines Hauptgelenks (im Bogenmaß) in Abhängigkeit von einem Steuerparameter $x$ gleich $\theta(x) = \arcsin\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ für $x > 1$ ist. Bestimmen Sie $\theta'(x)$ und geben Sie es in vollständig vereinfachter Form an.

Die Position eines Pneumatikkolbens in einem Zylinder wird durch die Bewegungsgleichung $s(t) = \ln(1 + t^2)$ beschrieben, wobei $s$ in Dezimetern und $t$ in Sekunden gemessen wird. Berechnen Sie den Term der Beschleunigung des Kolbens, die der zweiten Ableitung $s''(t)$ entspricht, und bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt $t > 0$ diese Beschleunigung null wird.

Eine auf einem Wohnhaus in Dortmund installierte Photovoltaikplatte erfährt in den Mittagsstunden eine leichte Wärmeausdehnung. Ihre Breite in Metern ändert sich gemäß der Funktion $a(t) = 1 + 0,02t$ und ihre Länge gemäß $l(t) = 2 + 0,05t$, wobei $t$ die seit 11:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden ist ($t \ge 0$). Die Kollektorfläche ist durch $S(t) = a(t) \cdot l(t)$ gegeben.

1. a) Schätzen Sie vor dem Ableiten begründet ab, ob die momentane Zunahmegeschwindigkeit der Fläche bei $t = 0$ ($S'(0)$) größer, kleiner oder gleich der Summe der Wachstumsgeschwindigkeiten ihrer Seiten sein wird ($a'(0) + l'(0) = 0,02 + 0,05 = 0,07\text{ m}^2/\text{h}$). Stützen Sie Ihre Vermutung auf die geometrische Deutung der Produktregel (das Wachstum eines Rechtecks, aufgeteilt in zwei Streifen).
2. b) Wenden Sie die Produktregel an, um die Ableitungsfunktion $S'(t)$ zu berechnen, und werten Sie den Wert von $S'(0)$ exakt aus.
3. c) Überprüfen Sie, ob Ihre anfängliche Schätzung richtig war, und begründen Sie, wie die Anfangsabmessungen ($a(0) = 1\text{ m}$ und $l(0) = 2\text{ m}$) in die Gesamtwachstumsrate der Fläche eingehen.

Während einer Phase anhaltender Herbstniederschläge entwickelt sich das in einer Talsperre im Einzugsgebiet des Rheins gespeicherte Wasservolumen in Abhängigkeit von der Zeit gemäß dem Modell:

wobei $V(t)$ das zusätzlich gespeicherte Volumen in Kubikhektometern ($\text{hm}^3$) darstellt und $t$ die seit Beginn des Unwetters vergangene Zeit in Tagen ($t \ge 0$) ist.

1. a) Wenden Sie die Quotientenregel an, um die Ableitungsfunktion $V'(t)$ zu bestimmen, und vereinfachen Sie den Zähler des entstehenden Bruchs so weit wie möglich.
2. b) Bestimmen Sie, an welchem Tag $t$ die momentane Füllrate null wird ($V'(t) = 0$). Untersuchen Sie das Vorzeichen von $V'(t)$ vor und nach diesem Tag und deuten Sie, was physikalisch mit dem Volumen des Stausees geschieht.
3. c) Berechnen Sie die Änderungsrate des Volumens nach $t = 2$ Tagen und nach $t = 6$ Tagen. Geben Sie die Einheit dieser Ableitung an und deuten Sie die physikalische Bedeutung ihres Vorzeichens zu beiden Zeitpunkten.

Die Bahn eines Satelliten während eines komplexen Bahnmanövers wird in einer Bezugsebene durch die implizit definierte Kurve mit der Gleichung $x^2 y - 3y^3 x = 10$ beschrieben. Berechnen Sie den Wert der Steigung der Bahn, $y'$, im Punkt mit den Koordinaten $(-2|1)$.

Es seien $f(x)$ und $g(x)$ zwei Funktionen, deren Graphen in der Abbildung dargestellt sind. Der Graph von $f$ ist die Parabel $f(x)=-x^2+6x-3$, die durch die Punkte $(2|5)$ und $(4|5)$ verläuft. Der Graph von $g$ ist die Gerade durch die Punkte $(2|4)$ und $(4|2)$. Es werden die verkettete Funktion $h(x)=f(g(x))$ und die Produktfunktion $p(x)=f(x)\cdot g(x)$ definiert.

