Aufgaben: Optimierung von Funktionen

Bestimmen Sie zwei positive reelle Zahlen, deren Summe genau $60$ beträgt und deren Produkt möglichst groß ist.

In der Abbildung wird die Strecke der Länge $60$ in zwei Teile $x$ und $y$ aufgeteilt. Der Teilungspunkt ist an einer beliebigen Stelle eingezeichnet: Er zeigt nicht die Lösung an.

Ein junger Landwirt hat $120$ Meter Zaun, um ein rechteckiges Weidegehege einzuzäunen. Da eine Seite des Geheges eine bereits vorhandene Steinmauer sein wird, muss er nur die anderen drei Seiten einzäunen. Berechnen Sie die Abmessungen des Geheges so, dass der eingeschlossene Flächeninhalt maximal wird.

Eine kleine Wettersonde wird senkrecht nach oben geschossen. Die Höhe $h$ (in Metern), die die Sonde in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Sekunden) erreicht, ist durch den Term $h(t) = -5t^2 + 40t + 1,5$ gegeben.

Zu welchem Zeitpunkt erreicht die Sonde ihre maximale Höhe? Wie groß ist diese Höhe?

Ein Technologieunternehmen hat festgestellt, dass der monatliche Gewinn $B$ (in Tausend Euro) beim Verkauf eines neuen Modells kabelloser Kopfhörer von der Anzahl der hergestellten Stücke $x$ (in Hundert) gemäß der Funktion $B(x) = -2x^2 + 32x - 40$ abhängt.

Bestimmen Sie die Stückzahl, die jeden Monat hergestellt werden muss, um den Gewinn zu maximieren, und berechnen Sie den Wert dieses maximalen Gewinns.

Ein Grafikdesign-Studio möchte eine rechteckige Glückwunschkarte erstellen, die genau $32 \text{ cm}^2$ bedruckte Fläche enthält. Wenn man keine Ränder berücksichtigt: Welche Abmessungen sollte die Karte haben, damit der Umfang minimal ist und so beim Zuschnitt des Papiers gespart wird?

Die Anzahl der „Likes“ eines Beitrags einer berühmten Influencerin folgt in den ersten $10$ Stunden der Funktion $L(t) = -t^3 + 12t^2 + 45t$, wobei $t$ die vergangene Zeit in Stunden ist ($0 \le t \le 10$). Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt der Beitrag seinen größten Erfolg erreicht (maximale Anzahl an Likes) und wie viele Likes er in diesem Moment hat.

Es soll eine oben offene Schachtel aus einem quadratischen Stück Pappe mit der Seitenlänge $30 \text{ cm}$ gebaut werden. Dazu wird an jeder Ecke ein Quadrat der Seitenlänge $x$ ausgeschnitten und die Ränder werden nach oben gefaltet. Stellen Sie das Volumen der Schachtel in Abhängigkeit von $x$ dar und bestimmen Sie den Wert von $x$, für den das Volumen der Schachtel maximal wird.

Zerlegen Sie die Zahl $12$ in zwei positive Summanden, sodass die Summe ihrer Quadrate minimal ist.

Markus soll folgendes Optimierungsproblem lösen: „Es soll eine oben offene Schachtel aus einem quadratischen Stück Pappe mit der Seitenlänge $30\text{ cm}$ gebaut werden, indem man an jeder Ecke vier gleiche Quadrate der Seitenlänge $x$ ausschneidet und die Laschen nach oben faltet. Bestimme den Wert von $x$, für den das Volumen der Schachtel maximal wird.“\nMarkus schreibt in seiner Klausur:\n1. Volumen: $V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x$.\n2. Ableitung: $V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 0 \implies x^2 - 20x + 75 = 0$, mit den Lösungen $x = 15$ und $x = 5$.\n3. Markus' Schlussfolgerung: „Das maximale Volumen ergibt sich für $x = 15\text{ cm}$, weil $15 > 5$.“\n\na) Identifizieren Sie die beiden von Markus gemachten Denkfehler und erklären Sie sie: einen bezüglich des sachlich sinnvollen Definitionsbereichs der Variablen $x$ und einen bezüglich des Kriteriums zur Unterscheidung von Hoch- und Tiefpunkten mithilfe der Ableitung.\nb) Korrigieren Sie die Aufgabe in fünf Schritten: Legen Sie den sachlich zulässigen Definitionsbereich fest, klassifizieren Sie die kritischen Punkte angemessen anhand des Vorzeichens von $V''(x)$ oder von $V'(x)$ und berechnen Sie die Abmessungen der Schachtel und ihr maximales Volumen.

