Aufgaben: Atomkerne und Stabilität von Isotopen

Das Kalium in Bananen enthält einen kleinen Anteil des Isotops Kalium-40, dessen Kern die Ordnungszahl $Z = 19$ und die Massenzahl $A = 40$ hat.

1. a) Geben Sie an, wie viele Protonen und wie viele Neutronen dieser Kern hat.
2. b) Schreiben Sie sein Symbol in der Schreibweise ${}^{A}_{Z}\text{X}$.
3. c) Wie viele Elektronen hat das neutrale Kalium-40-Atom? Begründen Sie Ihre Antwort.

In einem Heliumkern befinden sich zwei Protonen auf engem Raum mit einem Durchmesser von etwa $10^{-15}\ \text{m}$. Da beide positiv geladen sind, stoßen sie sich elektrisch mit beträchtlicher Kraft ab; dennoch zerfällt der Kern nicht.

1. a) Erklären Sie, was die starke Kernkraft ist und warum sie den Kern zusammenhalten kann.
2. b) Begründen Sie, warum Kerne mit zu vielen Protonen trotz dieser Kraft schließlich instabil werden.

Kohlenstoff hat drei natürliche Isotope: Kohlenstoff-12, Kohlenstoff-13 und Kohlenstoff-14, alle mit $Z = 6$.

1. a) Erklären Sie, was es bedeutet, dass zwei Kerne Isotope sind.
2. b) Berechnen Sie die Neutronenzahl des Kerns jedes der drei Isotope.
3. c) Haben die drei Isotope dieselben chemischen Eigenschaften? Begründen Sie mit Blick auf ihre Elektronen.

Die atomare Masseneinheit (u) ist definiert als der zwölfte Teil der Masse eines Kohlenstoff-12-Atoms und entspricht $1\ \text{u} = 1,66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Die Masse des Sauerstoff-16-Kerns beträgt etwa $16\ \text{u}$: Geben Sie sie in Kilogramm in wissenschaftlicher Schreibweise an.
2. b) Begründen Sie, warum es in der Kernphysik bequemer ist, in der Einheit u statt in Kilogramm zu rechnen.

Von den rund $3000$ bekannten Nukliden sind nur etwa $250$ stabil; der Rest zerfällt früher oder später.

1. a) Erklären Sie, was es bedeutet, dass ein Kern stabil ist, und was mit einem instabilen Kern geschieht.
2. b) In stabilen leichten Kernen sind die Neutronenzahl $N$ und die Protonenzahl $Z$ fast gleich: Geben Sie an, wie groß das Verhältnis $\frac{N}{Z}$ in diesen Kernen ungefähr ist.

Der Radius eines Atoms liegt in der Größenordnung $10^{-10}\ \text{m}$, der seines Kerns in der Größenordnung $10^{-15}\ \text{m}$, wie die Abbildung zeigt.

1. a) Berechnen Sie, um das Wievielfache der Atomradius größer ist als der Kernradius.
2. b) Das Volumen einer Kugel ist proportional zur dritten Potenz des Radius: Schätzen Sie ab, um das Wievielfache das Atomvolumen größer ist als das Kernvolumen.
3. c) Erklären Sie anhand des Ergebnisses, warum man sagt, das Atom sei fast leer.

Präzisionsmessungen zeigen, dass die Masse eines Helium-4-Kerns kleiner ist als die Summe der einzeln gemessenen Massen seiner zwei Protonen und zwei Neutronen.

1. a) Erklären Sie, was der Massendefekt eines Kerns ist.
2. b) In was wurde die „fehlende“ Masse umgewandelt? Nennen Sie in Ihrer Erklärung die Einstein-Beziehung $E = \Delta m \cdot c^2$.

Die Bindungsenergie pro Nukleon ist die mittlere Energie, die nötig ist, um ein Nukleon aus einem Kern herauszulösen.

1. a) Definieren Sie, was die Bindungsenergie eines Kerns ist.
2. b) Die Bindungsenergie pro Nukleon ist bei Kernen mittlerer Masse wie Eisen am größten und bei sehr leichten und sehr schweren Kernen kleiner: Begründen Sie, welche Kerne am stabilsten sind.

