Aufgaben: Skalarprodukt

Ein Ingenieurteam entwirft die Konstruktion einer Halterung für eine Telekommunikationsantenne. Es hat zwei Haltekabel festgelegt, die durch die Vektoren $\vec{u} = (2, -3, 1)$ und $\vec{v} = (4, 2, 5)$ dargestellt werden. Berechnen Sie das Skalarprodukt beider Vektoren, um den Winkel am zentralen Knoten zu untersuchen.

Zwei Überwachungsdrohnen befinden sich an festen Positionen im Raum. Die erste Drohne ist im Punkt $A(1|2|-1)$, die zweite im Punkt $B(3|-2|2)$. Die Kontrollstation liegt im Koordinatenursprung $O(0|0|0)$. Berechnen Sie den Betrag des Ortsvektors jeder Drohne, $|\vec{OA}|$ und $|\vec{OB}|$.

Bestimmen Sie den Wert des reellen Parameters $k$ so, dass die Vektoren $\vec{a} = (k, 4, -2)$ und $\vec{b} = (3, -2, 5)$ senkrecht (orthogonal) zueinander sind. Berechnungen dieser Art sind in der Spieleprogrammierung grundlegend, um Kollisionen zwischen Oberflächen zu erkennen.

Bei einer Attraktion in einem Freizeitpark ziehen zwei Seile an einer Gondel. Die Richtungen der Seile sind durch die Vektoren $\vec{u} = (1, 0, 1)$ und $\vec{v} = (0, 1, 1)$ gegeben. Bestimmen Sie mithilfe der Definition des Skalarprodukts den Winkel $\alpha$ zwischen beiden Seilen.

Ein Windvektor hat die Komponenten $\vec{w} = (3, -4, 12)$. In der Meteorologie arbeitet man sinnvollerweise mit normierten Richtungen. Berechnen Sie den Einheitsvektor $\vec{u_w}$ mit derselben Richtung und demselben Richtungssinn wie $\vec{w}$.

Gegeben ist der Vektor $\vec{a} = (6, 2, -3)$. Berechnen Sie seine skalare Projektion auf die Abszissenachse ($X$-Achse). Verwenden Sie dazu das Skalarprodukt von $\vec{a}$ mit dem Einheitsvektor dieser Achse, $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Stellen Sie die Idee der Projektion grafisch dar.

Sie können es auf Papier lösen und ein Foto Ihrer Antwort einsenden.

Gegeben sind die Punkte $A(1|1|1)$, $B(3|1|1)$ und $C(1|4|1)$.

1. a) Bestimmen Sie die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$.
2. b) Berechnen Sie ihr Skalarprodukt $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
3. c) Begründen Sie, ob das Dreieck $ABC$ am Eckpunkt $A$ einen rechten Winkel hat.

In der Physik ist die von einer konstanten Kraft verrichtete Arbeit als Skalarprodukt aus Kraftvektor und Verschiebungsvektor definiert: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Eine Kraft $\vec{F} = (5, 3, 2)$ Newton verschiebt einen Körper vom Punkt $P(0|0|0)$ zum Punkt $Q(2|4|1)$ (in Metern). Berechnen Sie die verrichtete Arbeit in Joule.

Emilia soll die skalare Projektion des Vektors $\vec{a} = (3, -1, 2)$ auf den Vektor $\vec{b} = (1, 2, -2)$ berechnen und daraus folgern, ob der eingeschlossene Winkel spitz, rechtwinklig oder stumpf ist. In ihrer Klausur schreibt sie Folgendes:

„Wir berechnen die Projektion: $\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|} = \frac{3\cdot 1 + (-1)\cdot 2 + 2\cdot(-2)}{\sqrt{3^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{3-2-4}{\sqrt{14}} = \frac{-3}{\sqrt{14}}$. Da eine Projektion eine geometrische Größe darstellt, kann sie nicht negativ sein, daher ist das richtige Ergebnis $\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{3}{\sqrt{14}}$. Außerdem zeigt die Tatsache, dass es sich um eine positive Größe handelt, dass der Winkel zwischen $\vec{a}$ und $\vec{b}$ spitz ist.“

Identifizieren Sie begründet die drei begrifflichen Fehler von Emilia (in der verwendeten Formel, in der Deutung des Vorzeichens der Projektion und in der Schlussfolgerung über den Winkel), erklären Sie, warum sie falsch sind, und formulieren Sie die korrigierte Lösung.

