Aufgaben: Unbestimmtes Integral. Elementare Zerlegung und Grundintegrale

Ein professioneller Skater analysiert die Flugbahn seines letzten Sprungs auf einer Rampe. Die Funktion, die die Änderung seiner Höhe bezüglich der Zeit (Vertikalgeschwindigkeit) beschreibt, ist durch den Term $v(t) = 3t^2 - 4t + 5$ gegeben, dessen Graph in der Abbildung zu sehen ist. Bestimmen Sie die Schar der Funktionen $H(t)$, die die Höhe des Skaters darstellen, indem Sie das unbestimmte Integral berechnen:

Bei der Untersuchung der Verbreitung einer Nachricht in einem sozialen Netzwerk wurde festgestellt, dass die Wachstumsrate der „Shares" einem Potenzgesetz folgt. Um die Gesamtzahl zu ermitteln, muss ein Programmierer das folgende Integral einer Wurzelfunktion lösen. Berechnen Sie es, indem Sie zunächst die Wurzel als gebrochenen Exponenten schreiben:

Entscheiden Sie, ob die Funktion $F(x) = x \cdot e^x$ eine Stammfunktion der Funktion $f(x) = (x+1)e^x$ ist. Nutzen Sie zur Begründung den grundlegenden Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion über die Ableitung.

Eine Hörstudie für Jugendliche untersucht die Intensität eines Schallsignals. Die Funktion, die den momentanen Schalldruck beschreibt, ist $p(x) = \frac{3}{x} + e^{2x}$. Bestimmen Sie die allgemeine Stammfunktion dieser Funktion durch Integration:

Berechnen Sie das unbestimmte Integral der folgenden Kombination aus trigonometrischen Funktionen und Konstanten, indem Sie die Linearitätseigenschaften anwenden (Konstanten herausziehen und Summen aufspalten):

Bestimmen Sie alle Stammfunktionen der Funktion $f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 5}{x^2}$.

Beim Entwurf einer Linse für eine Smartphone-Kamera benötigt man die Krümmungsfunktion. Die Ableitung dieser Funktion ist $g'(x) = \frac{7}{1 + x^2} - 2^x$. Bestimmen Sie den Term der Funktion $g(x)$, indem Sie ihr unbestimmtes Integral berechnen:

Bestimmen Sie die Stammfunktion der Funktion $f(x) = 2x - 6$, deren Graph durch den Punkt $P(3|4)$ verläuft.

Hinweis: Berechnen Sie zuerst das unbestimmte Integral, um die Funktionenschar mit der Konstanten $C$ zu erhalten, und nutzen Sie dann den Punkt $P$, um den konkreten Wert dieser Konstanten zu bestimmen.

Markus soll in einer Klausur das unbestimmte Integral $\int (3x - 2)(2x + 1)\, dx$ berechnen. Auf seinem Blatt schreibt er Folgendes:

1. a) Erklären Sie ausführlich, welchen Denkfehler Markus bei der Anwendung der Linearitätseigenschaft des Integrals macht.
2. b) Zeigen Sie, dass Markus' Ergebnis falsch ist, indem Sie die von ihm erhaltene Funktion ableiten und prüfen, dass sie nicht mit dem Integranden $(3x - 2)(2x + 1)$ übereinstimmt.
3. c) Lösen Sie das Integral korrekt, indem Sie zuerst die algebraische Multiplikation ausführen und anschließend die Regeln für Grundintegrale anwenden.

Betrachten Sie die stetige Funktion $f(x) = 6 - 2x$ und die konkrete Stammfunktion $F(x)$, die die Anfangsbedingung $F(0) = 2$ erfüllt.

1. a) Schätzen: Analysieren Sie, ohne den Term von $F(x)$ zu berechnen, begründet das Vorzeichen von $f(x)$ im Intervall $[0;3]$ und im Intervall $[3;4]$. Schätzen Sie anhand des Monotonieverhaltens von $F(x)$ und unter Berücksichtigung dessen, dass $f(x)$ symmetrisch zu ihrer Nullstelle $x = 3$ ist, ab, ob der Wert von $F(4)$ größer, kleiner oder gleich $F(0)$ sein wird.
2. b) Berechnen: Bestimmen Sie die allgemeine Schar der Stammfunktionen von $f(x)$ durch elementare Zerlegung und ermitteln Sie die spezielle Stammfunktion $F(x)$, die durch $(0|2)$ verläuft.
3. c) Überprüfen: Berechnen Sie den exakten Wert von $F(4)$ durch Einsetzen in die gefundene Funktion und bestätigen Sie, ob Ihre qualitative Abschätzung richtig war.