Betrachten Sie diese fünf Nuklide: ${}^{14}_{6}\text{C}$, ${}^{14}_{7}\text{N}$, ${}^{12}_{6}\text{C}$, ${}^{16}_{8}\text{O}$ und ${}^{15}_{7}\text{N}$.

1. a) Berechnen Sie jeweils die Protonen- und Neutronenzahl.
2. b) Geben Sie an, welche Paare Isotope sind (gleiches $Z$) und welches Paar Isobare sind (gleiches $A$).
3. c) Nennen Sie zwei Nuklide mit gleicher Neutronenzahl (Isotone).

Gegeben: Masse des Protons $m_p = 1,0073\ \text{u}$, Masse des Neutrons $m_n = 1,0087\ \text{u}$, Masse des Helium-4-Kerns $m_{\alpha} = 4,0015\ \text{u}$ und $1\ \text{u} = 1,66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Berechnen Sie die Summe der Massen der zwei Protonen und zwei Neutronen, aus denen der Helium-4-Kern besteht, einzeln gemessen.
2. b) Berechnen Sie den Massendefekt $\Delta m$ des Kerns in der Einheit u.
3. c) Geben Sie diesen Massendefekt in Kilogramm in wissenschaftlicher Schreibweise an.

Der Massendefekt des Helium-4-Kerns beträgt $\Delta m = 0,0305\ \text{u}$, äquivalent zu $5,06 \cdot 10^{-29}\ \text{kg}$. Gegeben: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ und $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Berechnen Sie die Bindungsenergie des Kerns mit der Einstein-Beziehung $E = \Delta m \cdot c^2$ in Joule.
2. b) Rechnen Sie das Ergebnis in $\text{MeV}$ um (beachten Sie, dass $1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$).
3. c) Berechnen Sie die Bindungsenergie pro Nukleon von Helium-4.

In Nuklidtabellen liest man, dass die Bindungsenergie pro Nukleon bei Eisen-56 $8,8\ \text{MeV}$ und bei Uran-235 $7,6\ \text{MeV}$ beträgt, wie die Abbildung zeigt.

1. a) Berechnen Sie die gesamte Bindungsenergie dieser beiden Kerne.
2. b) Erklären Sie, warum Eisen-56 stabiler ist als Uran-235, obwohl seine gesamte Bindungsenergie kleiner ist.
3. c) Setzen Sie das Ergebnis dazu in Beziehung, dass Uran-235 bei der Spaltung Energie freisetzt.

Zwei Protonen in einem Kern haben einen Abstand von $10^{-15}\ \text{m}$, wie die Abbildung zeigt. Gegeben: Coulomb-Konstante $K = 9 \cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ und Ladung des Protons $e = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

1. a) Berechnen Sie die elektrische Abstoßungskraft zwischen ihnen mit dem coulombschen Gesetz $F = K \cdot \frac{e^2}{r^2}$.
2. b) Der erhaltene Wert ist für eine Kraft zwischen Teilchen enorm: Erklären Sie, welche Schlussfolgerung sich daraus für die Stärke der starken Kernkraft ergibt, die sie zusammenhält.

Das Verhältnis $\frac{N}{Z}$ stabiler Kerne beträgt bei leichten Kernen etwa $1$ und steigt bei den schwersten auf etwa $1,5$, wie die Abbildung zeigt.

Berechnen Sie das Verhältnis $\frac{N}{Z}$ jedes dieser Nuklide und sagen Sie durch Vergleich mit diesem Trend voraus, ob sie voraussichtlich stabil oder instabil sind:

1. a) ${}^{12}_{6}\text{C}$
2. b) ${}^{14}_{6}\text{C}$
3. c) ${}^{206}_{82}\text{Pb}$
4. d) ${}^{238}_{92}\text{U}$

Marie Curie isolierte Radium im Jahr $1898$, und jahrzehntelang diente die Aktivität von $1\ \text{g}$ Radium-226 als Maßeinheit, das Curie. Gegeben: $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ und molare Masse von Radium-226: $226\ \text{g/mol}$.