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (4, 1, 1)$ und $\vec{v} = (-1, 5, 2)$:

1. a) Bevor Sie exakte Berechnungen durchführen:

• Betrachten Sie die Vorzeichen und Größen der einander entsprechenden Komponenten und schätzen Sie begründet ab, ob das Skalarprodukt $\vec{u}\cdot\vec{v}$ positiv, negativ oder sehr nahe bei null sein wird. Sagen Sie daraus voraus, ob der Winkel $\alpha$ zwischen beiden spitz, stumpf oder fast rechtwinklig sein wird.

• Da $\vec{u}$ fast sein gesamtes Gewicht auf der $X$-Achse hat und $\vec{v}$ auf der $Y$-Achse, schätzen Sie ab, ob der „Schatten“ bzw. die skalare Projektion von $\vec{u}$ auf $\vec{v}$ im Vergleich zur Länge von $\vec{v}$ groß oder klein sein wird.

1. b) Berechnen Sie nun das Skalarprodukt $\vec{u}\cdot\vec{v}$, die Beträge $|\vec{u}|$ und $|\vec{v}|$, den exakten Winkel $\alpha$ (auf ganze Grad gerundet) und die skalare Projektion $\text{proj}_{\vec{v}}\vec{u}$.
2. c) Vergleichen Sie die erhaltenen Zahlenwerte mit Ihren Schätzungen aus Teil a) und beurteilen Sie, ob Ihre anfängliche geometrische Intuition zutreffend war.

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (m, 2, -1)$ und $\vec{v} = (3, m, m+2)$. Bestimmen Sie die Werte des reellen Parameters $m$, für die beide Vektoren orthogonal zueinander sind. Falls es mehrere Werte gibt, erklären Sie, ob die sich ergebenden Vektoren in jedem Fall denselben Betrag haben.

Seien $\vec{u}$ und $\vec{v}$ zwei Vektoren im Raum mit den Beträgen $|\vec{u}| = 4$ und $|\vec{v}| = 3$. Der eingeschlossene Winkel beträgt $60^\circ$. Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$ und $\vec{b} = \vec{u} + 3\vec{v}$ mithilfe der Distributivität und der Kommutativität.

Berechne die skalare Projektion und die Vektorprojektion des Vektors $\vec{a} = (1, -2, 5)$ auf den Vektor $\vec{b} = (3, 0, 4)$.

1. a) Berechne die skalare Projektion von $\vec{a}$ auf $\vec{b}$.

1. b) Berechne die Vektorprojektion von $\vec{a}$ auf $\vec{b}$.

1. c) Deute grafisch, ob der Projektionsvektor dieselbe Richtung wie $\vec{b}$ hat, und stütze dich dabei auf das Vorzeichen des Skalarprodukts $\vec{a}\cdot\vec{b}$, das du erhalten hast.

Die Eckpunkte eines Dreiecks im Raum sind $A(1|2|1)$, $B(3|-1|0)$ und $C(-1|0|4)$.

• a) Berechnen Sie den Innenwinkel am Eckpunkt $A$.

• b) Bestimmen Sie mithilfe des Skalarprodukts, ob das Dreieck spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ist.

Ein Vektor $\vec{w}$ hat den Betrag 10, und seine ersten beiden Richtungskosinus sind $\cos \alpha = 0,6$ und $\cos \beta = -0,8$.

• a) Bestimmen Sie den dritten Richtungskosinus $\cos \gamma$.

• b) Bestimmen Sie die Komponenten des Vektors $\vec{w}$.

In einer Ingenieurkonstruktion verschiebt eine Kraft $\vec{F} = (4, -3, 2)$ Newton einen Punkt von der Position $P(1|1|1)$ nach $Q(5|2|-3)$ (Koordinaten in Metern). Berechnen Sie die von der Kraft verrichtete Arbeit; beachten Sie dabei, dass die Arbeit das Skalarprodukt aus Kraftvektor und Verschiebungsvektor $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ ist.

Bestimmen Sie den Wert von $k$ so, dass der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u} = (1, 1, 0)$ und $\vec{v} = (0, 1, k)$ genau $45^\circ$ beträgt. Begründen Sie, ob der erhaltene Wert von $k$ eindeutig ist oder ob es mehrere mögliche Orientierungen für den Vektor $\vec{v}$ gibt.

