Aufgaben: Elektrische Energie und elektrisches Potential

Eine kleine Kugel im Labor trägt die Ladung $Q = 3\,\mu\text{C}$ (verwende $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Berechne das elektrische Potential in $0,5\ \text{m}$ Abstand von der Kugel, $V = K \cdot \frac{Q}{r}$.
2. b) Gib das Vorzeichen des Potentials an und begründe, an welchem Ort man per Konvention $V = 0$ festlegt.

Das elektrische Potential ist eine skalare Größe, das elektrische Feld eine vektorielle.

1. a) Erkläre, welchen praktischen Unterschied das beim Addieren der Beiträge mehrerer Ladungen in einem Punkt macht.
2. b) Kann das Potential in einem Punkt negativ sein? Nenne ein Beispiel.
3. c) Welches Vorzeichen hat das Potential einer positiven Ladung?

Eine Ladung $q = 2\,\mu\text{C}$ befindet sich an einem Punkt, an dem das Potential $V = 1000\ \text{V}$ beträgt.

1. a) Berechne ihre elektrische potenzielle Energie $E_p = q \cdot V$.
2. b) Wenn sich die Ladung, die positiv ist, von selbst zu einem Punkt niedrigeren Potentials bewegte, begründe, ob ihre potenzielle Energie zunehmen oder abnehmen würde.

Ausgehend vom Ausdruck für die Arbeit $W = q \cdot \Delta V$:

1. a) Leite die Äquivalenz $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$ her.
2. b) Erkläre, was es bedeutet, dass zwischen den Polen einer Autobatterie eine Potentialdifferenz von $12\ \text{V}$ besteht, und sprich dabei von der Energie jedes Coulombs Ladung, das sie durchläuft.
3. c) Gib an, welche dieser Ausdrücke einem Volt entsprechen: $\text{J/C}$; $\text{N/C}$; $\text{J}\cdot\text{C}$.

Eine Ladung $q = 5\,\mu\text{C}$ bewegt sich von einem Punkt A mit dem Potential $V_A = 200\ \text{V}$ zu einem Punkt B mit $V_B = 80\ \text{V}$.

1. a) Berechne die vom elektrischen Feld verrichtete Arbeit $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Begründe anhand des Vorzeichens des Ergebnisses, ob das Feld die Ladung von selbst in dieser Verschiebungsrichtung „antreibt“.

In der Teilchenphysik wird häufig das Elektronvolt verwendet: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$ (Angabe: Elementarladung $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$).

1. a) Gib eine Energie von $3\ \text{eV}$ in Joule an.
2. b) Begründe die obige Äquivalenz, indem du mit $W = q \cdot \Delta V$ die Energie berechnest, die ein Elektron beim Beschleunigen durch eine Potentialdifferenz von $1\ \text{V}$ gewinnt.

Zwei Punktladungen $q_1 = 1\,\mu\text{C}$ und $q_2 = 2\,\mu\text{C}$ haben den Abstand $0,3\ \text{m}$ (verwende $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Berechne die elektrische potenzielle Energie des Systems $E_p = K \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r}$.
2. b) Deute das Vorzeichen des Ergebnisses: Muss man beim Trennen der Ladungen bis ins Unendliche Energie aufwenden oder wird Energie frei? Stelle einen Bezug dazu her, dass sich die Ladungen abstoßen.

Zwischen dem Inneren und dem Äußeren einer Zelle besteht eine Potentialdifferenz von etwa $70\ \text{mV}$, wobei das Innere negativ ist (Angabe: Elementarladung $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$). Die Abbildung zeigt das Schema der Membran.

1. a) Gib diese Potentialdifferenz in Volt an und gib an, wie viel Energie mindestens nötig ist, um ein Coulomb positiver Ladung gegen das Feld von innen nach außen zu transportieren.
2. b) Berechne die Energie, die nötig ist, um ein Natriumion $\text{Na}^+$ (Ladung $+e$) von innen nach außen zu transportieren, in Joule und in Elektronvolt.

An einem Van-de-Graaff-Generator im Labor wird in $0,25\ \text{m}$ Abstand vom Mittelpunkt der geladenen Kugel ein Potential von $6000\ \text{V}$ gemessen (verwende $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ und nimm die Ladung als punktförmig an).

1. a) Löse den Ausdruck $V = K \cdot \frac{Q}{r}$ nach der Ladung auf und berechne sie.
2. b) Wie groß wäre das Potential im doppelten Abstand? Begründe die verwendete Proportionalität.