Ein Landwirt aus der Region der Vega Baja verfügt über eine geradlinige Steinmauer der Länge $30\text{ m}$ und hat $50\text{ m}$ Maschendraht, um einen rechteckigen Gemüsegarten einzuzäunen. Er möchte den Garten an die vorhandene Mauer anlegen, sodass für die an der Mauer anliegende Seite kein Draht nötig ist, ihre Länge $y$ aber höchstens $30\text{ m}$ der verfügbaren Mauer betragen darf. Die anderen drei Seiten werden mit den $50\text{ m}$ Maschendraht geschlossen.\n\na) Schätzen Sie: Beantworten Sie vor jeder analytischen Rechnung intuitiv: Glauben Sie, es wäre günstig, die gesamten $30\text{ m}$ Mauer auszunutzen, um möglichst viel Draht zu „sparen“, oder ist es besser, einen Teil der Mauer frei zu lassen, um eine quadratischere Form zu erhalten? Stellen Sie eine begründete Schätzung des maximalen Flächeninhalts auf, den Sie erwarten.\nb) Berechnen Sie: Stellen Sie den Flächeninhalt des Geländes $A(x)$ in Abhängigkeit von der Länge $x$ der beiden Seiten senkrecht zur Mauer dar. Bestimmen Sie die Definitionsmenge der Funktion unter Berücksichtigung der sachlichen Einschränkung durch die Mauer ($y = 50 - 2x \le 30$). Berechnen Sie den Wert von $x$, für den die erste Ableitung null wird, und klassifizieren Sie ihn.\nc) Überprüfen und reflektieren Sie: Bestimmen Sie die endgültigen optimalen Abmessungen und den maximalen Flächeninhalt. Vergleichen Sie das Ergebnis mit Ihrer ersten Schätzung und begründen Sie, warum die Intuition, stets die gesamte verfügbare Mauer auszuschöpfen, in diesem Fall in die Irre führt.

Ein Tierheim hat eine Spende von $120$ Metern Maschendraht erhalten, um zwei aneinandergrenzende rechteckige Gehege für Hunde und Katzen zu bauen. Die Gehege sollen, wie in der Abbildung gezeigt, eine gemeinsame Seite haben, um das Material optimal zu nutzen. Bestimmen Sie die Abmessungen der Außenkonstruktion ($x$ und $y$), sodass der insgesamt umschlossene Flächeninhalt maximal wird.

Ein Streamingdienst analysiert seine Preispolitik für ein neues Premium-Abo. Derzeit hat er $10.000$ Abonnenten, die $12$ € pro Monat zahlen. Eine Marktstudie zeigt: Für jeden Euro, um den der Abopreis gesenkt wird, kommen $1.000$ neue Nutzer hinzu. Umgekehrt gehen für jeden Euro Preiserhöhung $1.000$ Nutzer verloren. Die monatlichen Fixkosten für den Betrieb betragen $20.000$ € und jeder Abonnent verursacht Verwaltungskosten von $2$ €. Bei welchem monatlichen Abopreis ist der Nettogewinn des Dienstes maximal?

Ein Grafikdesign-Studio möchte aus einem quadratischen Stück Karton mit der Seitenlänge $24$ cm eine Werbe-Verpackungsschachtel herstellen. Dazu wird an jeder Ecke ein Quadrat mit der Seitenlänge $x$ ausgeschnitten und die Seitenflächen werden nach oben gefaltet, sodass eine Schachtel ohne Deckel entsteht. Bestimmen Sie den Wert von $x$, für den das Fassungsvermögen der Schachtel möglichst groß ist.

In einem Strategiespiel befindet sich eine Erkundungseinheit im Punkt $A(0|5)$ einer Koordinatenkarte. Es gibt einen Weg, dessen Verlauf der Parabel $y = x^2$ folgt. Die Programmierer müssen die genauen Punkte des Weges berechnen, die den geringsten Abstand zur Einheit haben, um ein Annäherungsereignis auszulösen. Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

Ein Chemieunternehmen muss geschlossene zylindrische Behälter mit einem Fassungsvermögen von $16 \pi$ Kubikmetern herstellen. Das Material für die Grundflächen (oben und unten) kostet $5$ € pro Quadratmeter, während das Material für die Mantelfläche leichter ist und $2$ € pro Quadratmeter kostet. Berechnen Sie den Radius der Grundfläche und die Höhe des Zylinders, die die gesamten Herstellungskosten pro Behälter minimieren.