1. a) Berechnen Sie, wie viele Radium-226-Kerne in einer Probe von $1\ \text{mg}$ enthalten sind.
2. b) Berechnen Sie, wie viele Kerne in $1\ \text{g}$ enthalten sind, der Menge, die das Curie definierte.

In der Kernphysik verwendet man die Äquivalenz von Masse und Energie $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) Der Massendefekt von Deuterium (Wasserstoff-2-Kern) beträgt $\Delta m = 0,0024\ \text{u}$: Berechnen Sie seine Bindungsenergie in $\text{MeV}$.
2. b) Berechnen Sie seine Bindungsenergie pro Nukleon und vergleichen Sie sie mit der von Eisen-56 ($8,8\ \text{MeV}$ pro Nukleon): Begründen Sie, welcher der beiden Kerne stabiler ist.

Gegeben: Masse des Protons $m_p = 1,0073\ \text{u}$, Masse des Neutrons $m_n = 1,0087\ \text{u}$, Masse des Eisen-56-Kerns $m(\text{Fe}) = 55,9207\ \text{u}$ und $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) Eisen-56 hat $Z = 26$: Geben Sie an, wie viele Protonen und Neutronen sein Kern enthält.
2. b) Berechnen Sie seinen Massendefekt in der Einheit u.
3. c) Berechnen Sie seine gesamte Bindungsenergie und seine Bindungsenergie pro Nukleon in $\text{MeV}$.
4. d) Die Bindungsenergie pro Nukleon von Kohlenstoff-12 beträgt $7,7\ \text{MeV}$. Begründen Sie, welcher der beiden Kerne stabiler ist und welcher Prozess, Fusion oder Spaltung, ausgehend von jedem Kern Energie freisetzen könnte.

Die Kurve der Bindungsenergie pro Nukleon in Abhängigkeit von der Massenzahl $A$ steigt von den leichtesten Kernen aus steil an, erreicht ein Maximum bei Eisen-56 ($8,8\ \text{MeV}$ pro Nukleon) und fällt danach sanft bis auf etwa $7,6\ \text{MeV}$ bei Uran-235 ab.

1. a) Skizzieren Sie diese Kurve in Ihrem Heft und markieren Sie das Maximum sowie die Bereiche der leichten und schweren Kerne.
2. b) Erklären Sie anhand der Kurvenform, warum die Fusion leichter Kerne Energie freisetzt.
3. c) Erklären Sie mit demselben Argument, warum auch die Spaltung sehr schwerer Kerne Energie freisetzt.
4. d) Begründen Sie, warum man weder durch Fusion noch durch Spaltung von Eisenkernen Energie gewinnen kann.

Sie können es auf Papier bearbeiten und ein Foto mit Ihrer Antwort einsenden.

Die gesamte Bindungsenergie von Tritium (Wasserstoff-3-Kern) beträgt $8,48\ \text{MeV}$. Gegeben: $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$, $m_p = 1,0073\ \text{u}$ und $m_n = 1,0087\ \text{u}$.

1. a) Berechnen Sie den Massendefekt von Tritium in der Einheit u.
2. b) Tritium hat ein Proton und zwei Neutronen: Berechnen Sie die Masse seines Kerns.
3. c) Berechnen Sie seine Bindungsenergie pro Nukleon und begründen Sie im Vergleich mit der von Helium-4 ($7,1\ \text{MeV}$), warum die Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium Energie freisetzt.

Sauerstoff hat nur drei stabile Isotope: ${}^{16}_{8}\text{O}$, ${}^{17}_{8}\text{O}$ und ${}^{18}_{8}\text{O}$. Isotope mit Neutronenüberschuss zerfallen tendenziell durch β⁻-Zerfall ($\beta^{-}$: ein Neutron wandelt sich in ein Proton um), solche mit Neutronenmangel durch β⁺-Zerfall ($\beta^{+}$: ein Proton wandelt sich in ein Neutron um).