Seien $\vec{u}$ und $\vec{v}$ zwei Einheitsvektoren. Beweisen Sie, dass der Summenvektor $\vec{u} + \vec{v}$ und der Differenzvektor $\vec{u} - \vec{v}$ stets senkrecht zueinander sind, unabhängig von den Komponenten dieser Vektoren. Erklären Sie mithilfe dieses Ergebnisses die geometrische Beziehung zwischen den Diagonalen einer Raute.

Bestimmen Sie alle Vektoren $\vec{w} = (x, y, z)$ im Raum, die gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

1. Er ist orthogonal zum Vektor $\vec{u} = (1, 1, 0)$.

2. Er schließt mit dem Vektor $\vec{v} = (0, 1, 1)$ einen Winkel von $45^\circ$ ein.

3. Sein Betrag ist $|\vec{w}| = \sqrt{6}$.

Erklären Sie nach der Bestimmung der Vektoren mit geometrischen Argumenten, warum die Aufgabe genau zwei verschiedene Lösungen hat (deuten Sie den geometrischen Schnitt aus Orthogonalitätsebene, Kegel mit konstantem Winkel und Kugel mit festem Radius).

Auf einer Photovoltaikanlage in der Eifel sind die Module auf einem festen Gestell montiert, dessen Ausrichtung durch den normierten Normalenvektor $\vec{n} = (0; 0,6; 0,8)$ bezüglich eines Koordinatensystems gegeben ist, in dem die positive $X$-Achse nach Osten, die positive $Y$-Achse nach Norden und die positive $Z$-Achse zum Zenit (senkrecht nach oben) zeigt. Um 14:00 Uhr an einem Frühlingstag fällt die Sonnenstrahlung in Richtung des Einheitsvektors $\vec{s} = (0,3; -0,4; -0,866)$ ein (in Ausbreitungsrichtung der Strahlen zum Boden hin orientiert).

1. a) Modellieren Sie die Richtung der Sonnenstrahlen relativ zum Modul: Bestimmen Sie den Einheitsvektor, der zur Sonne zeigt, $\vec{u}_{\text{Sonne}} = -\vec{s}$, und berechnen Sie mithilfe des Skalarprodukts den Einfallswinkel $\theta$ zwischen den Strahlen und dem Normalenvektor $\vec{n}$ des Moduls.
2. b) Die momentan erzeugte Leistung der Anlage wird modelliert durch $P = P_{\text{max}}\cdot \cos\theta$, wobei $P_{\text{max}} = 20\text{ kW}$ dem optimalen Fall entspricht, in dem die Strahlen senkrecht auf das Modul treffen. Berechnen Sie die Leistung, die die Anlage zu dieser Uhrzeit erzeugt.
3. c) Begründen Sie anhand der Formel des Skalarprodukts, wie der Normalenvektor des Moduls zu dieser Uhrzeit neu ausgerichtet werden müsste, um die maximale Leistung zu erreichen.

Ein Ingenieurteam kalibriert den Lagesensor einer Inspektionsdrohne für die Industrie. Das Koordinatensystem ist an der Startbasis fixiert. Die Hauptachse der Drohne soll der Richtung eines Vektors $\vec{w}$ folgen, der gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

1. Der Vektor $\vec{w}$ muss ein Einheitsvektor sein.

2. $\vec{w}$ muss orthogonal zum Vektor $\vec{u} = (1, -2, 2)$ sein, der die Richtung des vorherrschenden Windes darstellt.

3. Der Winkel, den $\vec{w}$ mit dem Ortsvektor des Ziels $\vec{v} = (0, 3, 4)$ bildet, muss $45^\circ$ betragen.

Bestimmen Sie die Koordinaten der möglichen Vektoren $\vec{w}$, die die Navigationssoftware der Drohne verwenden kann.

Gegeben ist ein Tetraeder mit den Eckpunkten $O(0|0|0)$, $A(a|0|0)$, $B(0|b|0)$ und $C(0|0|c)$ mit $a, b, c > 0$. Sei $M$ der Mittelpunkt der Strecke $BC$.

1. a) Zeigen Sie ausschließlich mithilfe des Skalarprodukts, dass der Vektor $\vec{AM}$ genau dann senkrecht zur Strecke $BC$ steht, wenn die Katheten der Grundfläche auf den Achsen $Y$ und $Z$ gleich lang sind ($b = c$).