Es soll eine Werbetafel in Form eines gleichschenkligen Dreiecks entworfen werden, das einem Halbkreis mit dem Radius $R = 6$ Meter einbeschrieben ist. Eine Ecke liegt im Mittelpunkt $O$ des Halbkreises, die beiden anderen Ecken liegen auf dem Bogen und sind durch eine Sehne $b$ (die Grundseite) verbunden, die parallel zum Durchmesser verläuft. Bezeichnen Sie mit $h$ die Höhe des Dreiecks, also den Abstand von $O$ zur Grundseite, mit $0 < h < 6$.

Bestimmen Sie die Abmessungen des Dreiecks (Grundseite und Höhe) so, dass der Flächeninhalt der Werbefläche maximal wird.

Eine Seite eines Kunstbuchs soll einen Gesamtflächeninhalt von $600$ $cm^2$ haben. Der obere und der untere Rand sollen jeweils $3$ cm betragen, die seitlichen Ränder jeweils $2$ cm. Bestimmen Sie die Abmessungen der Seite (Breite und Höhe) so, dass der Flächeninhalt des bedruckten Bereichs (Text und Bilder) maximal wird.

In einer Metallbauwerkstatt soll aus einem zylindrischen Stamm mit $40$ cm Durchmesser ein Stahlträger mit rechteckigem Querschnitt geschnitten werden. Die mechanische Belastbarkeit $R$ dieses Trägers ist proportional zum Produkt aus der Breite $x$ und dem Quadrat der Höhe $y$, also $R = k \cdot x \cdot y^2$ (wobei $k$ eine Materialkonstante für die Festigkeit ist). Bestimmen Sie die Abmessungen $x$ und $y$, die der Träger haben muss, damit seine Belastbarkeit maximal wird.

Ein Logistikunternehmen betreibt täglich eine Hin- und Rückfahrt zwischen Berlin und Hannover über die Autobahn A2 mit einer Gesamtstrecke von $640\text{ km}$. Die durchschnittliche Reisegeschwindigkeit $v$ (in $\text{km/h}$) muss während der Fahrt konstant sein und soll wegen der Verkehrsbeschränkungen für Nutzfahrzeuge und des Verkehrsflusses im Intervall $[70;110]$ liegen.\nDer Kraftstoffverbrauch des Transporters (in Litern Diesel pro $100\text{ km}$) hängt von der Geschwindigkeit gemäß der empirischen Funktion $C(v) = 5,5 + 0,00075\cdot v^2$ ab. Der Dieselpreis auf der Strecke beträgt $1,45\text{ \euro{}/L}$. Außerdem rechnet das Unternehmen mit Betriebs- und Lohnkosten für den Fahrer von $19\text{ \euro{}}$ pro Fahrstunde.\n\na) Stellen Sie die Funktion der Gesamtkosten der Fahrt $K(v)$ auf, indem Sie die Kosten des verbrauchten Kraftstoffs und die Personalkosten pro Stunde in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit $v$ addieren.\nb) Bestimmen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit, die die Gesamtkosten der Fahrt minimiert. Begründen Sie rigoros, dass es sich um ein relatives Minimum handelt, indem Sie das Vorzeichen der zweiten Ableitung $K''(v)$ untersuchen.\nc) Berechnen Sie die Gesamtkosten an den Rändern des zulässigen Definitionsbereichs ($v = 70\text{ km/h}$ und $v = 110\text{ km/h}$) und vergleichen Sie sie mit dem gefundenen Minimum. Geben Sie die optimalen Gesamtkosten der Fahrt an.