1. a) Berechnen Sie das Verhältnis $\frac{N}{Z}$ von ${}^{14}_{8}\text{O}$ und ${}^{21}_{8}\text{O}$ und vergleichen Sie es mit dem von ${}^{16}_{8}\text{O}$.
2. b) Sagen Sie voraus, welche Zerfallsart jedes dieser beiden instabilen Isotope durchläuft, und begründen Sie Ihre Antwort.
3. c) Schreiben Sie die Gleichung jedes Prozesses und bestimmen Sie das jeweils entstehende Tochternuklid.

Kurz nach dem Urknall verbanden sich die Protonen und Neutronen des frühen Universums zu Deuterium, wobei bei jeder Verbindung ein Gammaphoton ausgesandt wurde. Gegeben: $m_p = 1,0073\ \text{u}$, $m_n = 1,0087\ \text{u}$, Masse des Deuteriumkerns $m_d = 2,0136\ \text{u}$ und $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) Berechnen Sie den Massendefekt des Prozesses, bei dem ein Proton und ein Neutron einen Deuteriumkern bilden.
2. b) Berechnen Sie die bei der Bildung jedes Deuteriumkerns freigesetzte Energie in $\text{MeV}$.
3. c) Wohin gelangt diese Energie? Erklären Sie die Rolle des ausgesandten Gammaphotons.

Der Radius eines Kerns lässt sich mit dem Ausdruck $R = R_0 \cdot A^{1/3}$ abschätzen, wobei $R_0 = 1,2 \cdot 10^{-15}\ \text{m}$ und $A$ die Massenzahl ist. Verwenden Sie für Eisen-56 $A^{1/3} \approx 3,8$ und eine Kernmasse von $9,3 \cdot 10^{-26}\ \text{kg}$. Das Volumen einer Kugel ist $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3$, mit $\pi \approx 3,14$.

1. a) Berechnen Sie den Radius des Eisen-56-Kerns.
2. b) Berechnen Sie sein Volumen und seine Dichte in $\text{kg/m}^3$.
3. c) Die Materie eines Neutronensterns hat eine ähnliche Dichte wie die Kernmaterie: Berechnen Sie die Masse, die ein Teelöffel von $5\ \text{cm}^3$ dieser Materie hätte, und kommentieren Sie das Ergebnis.

Wenn ein massereicher Stern den Brennstoff in seinem Kern aufgebraucht hat, erzeugt er schließlich Eisen-56, ein Nuklid, das praktisch im Maximum der Bindungsenergie pro Nukleon liegt.

1. a) Erklären Sie anhand der Kurve der Bindungsenergie pro Nukleon, warum die Fusion von Eisen keine Energie freisetzt, sondern verbraucht.
2. b) Begründen Sie, welche Folgen das für den Stern hat, der in seinem Kern keine Energiequelle mehr besitzt.
3. c) Elemente, die schwerer als Eisen sind, entstehen vor allem durch Neutroneneinfang bei Supernova-Explosionen: Erklären Sie, warum diese Elemente im Universum viel seltener sind als Eisen.

Der gesamte in Spanien in einem Jahr verbrauchte Strom liegt in der Größenordnung $9 \cdot 10^{17}\ \text{J}$. Gegeben: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Angenommen, diese Energie würde durch direkte Umwandlung von Masse in Energie mit einem Wirkungsgrad von $100\ \%$ gewonnen: Berechnen Sie mit $E = \Delta m \cdot c^2$ die Masse, die umgewandelt werden müsste.
2. b) Kommentieren Sie das Ergebnis: Erscheint Ihnen das viel oder wenig Masse, um ein ganzes Land ein Jahr lang mit Strom zu versorgen?
3. c) Ein Schüler behauptet: „Bei Kernreaktionen bleibt die Masse erhalten, genau wie bei chemischen Reaktionen.“ Korrigieren Sie seine Aussage und erklären Sie, was bei einer Kernreaktion tatsächlich erhalten bleibt.