Zwei Ladungen $q_1 = 4\ \text{nC}$ und $q_2 = -2\ \text{nC}$ befinden sich im Abstand $0,3\ \text{m}$ bzw. $0,5\ \text{m}$ von einem Punkt P (verwende $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Berechne das Potential, das jede Ladung in P erzeugt.
2. b) Berechne das Gesamtpotential in P.
3. c) Erkläre, warum sich hier die Beiträge direkt als Zahlen addieren, während man beim elektrischen Feld Vektoren addieren muss.

Eine Ladung $q = -3\,\mu\text{C}$ bewegt sich von einem Punkt A ($V_A = 500\ \text{V}$) zu einem Punkt B ($V_B = 100\ \text{V}$).

1. a) Berechne die vom Feld verrichtete Arbeit $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Deute das negative Vorzeichen des Ergebnisses: Ist es eine freiwillig ablaufende Verschiebung oder muss sie von einem äußeren Agens bewirkt werden?
3. c) Begründe, wohin sich diese negative Ladung von selbst bewegen würde: zu höheren oder zu niedrigeren Potentialen?

Ein Detektor registriert sehr energiereiche Teilchen (Angabe: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$).

1. a) Ein registriertes Teilchen hat eine Energie von $2,4\cdot10^{-17}\ \text{J}$: Gib sie in Elektronvolt an.
2. b) Ein bei einem Kernzerfall emittiertes Alphateilchen hat eine Energie von $5\ \text{MeV}$: Gib sie in Joule an.
3. c) Erkläre durch Vergleich der obigen Zahlen, warum das Elektronvolt in der Atom- und Kernphysik eine praktische Einheit ist.

In einem Elektronenmikroskop startet ein Elektron aus der Ruhe und wird durch eine Potentialdifferenz $\Delta V = 2000\ \text{V}$ beschleunigt (Angaben: Elementarladung $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; Elektronenmasse $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$). Betrachte die Skizze:

1. a) Berechne die kinetische Energie, die das Elektron gewinnt, in Joule und in Elektronvolt.
2. b) Wende den Energieerhaltungssatz $\frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 = e \cdot \Delta V$ an und berechne seine Endgeschwindigkeit.

Damit zwei Protonen im Inneren der Sonne verschmelzen können, müssen sie ihre elektrische Abstoßung überwinden und sich extrem nahe kommen (Angaben: Elementarladung $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$; $1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}$). Die Abbildung zeigt die potenzielle Energie des Protonenpaares in Abhängigkeit von ihrem Abstand.

1. a) Berechne die elektrische potenzielle Energie zweier Protonen im Abstand $r = 1\ \text{nm}$.
2. b) Gib das Ergebnis in Elektronvolt an.
3. c) Begründe, warum die elektrische Abstoßung die Fusion erschwert und welche Rolle die extrem hohe Temperatur im Sonneninneren bei ihrer Überwindung spielt.

Zwei identische Ladungen $q = 5\ \text{nC}$ befinden sich an den Punkten $(0|0)$ und $(0|40)$, wobei die Koordinaten in Zentimetern angegeben sind (verwende $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Begründe, indem du die Vektoren in dein Heft zeichnest, dass das elektrische Gesamtfeld im Mittelpunkt $P(0|20)$ null ist.
2. b) Berechne das elektrische Potential in eben diesem Punkt P.
3. c) Ziehe eine Schlussfolgerung: Stimmt es, dass das Potential dort, wo das Feld null ist, ebenfalls null ist?

Zwischen den beiden ebenen Elektroden eines Ionisationsrauchmelders im Abstand $d = 5\ \text{cm}$ besteht ein homogenes elektrisches Feld $E = 10^{4}\ \text{N/C}$ (Angabe: Elementarladung $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$). Betrachte die Skizze:

1. a) Berechne die Potentialdifferenz zwischen den Elektroden $\Delta V = E \cdot d$.
2. b) Berechne die Arbeit, die das Feld an einem positiven Ion der Ladung $+e$ verrichtet, das von der positiven zur negativen Elektrode wandert.
3. c) Überprüfe, dass das Ergebnis mit dem als $W = F \cdot d = e \cdot E \cdot d$ berechneten übereinstimmt, und erkläre, warum das so sein muss.

In der Beschleunigungsstufe einer Protonentherapieanlage (Behandlung von Tumoren mit Protonenstrahlen) startet ein Proton aus der Ruhe in einem Punkt A mit $V_A = 3000\ \text{V}$ und erreicht einen Punkt B mit $V_B = 500\ \text{V}$ (Angaben: Elementarladung $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; Protonenmasse $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$).

1. a) Berechne die potenzielle Energie, die das Proton zwischen A und B verliert.
2. b) Wende den Erhaltungssatz der mechanischen Energie an und berechne die Geschwindigkeit des Protons in B.
3. c) Begründe anhand des Vorzeichens der Ladung und der Änderung der potenziellen Energie, ob sich das Proton von selbst in die entgegengesetzte Richtung, von B nach A, bewegen könnte.