Bestimmen Sie die Menge der Stammfunktionen der folgenden Funktion und vereinfachen Sie das Ergebnis, indem Sie negative Exponenten beseitigen und Wurzeln verwenden:

$f(x) = \dfrac{3}{x^4} - \dfrac{2}{\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{1}{5x}$

Bestimmen Sie das unbestimmte Integral der Funktion $g(x)$, indem Sie die nötigen Konstantenanpassungen vornehmen, um eine logarithmische Struktur zu erhalten:

$I = \displaystyle\int \dfrac{3x - 1}{x^2 - \frac{2}{3}x + 5} \, dx$

Eine Überwachungsdrohne bewegt sich so, dass ihre Geschwindigkeit in horizontaler Richtung (in m/s) durch die Funktion $v(t) = 4e^{2t-1} + \sin(3t)$ gegeben ist. Zum Anfangszeitpunkt $t=0$ befindet sich die Drohne an der Position $s=0$. Bestimmen Sie den Term der Ortsfunktion $s(t)$.

Berechnen Sie die Stammfunktion der Funktion $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 1}{x-2}$, deren Graph durch den Punkt $P(3|5)$ verläuft.

Hinweis: Führen Sie zuerst die Polynomdivision durch.

Bestimmen Sie das unbestimmte Integral der folgenden verketteten Funktion, indem Sie die Ableitung der inneren Funktion erkennen:

$I = \displaystyle\int \dfrac{\ln^2(x) + 1}{x} \, dx$

Bestimmen Sie die Stammfunktion $F(x)$ der Funktion $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2(3x)} + 5^{2x}$, wenn $F(0) = 1$ gilt.

Berechnen Sie das unbestimmte Integral der folgenden Funktion mithilfe der Zerlegung nach der Linearität und der Anpassung der Ableitung des Exponenten:

$I = \displaystyle\int \left( 2x \cdot e^{x^2+3} - \dfrac{5}{1+4x^2} \right) \, dx$

Bestimmen Sie für die Funktion $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1 + \cos(x)}}$ die allgemeine Stammfunktion. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Ableiten der erhaltenen Funktion.

Bestimmen Sie die reellen Koeffizienten $a$ und $b$ der Funktion $f(x) = a\cdot x + \dfrac{b}{x^2}$ (definiert für $x > 0$), wenn bekannt ist, dass ihre Schar von Stammfunktionen die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:

1. Die Tangente an den Graphen jeder ihrer Stammfunktionen an der Stelle $x = 1$ ist waagerecht (Steigung null).

2. Die spezielle Stammfunktion $F_0(x)$, die durch den Punkt $(1|7)$ verläuft, erfüllt außerdem $F_0(2) = 11$.

1. a) Stellen Sie das Gleichungssystem auf, mit dem sich die Werte von $a$ und $b$ bestimmen lassen, und deuten Sie geometrisch den Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Stammfunktion und dem Integranden.
2. b) Bestimmen Sie die Funktion $f(x)$ und den vollständigen Funktionsterm der speziellen Stammfunktion $F_0(x)$.

In einem Windpark in Schleswig-Holstein modellieren die Betriebstechniker die erzeugte Nettoleistung, also die momentane Änderungsrate der akkumulierten Energie, $P'(t)$ (in $\text{MW}$), während eines Beobachtungszeitraums von 9 Stunden ($t \in [1;9]$) mit der Funktion:

wobei $t$ die verstrichene Zeit in Stunden ist.

1. a) Zerlegen Sie den Quotienten algebraisch in eine Summe elementarer Potenzen der Form $k\cdot t^n$ und nennen Sie, welche Grundintegrationsregel auf jeden Term angewendet wird.
2. b) Bestimmen Sie die vollständige Schar der Stammfunktionen $P(t)$, die die akkumulierte Energie in Abhängigkeit von der Zeit beschreiben.
3. c) Wenn die Zähler zur ersten Messstunde ($t = 1$) eine akkumulierte Energie von $15\text{ MWh}$ anzeigten, bestimmen Sie die Integrationskonstante $C$ und berechnen Sie die akkumulierte Energie nach $4$ Stunden ($t = 4$).

Ein Toningenieur analysiert das Signal eines neuen Synthesizers. Die Änderungsrate der Wellenintensität bezüglich der Zeit, $t$, wird durch die Funktion $f'(t) = \dfrac{e^{2t} + 3e^t}{e^t + 1}$ beschrieben.

Zum Zeitpunkt $t = 0$ beträgt die Intensität der Welle $10$ Einheiten. Bestimmen Sie den Funktionsterm der Intensität $f(t)$, indem Sie die zur Lösung des Integrals nötigen algebraischen Umformungen vornehmen.

Bestimmen Sie die Menge der Stammfunktionen der folgenden trigonometrischen Funktion, indem Sie mithilfe grundlegender Identitäten den Integranden in eine Summe von Grundintegralen umformen:

Bestimmen Sie die Funktion $f(x)$, deren zweite Ableitung $f''(x) = \dfrac{12x^2 - 4}{(x^2 + 1)^3}$ ist.

Bekannt ist, dass der Graph von $f(x)$ einen Wendepunkt mit positiver x-Koordinate hat, in dem die Tangente waagerecht ist, und dass der Graph von $f(x)$ durch den Punkt $(0|5)$ verläuft.