1. b) Berechnen Sie für festes $a=4$, $b=2$ und $c=2$ die orthogonale Projektion des Vektors $\vec{OA}$ auf die durch den Vektor $\vec{AB}$ gegebene Richtung. Geben Sie das Ergebnis als Vektor an.

Beim Entwurf einer modernen Tragwerkskonstruktion soll ein Spannseil einen festen Punkt $P(1|2|3)$ mit einem veränderlichen Punkt $Q$ verbinden, der auf einem Metallträger liegt, dessen Verlauf durch die Gerade $r: (x, y, z) = (2, 0, 1) + \lambda(1, -1, 0)$ gegeben ist.

Das Seil soll möglichst kurz sein. Verwenden Sie die Begriffe Skalarprodukt und Projektion, um:

1. a) die Koordinaten des Punktes $Q$ zu bestimmen, der die Länge des Seils minimiert.
2. b) nachzuweisen, dass für diesen Punkt der Vektor $\vec{PQ}$ senkrecht zum Richtungsvektor des Trägers $r$ steht.

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (m, 1, 1)$ und $\vec{v} = (1, m, 1)$. Aufgaben:

1. a) Bestimmen Sie die Werte des reellen Parameters $m$, für die der von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ gebildete Winkel genau $60^\circ$ beträgt.

1. b) Bestimmen Sie für den Wert $m=0$ einen Vektor $\vec{w}$ mit dem Betrag $\sqrt{6}$, der eine Linearkombination von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist und zusätzlich orthogonal zum Vektor $\vec{a} = (1, 1, -1)$ steht.

Zeigen Sie mithilfe der Eigenschaften des Skalarprodukts, dass für je zwei Vektoren $\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^3$ die folgende Identität gilt (bekannt als Polarisationsidentität):

Verwenden Sie dieses Ergebnis anschließend, um das Skalarprodukt zweier Vektoren zu berechnen, deren Summe und Differenz die Beträge $|\vec{x} + \vec{y}| = 10$ und $|\vec{x} - \vec{y}| = 6$ haben. Welchen Winkel schließen diese Vektoren ein, wenn wir außerdem wissen, dass ihre Beträge gleich sind?

Ein künstlicher Satellit bewegt sich auf einer geradlinigen Bahn. In einem bestimmten Augenblick ist sein Ortsvektor $\vec{r} = (2, 2, 1)$ und sein Geschwindigkeitsvektor $\vec{v} = (1, -2, 2)$. Eine Kontrollstation auf der Erde sendet ein Funksignal, dessen Richtung durch den Vektor $\vec{s} = (k, 1, 0)$ gegeben ist.

Berechnen Sie den Wert des Parameters $k$ so, dass die Projektion der Satellitengeschwindigkeit auf die Richtung des Funksignals null ist. Deuten Sie physikalisch, was es bedeutet, dass diese Projektion null ist, im Hinblick auf die Annäherung bzw. Entfernung des Satelliten von der Signalquelle.

Sei $B = \{ \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3 \}$ eine Basis von $\mathbb{R}^3$, die nicht notwendigerweise orthonormal ist. Bekannt sind die folgenden Skalarprodukte zwischen den Basisvektoren:

• $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 = 2$, $\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 = 1$, $\vec{e}_3 \cdot \vec{e}_3 = 3$

• $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = -1$, $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 = 0$, $\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 = 1$

Berechnen Sie den Betrag des Vektors $\vec{u} = 2\vec{e}_1 - 3\vec{e}_2 + \vec{e}_3$ und bestimmen Sie den Kosinus des Winkels, den dieser Vektor $\vec{u}$ mit dem Vektor $\vec{e}_1$ einschließt.

Betrachten Sie die Punkte $A(1|0|-1)$ und $B(3|2|1)$ des Raumes. Sei $r$ die Gerade, die durch den Punkt $C(0|4|3)$ verläuft und den Vektor $\vec{d} = (1, 1, 1)$ als Richtung hat.

Untersuchen Sie, ob es einen Punkt $P$ auf der Geraden $r$ gibt, sodass die Vektoren $\vec{AP}$ und $\vec{BP}$ orthogonal zueinander sind. Gibt es genau eine Lösung? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie die entstehende quadratische Gleichung analysieren.