Zwei Punktladungen $q_1 = 6\ \text{nC}$ und $q_2 = -2\ \text{nC}$ liegen auf der Achse $x$, bei $x_1 = 0$ und $x_2 = 1\ \text{m}$ (verwende $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Stelle die Bedingung $V = 0$ in einem Punkt der Achse auf und formuliere sie als Beziehung zwischen den Abständen zu jeder Ladung: Welche Beziehung muss zwischen $r_1$ und $r_2$ gelten?
2. b) Bestimme den Punkt der Achse zwischen den beiden Ladungen, an dem das Potential verschwindet.
3. c) Bestimme den Punkt der Achse rechts von $q_2$, an dem es ebenfalls verschwindet.
4. d) Begründe, warum es links von $q_1$ keinen Punkt mit $V = 0$ gibt.

Zwei Ladungen $q_1 = 2\,\mu\text{C}$ und $q_2 = 3\,\mu\text{C}$, die auf isolierenden Haltern befestigt sind, werden vom Abstand $1\ \text{m}$ auf den Abstand $0,25\ \text{m}$ gebracht (verwenden Sie $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Berechnen Sie die anfängliche und die endgültige elektrische potenzielle Energie des Systems.
2. b) Berechnen Sie die Arbeit, die eine äußere Kraft bei diesem Vorgang verrichten muss, $W_{ext} = \Delta E_p$.
3. c) Begründen Sie das Vorzeichen des Ergebnisses: Warum muss man Arbeit aufbringen, um zwei Ladungen, die sich abstoßen, einander anzunähern?
4. d) Wie groß ist bei demselben Vorgang die Arbeit, die das elektrische Feld verrichtet? Setzen Sie sie in Beziehung zur Arbeit der äußeren Kraft.

In einer Röntgenröhre in einem Krankenhaus werden Elektronen mit einer Potenzialdifferenz $\Delta V = 40\ \text{kV}$ zur Anode hin beschleunigt (gegeben: Elementarladung $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; Elektronenmasse $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; Lichtgeschwindigkeit $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$). Die Abbildung zeigt den Aufbau der Röhre.

1. a) Geben Sie die Potenzialdifferenz in Volt an und berechnen Sie die kinetische Energie jedes Elektrons beim Auftreffen auf die Anode in Elektronenvolt und in Joule.
2. b) Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit des Elektrons mit dem klassischen Ausdruck $\frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 = e \cdot \Delta V$.
3. c) Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Lichtgeschwindigkeit und erläutern Sie, warum die klassische Näherung bei diesen Energien fragwürdig zu werden beginnt.

Drei identische Ladungen $q = 1\ \text{nC}$ werden in die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge $10\ \text{cm}$ gesetzt (verwenden Sie $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Berechnen Sie die potenzielle Energie jedes Ladungspaares.
2. b) Addieren Sie die Beiträge aller Paare und berechnen Sie die gesamte potenzielle Energie des Systems.
3. c) Deuten Sie das Ergebnis als die gesamte Arbeit, die nötig ist, um die Anordnung „aufzubauen“, indem man die Ladungen nacheinander aus dem Unendlichen heranbringt.
4. d) Begründen Sie, warum es bei einem beliebigen Ladungssystem nicht genügt, die Energie eines Paares zu berechnen und mit der Anzahl der Paare zu multiplizieren: Welche Bedingung ist hier erfüllt, die das möglich macht?

Ihr Mitschüler behauptet: „Wenn das elektrische Feld in einem Punkt null ist, ist auch das Potenzial null; und wenn das Potenzial null ist, ist auch das Feld null“ (verwenden Sie $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Widerlegen Sie den ersten Teil mit einem Zahlenbeispiel: Berechnen Sie den Punkt auf der Strecke zwischen den Ladungen $q_1 = 9\ \text{nC}$ und $q_2 = 4\ \text{nC}$ im Abstand $1\ \text{m}$, an dem das Feld null ist, und berechnen Sie das Potenzial in diesem Punkt.
2. b) Widerlegen Sie den zweiten Teil mit einem weiteren Zahlenbeispiel: Berechnen Sie das Potenzial und das Feld im Mittelpunkt zwischen den Ladungen $q_1 = +5\ \text{nC}$ und $q_2 = -5\ \text{nC}$ im Abstand $40\ \text{cm}$.
3. c) Erklären Sie anhand der Definitionen von Feld (vektoriell) und Potenzial (skalar), warum beide Aussagen im Allgemeinen falsch sind.