Gesucht ist der Punkt $P(x|y)$ der Parabel $y = x^2$, der vom außerhalb liegenden Punkt $A(0|2)$ den kleinstmöglichen Abstand hat. Zur Lösung werden drei mögliche Methoden vorgeschlagen:\n- Methode 1: Den euklidischen Abstand $d(x) = \sqrt{(x-0)^2 + (x^2-2)^2}$ aufstellen und die Wurzel direkt mit der Kettenregel ableiten.\n- Methode 2: Die Hilfsfunktion $f(x) = [d(x)]^2 = x^2 + (x^2-2)^2 = x^4 - 3x^2 + 4$ minimieren.\n- Methode 3: Den Punkt $P(x|x^2)$ bestimmen, indem man fordert, dass der Vektor $\vec{AP} = (x, x^2 - 2)$ senkrecht zum Richtungsvektor der Tangente an die Parabel in $P$ ist, also $\vec{AP} \cdot (1, 2x) = 0$.\n\na) Begründen Sie formal, warum Methode 2 genau dieselben kritischen Punkte und Extremstellen liefert wie Methode 1, und erklären Sie, warum sie algebraisch vorzuziehen ist.\nb) Wenden Sie Methode 2 an, um die Kandidaten für das Minimum zu bestimmen, klassifizieren Sie sie mithilfe des Vorzeichens von $f''(x)$ und verwerfen Sie diejenigen, die nicht dem minimalen Abstand entsprechen.\nc) Lösen Sie mit Methode 3 und überprüfen Sie, dass die erhaltene Gleichung mit der aus Methode 2 identisch ist. Welche der drei Methoden würden Sie in einer Prüfung wegen Schnelligkeit und geringerem Rechenfehlerrisiko wählen? Geben Sie die Koordinaten der nächstgelegenen Punkte und den minimalen Abstand an.

Es soll eine Kapsel für ein neues Medikament entworfen werden, die die Form eines geraden Kreiszylinders hat, an dessen Enden zwei Halbkugeln mit demselben Radius wie der Zylinder sitzen. Aus Gründen der chemischen Stabilität muss das Gesamtvolumen der Kapsel genau $36\pi \text{ mm}^3$ betragen. Das Material für die halbkugelförmigen Enden ist pro Flächeneinheit 50 % teurer als das Material für den zylindrischen Teil. Bestimmen Sie die Abmessungen der Kapsel (Radius $r$ und Länge des zylindrischen Teils $h$), die die gesamten Herstellungskosten minimieren.

Eine Überwachungsdrohne muss von einer Basis im Punkt $A(0|4)$ zu einem Ziel im Punkt $B(10|0)$ fliegen, wobei die Koordinaten in Kilometern angegeben sind. Das Gelände ist durch die Gerade $y = 2$ in zwei Zonen geteilt. In der oberen Zone ($y > 2$) kann die Drohne aufgrund der Windverhältnisse mit einer Geschwindigkeit von $60 \text{ km/h}$ fliegen. In der unteren Zone ($y \leq 2$) erreicht die Drohne $100 \text{ km/h}$. Stellen Sie die Funktion auf, die die Gesamtflugzeit modelliert, sowie die Gleichung, die den Punkt auf der Trennlinie bestimmt, über den die Drohne fliegen muss, damit diese Zeit minimal ist (die Gleichung muss nicht gelöst werden).

Ein Logistikunternehmen baut ein Lager mit einer Fläche von $400 \text{ m}^2$. Das Lager soll rechteckig sein und durch eine Innenwand parallel zu einer seiner Seitenwände in zwei Bereiche geteilt werden. Die Außenwände kosten $120 \text{ €}$ pro laufendem Meter, die Innenwand ist weniger stabil und kostet $80 \text{ €}$ pro laufendem Meter. Bestimmen Sie die Abmessungen des Lagers, für die die Kosten der Wände möglichst gering sind.

An einer Wand in Form eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Grundseite $6 \text{ m}$ und der Höhe $4 \text{ m}$ soll ein rechteckiges Solarpanel angebracht werden. Das Panel soll so platziert werden, dass seine Grundseite auf der Grundseite des Dreiecks liegt und seine beiden oberen Eckpunkte die gleich langen Seiten des Dreiecks berühren. Aufgrund der Wandstruktur variiert jedoch die Effizienz des Panels mit seiner Höhe, sodass die insgesamt erzeugte Energie durch die Funktion $E = A \cdot (5 - h)$ gegeben ist, wobei $A$ der Flächeninhalt des Panels und $h$ seine Höhe ist. Bestimmen Sie die Abmessungen des Panels, für die die erzeugte Energie maximal wird.

Betrachten Sie die Funktion $f(x) = \frac{1}{x^2}$ für $x > 0$. An den Graphen dieser Funktion wird in einem beliebigen Punkt $P(a|f(a))$ eine Tangente gelegt. Diese Tangente bildet zusammen mit den Koordinatenachsen im ersten Quadranten ein rechtwinkliges Dreieck. Bestimmen Sie, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den der Flächeninhalt dieses Dreiecks minimal ist, und berechnen Sie gegebenenfalls diesen Flächeninhalt.