Berechnen Sie die exakten Werte von:

1. a) $h'(2)$

1. b) $p'(4)$

Die Intensität eines elektromagnetischen Signals, das beim Durchgang durch ein dichtes Medium abgeschwächt wird, folgt der Funktion $I(x) = x e^{-x}$. Berechnen Sie die ersten drei Ableitungen $I'(x)$, $I''(x)$ und $I'''(x)$ und leiten Sie aus den Ergebnissen die allgemeine Formel für die n-te Ableitung $I^{(n)}(x)$ her und schreiben Sie sie auf.

In einem RLC-Wechselstromkreis wird die Ladung des Kondensators durch die Funktion $q(t) = e^{-\alpha t} (A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t))$ beschrieben. Zeigen Sie durch ausführliche Berechnung von $q'(t)$ und $q''(t)$, dass die Funktion für die Konstanten $A=1$, $B=0$, $\alpha=2$ und $\omega=3$ die Differenzialgleichung zweiter Ordnung erfüllt:

Der Schalldruckpegel in einem schalltoten Raum nach Anwendung eines Frequenzfilters ist durch die Funktion gegeben:

Zeigen Sie, indem Sie vor dem Ableiten die Logarithmusgesetze und im Endergebnis trigonometrische Identitäten verwenden, dass $L'(x) = \frac{2}{\cos(2x)}$.

Eine Funktion $h(x)$ ist durch das Produkt $h(x) = x^2 \cdot g(x)$ definiert, wobei $g(x)$ eine auf ganz $\mathbb{R}$ differenzierbare Funktion ist, deren Funktionsterm nicht direkt bekannt ist. Experimentell wurde jedoch festgestellt, dass die Tangente an den Graphen von $h(x)$ an der Stelle $x = 3$ die Gleichung $y = 12x - 9$ hat.

1. a) Leiten Sie aus der Tangentengleichung begründet die exakten Zahlenwerte von $h(3)$ und der Ableitung $h'(3)$ her.
2. b) Wenden Sie die Produktregel auf den Term $h(x) = x^2 \cdot g(x)$ an, um eine algebraische Beziehung zwischen $h'(3)$, $g(3)$ und $g'(3)$ aufzustellen. Lösen Sie nach den gesuchten Größen auf und berechnen Sie den exakten Wert von $g(3)$ und von $g'(3)$.
3. c) Begründen Sie anhand des Vorzeichens von $g'(3)$, ob die Funktion $g(x)$ in der Umgebung von $x = 3$ monoton steigend oder fallend ist.
4. d) Geben Sie mit den hergeleiteten Ergebnissen die Gleichung der Tangente an den Graphen von $y = g(x)$ an der Stelle $x = 3$ an.

In den Unterlagen wird begründet, dass ein Quotient dem Produkt $\frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot [g(x)]^{-1}$ entspricht, sodass sich seine Ableitung aus der Kombination von Produktregel und Kettenregel ergibt.

1. a) Führen Sie diese Herleitung formal durch: Leiten Sie den Term $f(x) \cdot [g(x)]^{-1}$ mit der Produktregel und der Kettenregel für $[g(x)]^{-1}$ ab, klammern Sie $[g(x)]^{-2}$ aus und zeigen Sie, dass sich genau die übliche Formel ergibt: $\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$.
2. b) Verallgemeinern Sie die Überlegung: Zeigen Sie, dass sich die Ableitung einer Funktion der Form $H(x) = \frac{f(x)}{[g(x)]^n}$ (wobei $n \in \mathbb{N}$) direkt wie folgt darstellen lässt:

1. c) Wenden Sie die in Teilaufgabe b hergeleitete Formel an, um die Ableitung von $k(x) = \frac{2x - 1}{(x^2 + 3)^3}$ zu bestimmen.
2. d) Wählen Sie aus und begründen Sie: Vergleichen Sie dieses Vorgehen mit der herkömmlichen Quotientenregel für $k(x)$ und begründen Sie, warum die verallgemeinerte Formel umständliches Kürzen mehrfach auftretender Faktoren in Zähler und Nenner vermeidet.