In einem Bereich sind die Äquipotenzialflächen parallele Ebenen. Zwei davon im Abstand $2\ \text{cm}$ haben die Potenziale $V_1 = 300\ \text{V}$ und $V_2 = 100\ \text{V}$. Betrachten Sie die Skizze:

1. a) Berechnen Sie das elektrische Feld zwischen den beiden Ebenen unter der Annahme, dass es homogen ist, $E = \frac{\Delta V}{d}$, und geben Sie Richtung und Richtungssinn an (das Feld zeigt zu abnehmenden Potenzialen).
2. b) Berechnen Sie die Arbeit, die das Feld verrichtet, wenn eine Ladung $q = 2\ \text{nC}$ von der Ebene mit $300\ \text{V}$ zur Ebene mit $100\ \text{V}$ verschoben wird.
3. c) Ein Schüler verschiebt die Ladung zuerst „seitlich“, ohne die Ebene mit $300\ \text{V}$ zu verlassen, und bringt sie erst danach auf einem Knickweg zur Ebene mit $100\ \text{V}$. Begründen Sie unter Verwendung der Tatsache, dass das elektrische Feld konservativ ist (die Arbeit hängt nur von Anfangs- und Endpunkt ab), dass die Gesamtarbeit dieselbe ist wie in Teilaufgabe b), und berechnen Sie die Arbeit auf dem „seitlichen“ Teilstück.

Bei einem Gewitter kann die Unterseite einer Wolke gegenüber dem Erdboden ein Potenzial von etwa $10^{8}\ \text{V}$ haben, und ein Blitz kann eine Ladung von $20\ \text{C}$ übertragen (gegeben: $1\ \text{kW}\cdot\text{h} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

1. a) Berechnen Sie die im Blitz freigesetzte Energie, $E = Q \cdot \Delta V$.
2. b) Geben Sie sie in Kilowattstunden an.
3. c) Der monatliche Stromverbrauch eines Haushalts beträgt etwa $200\ \text{kW}\cdot\text{h}$: Vergleichen Sie beide Werte und begründen Sie, warum es trotz dieser enormen Energie so schwierig ist, die Energie von Blitzen zu nutzen (denken Sie an die momentane Leistung und die Unvorhersehbarkeit der Entladungen).

Herausforderung zum Thema. Entwerfen und kalibrieren Sie einen selbstgebauten schwingenden elektrostatischen Sensor, um das Feld eines Alltagsgegenstands zu charakterisieren.

1. Aufbau und Messung: Bauen Sie ein Pendel aus dünnem Faden und einer kleinen Aluminiumkugel ($m \approx 0,05\text{ g}$). Messen Sie die Länge $L \pm \Delta L$ mit einem Lineal ($L = 0,300 \pm 0,001\text{ m}$). Stoppen Sie $10$ freie Schwingungen mit dem Smartphone (Unsicherheit $\pm 0,2\text{ s}$), um die Eigenperiodendauer $T_0$ zu bestimmen.

2. Vektorielle Behandlung und Fluss: Laden Sie ein Kunststofflineal durch Reibung auf (modellieren Sie es als gleichmäßige Linienladungsverteilung und nähern Sie $\vec{E}$ mit dem gaußschen Satz). Laden Sie die Kugel durch Berührung auf. Stellen Sie, wenn Sie das Lineal in einem festen Abstand annähern, das vektorielle Gleichgewicht $\sum \vec{F} = \vec{T} + \vec{P} + q\vec{E} = \vec{0}$ anhand des Auslenkungswinkels auf, um die Nettoladung $q$ in Abhängigkeit von der Linienladungsdichte $\lambda$ des Lineals auszudrücken.

3. Schwingungsenergie und Bericht: Lenken Sie das Pendel mit kleinen Amplituden $A$ bezüglich der neuen Gleichgewichtslage aus. Messen Sie die resultierenden Periodendauern, bestimmen Sie die äquivalente Rückstellkonstante $k = m\omega^2$ und messen Sie per Videoanalyse die maximale Geschwindigkeit $v_{\max}$ in jedem Fall; stellen Sie in einem Diagramm die mechanische Energie $E_m = \frac{1}{2}m v_{\max}^2$ gegen $A^2$ mit Fehlerbalken dar und vergleichen Sie sie mit der theoretischen Geraden $\frac{1}{2}kA^2$. Fassen Sie Ihre Schlussfolgerungen in einem kurzen Bericht zusammen.

Bewertet werden:

• Sorgfalt bei der experimentellen Datenauswertung, bei der Fehlerfortpflanzung und im Diagramm.

• Korrekte Anwendung des gaußschen Satzes und vektorielle Analyse der Kräfte.

• Schlüssige Begründung der Energieerhaltung im Schwingungsbereich.