Ein Hersteller von Konservendosen möchte eine neue zylindrische Verpackung mit einem Volumen von $500 \text{ cm}^3$ entwickeln. Das Material für Deckel und Boden kostet $0,02 \text{ €/cm}^2$, das Material für den Mantel kostet $0,01 \text{ €/cm}^2$. Zur Verstärkung der Konstruktion muss außerdem um die Verbindung von Deckel und Mantel sowie um den Boden je ein Metallband gelegt werden; die Kosten betragen $0,05 \text{ €/cm}$ Band. Berechnen Sie Radius und Höhe der Dose, die die gesamten Produktionskosten minimieren.

Zwei Punkte $A$ und $B$ liegen auf derselben Seite einer Geraden $r$. Der Punkt $A$ hat von der Geraden den Abstand $3 \text{ km}$ und der Punkt $B$ den Abstand $6 \text{ km}$. Der Abstand zwischen den Projektionen von $A$ und $B$ auf die Gerade $r$ beträgt $12 \text{ km}$. Gesucht ist ein Punkt $C$ auf der Geraden $r$, sodass die Summe der Quadrate der Abstände von $C$ zu $A$ und von $C$ zu $B$ minimal ist. Zeigen Sie, dass dieser Punkt mit dem Mittelpunkt der Projektion von $AB$ auf die Gerade übereinstimmt.

Wir haben ein Stück Kabel der Länge $20 \text{ Meter}$. Wir wollen es in zwei (nicht notwendigerweise gleich lange) Stücke schneiden, um aus dem einen ein Quadrat und aus dem anderen ein gleichseitiges Dreieck zu formen. Wie müssen wir schneiden, damit die Summe der Flächeninhalte beider Figuren maximal wird? Und wie, damit sie minimal wird? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie die Randwerte des Definitionsintervalls der Variablen untersuchen.

Eine landwirtschaftliche Genossenschaft beauftragt den Entwurf eines senkrechten Getreidesilos, bestehend aus einem geraden Kreiszylinder mit Radius $r$ und Höhe $h$, der an der Unterseite durch einen ebenen kreisförmigen Boden mit Radius $r$ abgeschlossen und an der Oberseite von einer halbkugelförmigen Kuppel mit Radius $r$ gekrönt wird. Aus Festigkeitsgründen betragen die Herstellungskosten pro Quadratmeter:\n- ebener Boden: $20\text{ \euro{/m}}^2$.\n- zylindrische Mantelfläche: $30\text{ \euro{/m}}^2$.\n- halbkugelförmige Kuppel: $k\text{ \euro{/m}}^2$ (wobei $k$ ein positiver, von der Biegewerkstatt festgelegter Stückkostenwert ist).\n\nDas Ingenieurteam legt als Entwurfskriterium fest, dass die optimalen Abmessungen $(r, h)$, die die Gesamtkosten minimieren, unabhängig vom festgelegten Getreidevolumen $V_0 > 0$, das das Silo aufnehmen soll, zwingend die ästhetische und statische Beziehung $h = 2r$ erfüllen müssen.\n\na) Stellen Sie die Gesamtkostenfunktion $C(r)$ allein in Abhängigkeit vom Radius $r$ und von den Konstanten $k$ und $V_0$ auf, indem Sie die Nebenbedingung des Gesamtvolumens des Silos ($V_0 = \pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$) verwenden.\nb) Leiten Sie die Funktion $C(r)$ nach $r$ ab und setzen Sie die Bedingung für einen kritischen Punkt $C'(r) = 0$ an.\nc) Bestimmen Sie, welchen genauen Wert der Preis pro Quadratmeter $k$ der Halbkugel haben muss, damit die optimale Bedingung mit $h = 2r$ übereinstimmt. Zeigen Sie rechnerisch, dass dieser Wert von $k$ nicht vom gewählten Volumen $V_0$ abhängt.\nd) Überprüfen Sie anhand des Vorzeichens von $C''(r)$, dass die gefundene Lösung tatsächlich einem absoluten Minimum der Kosten entspricht.