Gegeben sind zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ im Raum mit $|\vec{u}| = 3$, $|\vec{v}| = 5$ und dem eingeschlossenen Winkel $\alpha = 120^\circ$. Der Vektor $\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}$ sei als Linearkombination definiert. Gesucht sind der Betrag von $\vec{w}$ und der Winkel $\beta$, den $\vec{w}$ mit $\vec{u}$ einschließt. Zur Lösung werden zwei Strategien vorgeschlagen:

• Methode 1 (analytisch mit Koordinaten): Ein geeignetes kartesisches Koordinatensystem festlegen, in dem $\vec{u} = (3, 0, 0)$ und $\vec{v} = (5\cos 120^\circ, 5\sin 120^\circ, 0) = (-2,5; 2,5\sqrt{3}; 0)$ gilt, die Komponenten von $\vec{w}$ berechnen und die üblichen Formeln in Koordinaten anwenden.

• Methode 2 (algebraisch, koordinatenfrei): $|\vec{w}|^2 = (2\vec{u}-3\vec{v})\cdot(2\vec{u}-3\vec{v})$ ausschließlich mithilfe der Eigenschaften des Skalarprodukts (Kommutativität, Distributivität, Herausziehen von Skalaren und $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$) ausmultiplizieren und $\cos\beta = \frac{\vec{w}\cdot\vec{u}}{|\vec{w}|\,|\vec{u}|}$ berechnen, indem der Zähler ohne Einführung von Achsen ausmultipliziert wird.

1. a) Lösen Sie die Aufgabe mit beiden Methoden, bis Sie den exakten Wert von $|\vec{w}|$ und von $\cos\beta$ erhalten.
2. b) Vergleichen Sie beide Methoden kritisch: Welche erfordert weniger Rechenschritte und vermeidet unnötige Wurzeln? Welche zusätzliche Schwierigkeit hätte Methode 1, wenn Sie drei nicht komplanare Vektoren im Raum hätten, von denen nur die Beträge und die Winkel je zweier Vektoren bekannt sind? Begründen Sie, welche Methode konzeptionell leistungsfähiger und in der Mathematik besser verallgemeinerbar ist.

In einer Logistikhalle in Essen übt ein Brückenkran eine Kraft $\vec{F} = (10, -5, 15)\text{ kN}$ auf einen Konstruktionsknoten aus. Ein Führungspfeiler der Verankerung verläuft in Richtung des Vektors $\vec{d} = (1, 2, -2)$.

1. a) Jeder Vektor $\vec{F}$ lässt sich eindeutig als $\vec{F} = \vec{F}_\parallel + \vec{F}_\perp$ zerlegen, wobei $\vec{F}_\parallel$ parallel zu $\vec{d}$ und $\vec{F}_\perp$ orthogonal zu $\vec{d}$ ist. Leiten Sie schlüssig die Vektorformel $\vec{F}_\parallel = \left(\frac{\vec{F}\cdot\vec{d}}{|\vec{d}|^2}\right)\vec{d}$ her, indem Sie $\vec{F}_\parallel = \lambda\vec{d}$ ansetzen und fordern, dass $(\vec{F} - \lambda\vec{d})\cdot\vec{d} = 0$ gilt. Berechnen Sie die exakten Komponenten von $\vec{F}_\parallel$ und $\vec{F}_\perp$.
2. b) Überprüfen Sie explizit, dass $\vec{F}_\perp\cdot\vec{d} = 0$ gilt, und verifizieren Sie, dass die pythagoreische Beziehung $|\vec{F}|^2 = |\vec{F}_\parallel|^2 + |\vec{F}_\perp|^2$ erfüllt ist.
3. c) Die Kraft $\vec{F}$ wird entfernt und eine andere, unbekannte Kraft $\vec{G}$ mit dem Betrag $|\vec{G}| = 10\text{ kN}$ wirkt. Ohne die Komponenten von $\vec{G}$ zu kennen, weiß man, dass sie mit dem Vektor $\vec{d}$ einen stumpfen Winkel einschließt und dass der Betrag ihrer Komponente senkrecht zum Seil $|\vec{G}_\perp| = 6\text{ kN}$ beträgt. Berechnen Sie mithilfe der bewiesenen Vektorbeziehungen den exakten Zahlenwert der skalaren Projektion $\text{proj}_{\vec{d}}\vec{G}$ und des Skalarprodukts $\vec{G}\cdot\vec{d}$ und begründen Sie das erhaltene Vorzeichen sorgfältig.