Hinweis: Diese Aufgabe erfordert einen sicheren Umgang mit der Kettenregel in umgekehrter Richtung für gebrochenrationale Funktionen.

Ein Logistikunternehmen untersucht den Reifenverschleiß seiner Flotte. Die Verschleißrate $V(x)$ (in mm pro 1000 km) hängt von der Beladung $x$ (in Tonnen) gemäß der Funktion ab:

$V(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{4 - (x - 3)^2}}$

Bestimmen Sie die Funktion des Gesamtverschleißes $D(x)$, wenn bekannt ist, dass der Verschleiß bei einer Beladung von $3$ Tonnen ($x = 3$) null beträgt.

Bestimmen Sie das unbestimmte Integral der folgenden gebrochenrationalen Funktion, indem Sie im Nenner quadratisch ergänzen, um eine Arkustangens-Struktur zu erkennen:

Bestimmen Sie für die Funktion $f(x) = |x - 2| \cdot e^x$ die Stammfunktion $F(x)$, die $F(0) = 1$ erfüllt.

Beachten Sie: Damit $F(x)$ auf ihrer gesamten Definitionsmenge eine Stammfunktion ist, muss sie stetig sein; daher müssen Sie die Integrationskonstanten in den verschiedenen Abschnitten anpassen.

Bestimmen Sie die Werte der Parameter $A, B$ und $C$ so, dass die Funktion $F(x) = (Ax^2 + B) \sin(2x) + Cx \cos(2x)$ eine Stammfunktion von $f(x) = x^2 \cos(2x)$ ist.

Stellen Sie das Gleichungssystem auf, indem Sie $F(x)$ ableiten und die Koeffizienten vergleichen.

Berechnen Sie das unbestimmte Integral der Funktion:

Diese Aufgabe prüft die Fähigkeit, die Struktur $g(u(x)) \cdot u'(x)$ zu erkennen, wenn mehrere verkettete Funktionen vorliegen.

Zwei Schüler der Qualifikationsphase, Anna und Hugo, diskutieren, welche Methode zur Lösung des unbestimmten Integrals $I = \int \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1}\, dx$ am besten geeignet ist:

• Anna meint, man müsse immer die Polynomdivision durchführen, um den unecht gebrochenen Term in der Form $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$ darzustellen.

• Hugo behauptet, es gehe schneller, im Zähler den algebraischen Kniff anzuwenden, $1$ zu addieren und zu subtrahieren: $x^2 + 3 = (x^2 + 1) + 2$, um den Bruch direkt in zwei Grundintegrale aufzuspalten.

• Ein dritter Mitschüler, Daniel, schlägt vor, den Nenner als $(x^2 + 1)^{-1}$ nach oben zu holen und direkt die Potenzregel anzuwenden: $\int u^n = \frac{u^{n+1}}{n+1}$.

1. a) Begründen Sie sorgfältig, warum Daniels Vorschlag ein gravierender mathematischer Fehler ist, und geben Sie an, welcher Differentialfaktor dem Integranden fehlt, um eine Potenz- oder Logarithmusregel anwenden zu können.
2. b) Führen Sie die Vorgehensweisen von Anna und Hugo vollständig aus und zeigen Sie, dass beide zur selben Zerlegung führen. Begründen Sie, welche der beiden Methoden in diesem konkreten Fall effizienter und weniger fehleranfällig ist.
3. c) Berechnen Sie die spezielle Stammfunktion $F(x)$, die die Bedingung $F(1) = \frac{\pi}{2} + 3$ erfüllt.

Es soll eine Funktion $f(x)$ und eine ihrer Stammfunktionen $F(x)$ analytisch rekonstruiert werden, und zwar aus den folgenden geometrischen Eigenschaften der Kurvenschar:

1. Die Tangente an jede Stammfunktion an der Stelle $x$ hat eine streng positive Steigung, wenn $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$, und eine streng negative Steigung, wenn $x \in (0, 2)$.

2. Die zweite Ableitung jeder Stammfunktion ist eine lineare Funktion $F''(x) = \alpha x + \beta$, deren Graph die x-Achse bei $x = 1$ schneidet.

3. Es gibt eine bestimmte Stammfunktion $F_1(x)$, deren lokales Minimum in einer Höhe von $-3$ Einheiten liegt und die außerdem die $X$-Achse im Punkt $(3|0)$ schneidet.

1. a) Übersetzen Sie die Bedingungen 1 und 2 begründet in Aussagen über den Integranden und zeigen Sie, dass dieser ein Polynom zweiten Grades der Form $f(x) = k(x^2 - 2x)$ mit $k > 0$ sein muss.
2. b) Bestimmen Sie durch elementare Zerlegung die Schar der Stammfunktionen $F(x)$ in Abhängigkeit von den Parametern $k$ und der Konstanten $C$.
3. c) Nutzen Sie Bedingung 3, um die Werte von $k$ und $C$ eindeutig zu bestimmen, und geben Sie die endgültigen Funktionsterme von $f(x)$ und der speziellen Stammfunktion $F_1(x)$ an.