Ein Netzbetreiber plant die Stromableitung von einer Offshore-Umspannstation $S$ eines Windparks an der Nordseeküste. Die Station $S$ liegt im Meer, im senkrechten Abstand $6\text{ km}$ zur geraden Küste im Punkt $A$. Die Empfangsstation an Land $B$ liegt an derselben Küstenlinie im Abstand $15\text{ km}$ von $A$.\nDie Stromleitung verläuft über den Meeresboden von $S$ bis zu einem Anlandepunkt $P$ an der Küste zwischen $A$ und $B$ (im Abstand $x$ von $A$, mit $0 \le x \le 15$) und setzt sich unterirdisch von $P$ bis $B$ entlang der Küste fort. Die Kosten für die Verlegung des Seekabels betragen $1,5\text{ Millionen Euro/km}$ und die des Landkabels $0,9\text{ Millionen Euro/km}$.\n\na) Stellen Sie die Gesamtkostenfunktion $C(x)$ in Millionen Euro auf und geben Sie ihre sachlich sinnvolle Definitionsmenge $[0; 15]$ an.\nb) Berechnen Sie die Lage von $P$ (Wert von $x$), die die Gesamtkosten minimiert, und begründen Sie, dass es sich um das absolute Minimum handelt, indem Sie den erhaltenen Wert mit den Randwerten des abgeschlossenen Intervalls vergleichen.\nc) Wenn $\theta$ den Winkel bezeichnet, den die Seekabeltrasse $SP$ mit der Senkrechten zur Küste bildet, zeigen Sie, dass im optimalen Punkt genau das Snelliussche Brechungsgesetz gilt: $\frac{\sin \theta}{c_{\text{Land}}} = \frac{1}{c_{\text{Meer}}}$, mit $c_{\text{Meer}} = 1,5$ und $c_{\text{Land}} = 0,9$.\nd) Transfer- und Schwellenwertproblem: Nehmen Sie an, dass die Seekabelkosten auf einen allgemeinen Wert $c$ sinken (die Landkosten bleiben bei $0,9\text{ Millionen/km}$). Bestimmen Sie, ab welchem kritischen Wert von $c$ kein Anlandepunkt $P \in \, ]0; 15[$ im Inneren mehr existiert und es günstiger ist, das Kabel direkt in gerader Linie durch das Meer von $S$ nach $B$ zu verlegen. Begründen Sie Ihre Überlegung, indem Sie das Vorzeichen von $C'(x)$ am oberen Rand der Definitionsmenge untersuchen.

Herausforderung zum Thema. Wie managt unser Land sein Stromnetz? Sie beraten eine Energiegenossenschaft, indem Sie die reale Stromnachfrage analysieren.

1. Datenbeschaffung und Modellierung: Rufen Sie bei der Bundesnetzagentur (SMARD) die Daten zur stündlichen Last ($24\text{ h}$) eines aktuellen Tages ab. Stellen Sie in GeoGebra oder in einer Tabellenkalkulation die Punktwolke dar und führen Sie eine polynomiale Regression durch, um $D(t)$ (mit $0 \le t \le 24$) zu erhalten.

2. Krümmung und Optimierung: Berechnen und klassifizieren Sie mithilfe der ersten Ableitung die Spitzen und Täler des täglichen Verbrauchs ($D'(t) = 0$). Bestimmen Sie die zweite Ableitung $D''(t)$, untersuchen Sie die Intervalle der Konkavität/Konvexität und ermitteln Sie die Wendepunkte; erklären Sie, was sie in Bezug auf die Änderungsrate des Verbrauchs darstellen.

3. Integral und Vorschlag: Berechnen Sie die an dem Tag insgesamt verbrauchte Energie mithilfe des bestimmten Integrals $E = \int_{0}^{24} D(t)\,dt$. Verfassen Sie einen kurzen Bericht (eine Seite), der den erhaltenen Graphen enthält, sowie einen begründeten Vorschlag für eine zeitabhängige Tarifierung (Schwachlast- und Spitzenlastzeiten), um das Energiesparen anzuregen.

Bewertet werden:

• Genauigkeit bei der analytischen Anpassung der realen Daten mit GeoGebra oder der Tabellenkalkulation.

• Korrektheit und mathematische Begründung der Extremstellen, der Krümmung, der Wendepunkte und der Integration.

• Kontextbezogene Interpretation der physikalischen Bedeutung der Ableitungen und Realisierbarkeit des abschließenden Vorschlags.