Aufgaben: Ebenengleichung im Raum

Ein Ingenieur entwirft mit einem CAD-Programm die Grundfläche eines Werkstücks. Die Grundfläche soll eine Ebene sein, die durch den Punkt $P(2|-1|3)$ geht und den Normalenvektor $\vec{n} = (3, 2, -4)$ hat. Berechnen Sie die allgemeine Gleichung der Ebene, die diese Grundfläche beschreibt.

Die Oberfläche eines Solarpanels an einem Satelliten lässt sich durch die folgenden Parametergleichungen darstellen:

$\begin{cases} x = 1 + \lambda + 2\mu \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\mu \end{cases}$

Bestimmen Sie die allgemeine (implizite) Gleichung dieser Ebene.

In einem Virtual-Reality-Szenario befinden sich drei Sensoren in den Punkten $A(1|0|0)$, $B(0|2|0)$ und $C(0|0|3)$. Bestimmen Sie die allgemeine Gleichung der Ebene, die diese drei Sensoren enthält.

Gegeben ist die Gleichung der Ebene, die eine Wand eines Zimmers darstellt: $\pi \equiv 2x - 3y + z - 6 = 0$. Geben Sie begründet an, ob die folgenden Punkte auf dieser Wand liegen:

1. a) $Q(3|0|0)$
2. b) $R(1|1|1)$

Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt $A(5|-2|4)$ geht und parallel zur Ebene mit der Gleichung $\pi \equiv 3x - y + 2z + 8 = 0$ ist. Denken Sie daran: Zwei parallele Ebenen haben denselben Normalenvektor.

Ein Architekt verwendet die „Achsenabschnittsgleichung“, um ein geneigtes Dach zu beschreiben, das die Koordinatenachsen in den Punkten $(4|0|0)$, $(0|3|0)$ und $(0|0|2)$ schneidet. Schreiben Sie die Gleichung direkt auf und überführen Sie sie in die allgemeine Form $Ax + By + Cz + D = 0$.

Es soll ein Scheinwerfer installiert werden, dessen Lichtstrahl senkrecht auf eine Metallplatte trifft. Wenn der Lichtstrahl auf der Geraden $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{4}$ verläuft, bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, die die Metallplatte enthält, wenn bekannt ist, dass sie durch den Punkt $M(0|4|-2)$ geht.

Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, die die Gerade $r \equiv \begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$ enthält und außerdem durch den außerhalb liegenden Punkt $P(1|1|1)$ geht.

Ein Architekt entwirft ein ebenes Dach für einen kleinen Pavillon. Das Dach soll auf drei Stützen ruhen, deren obere Enden in den Punkten $A(2|0|3)$, $B(0|4|3)$ und $C(1|1|5)$ liegen; die Einheiten sind Meter.

1. a) Bestimmen Sie die allgemeine (implizite) Gleichung der Ebene, die das Dach enthält.
2. b) Berechnen Sie die Schnittpunkte dieser Ebene mit den Koordinatenachsen, um zu bestimmen, wo die Verankerungen lägen, wenn sich das Dach bis zu den Hauptwänden (Achsen) erstreckte.

Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene $\pi$, die die Gerade $r$ enthält, die gegeben ist durch:

und parallel zur Geraden $s$ ist, die durch die Punkte $P(0|2|1)$ und $Q(1|2|4)$ geht. Begründen Sie, warum der Richtungsvektor von $s$ nicht proportional zu dem von $r$ sein darf, damit die Ebene eindeutig bestimmt ist.

Gegeben ist das Ebenenbüschel, dessen Achse die Schnittgerade der Ebenen $\pi_1 \equiv 2x - y + z - 3 = 0$ und $\pi_2 \equiv x + y - 2z + 1 = 0$ ist. Bestimmen Sie die Ebene aus diesem Büschel, die durch den Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten $A(1|2|-1)$ und $B(3|0|5)$ geht.

Eine Ebene $\pi$ schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten $X(a|0|0)$, $Y(0|b|0)$ und $Z(0|0|c)$. Es ist bekannt, dass die Ebene durch den Punkt $P(1|2|2)$ geht und dass die Abstände der Schnittpunkte vom Ursprung gleich sind ($a = b = c$).

1. a) Geben Sie die allgemeine Gleichung der Ebene an.
2. b) Berechnen Sie das Volumen des Tetraeders aus dem Koordinatenursprung und den drei Schnittpunkten mit den Achsen.

Bestimmen Sie den Wert des Parameters $k \in \mathbb{R}$ so, dass die Punkte $A(1|0|1)$, $B(0|2|1)$, $C(2|1|0)$ und $D(k|k|2)$ komplanar sind. Geben Sie nach der Bestimmung von $k$ die Gleichung der Ebene, die sie enthält, in Parameterform an.

Bei einem Rettungseinsatz fliegt eine Drohne geradlinig entlang der Geraden $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+2}{-1}$. Die Drohne soll ein Funksignal senden, das nur wirksam ist, wenn es senkrecht auf eine ebene Schutzwand trifft.

1. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, die diese Wand darstellt, wenn sie durch den Punkt $P(2|2|2)$ gehen und senkrecht zur Flugbahn der Drohne sein soll.
2. b) Berechnen Sie den genauen Punkt, an dem die Flugbahn der Drohne auf die Wand treffen würde.

Gegeben sind die Ebenen $\pi_1 \equiv (a-2)x + 2y + z = 0$ und $\pi_2 \equiv 4x + ay + 2z = b$:

1. a) Berechnen Sie die Werte von $a$ und $b$, für die die Ebenen identisch sind.
2. b) Berechnen Sie die Werte von $a$ und $b$, für die die Ebenen parallel, aber nicht identisch sind.
3. c) Welche Beziehung muss zwischen $a$ und $b$ bestehen, damit der Koordinatenursprung in der Schnittmenge beider Ebenen liegt?

Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, die die folgenden Geraden enthält, und überprüfen Sie zuerst, dass sie sich in einem Punkt schneiden:

Wenn ein dritter Laserstrahl in Richtung des Normalenvektors dieser Ebene verläuft und vom Schnittpunkt von $r$ und $s$ ausgeht, wie lautet dann seine Vektorgleichung?

Ein Architekt entwirft das Dach einer Sporthalle. Die Haupttragstruktur ist durch zwei Metallträger definiert, die auf den Geraden liegen:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$ und $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$

Bestimmen Sie die allgemeine Gleichung der Ebene $\pi$, die parallel zu beiden Trägern ist und den Abstand $\sqrt{14}$ Einheiten vom Koordinatenursprung hat. Gibt es genau eine Lösung? Begründen Sie Ihre Antwort.

Gegeben ist das Ebenenbüschel mit der Achse (Trägergerade) $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$. Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene $\pi$ aus diesem Büschel, die gleichzeitig die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:

1. Sie ist senkrecht zur Ebene $\sigma: x - 2y + z - 5 = 0$.

2. Der Punkt $P(0|a|1)$ liegt für ein reelles $a$ in der Ebene $\pi$.

Bestimmen Sie den Wert von $a$ und die allgemeine Gleichung von $\pi$.

Ein Laserstrahl geht vom Punkt $A(1|2|-2)$ aus und folgt der Richtung des Vektors $\vec{u} = (1, -1, 1)$, bis er auf einen ebenen Spiegel trifft, der die Gerade $s: \begin{cases} x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$ und den Punkt $B(0|0|4)$ enthält.

1. a) Berechnen Sie die Gleichung der Ebene $\pi$, in der der Spiegel liegt.
2. b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Auftreffpunkts $P$ des Lasers auf dem Spiegel.

Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene $\pi$, die die Schnittgerade der Ebenen $\alpha: 2x - y + 3z = 1$ und $\beta: x + 2y - z = 0$ enthält und die positiven Koordinatenachsen $OX$, $OY$ und $OZ$ in den Punkten $P$, $Q$ und $R$ so schneidet, dass das Volumen des Tetraeders aus dem Ursprung und diesen Punkten minimal ist.

Wir betrachten die sich schneidenden Geraden $r$ und $s$, die eine Ebene $\alpha$ festlegen. Die Gerade $r$ geht durch $P(1|0|1)$ mit Richtung $\vec{d_r} = (2, 1, -1)$ und die Gerade $s$ geht durch $Q(1|0|1)$ mit Richtung $\vec{d_s} = (0, 1, 1)$.

Bestimmen Sie die Gleichung einer Ebene $\pi$, die parallel zu $\alpha$ ist und für die die Kugel mit Mittelpunkt $C(3|2|1)$ und Radius $R=2$ diese Ebene $\pi$ berührt. Bestimmen Sie die beiden möglichen Lösungen.

Gegeben sind die Punkte $A(1|1|1)$, $B(3|0|2)$ und $C(4|k|0)$. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen $\pi_1$, $\pi_2$ und $\pi_3$ in Abhängigkeit vom reellen Parameter $k$, wobei gilt:

• $\pi_1$ ist die Ebene durch $A$, $B$ und den Ursprung.

• $\pi_2$ ist die Ebene, die $C$ enthält und senkrecht zur Geraden durch $A$ und $B$ ist.

• $\pi_3$ ist die Ebene mit der Gleichung $x + y + z = k + 2$.

Eine Drohne fliegt geradlinig entlang der Geraden $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{2}$. Es soll eine ebene Schutzwand $\pi$ installiert werden, die die Gerade $s: \begin{cases} x = t \\ y = 2 \\ z = 1-t \end{cases}$ enthält.

Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene $\pi$ so, dass sie parallel zur Flugbahn der Drohne ist. Berechnen Sie den minimalen Abstand, in dem die Drohne an dieser Wand vorbeifliegt.

Es sei $P(1|2|-1)$ ein Punkt im Raum und $r$ die Schnittgerade der Ebenen $x - y = 0$ und $z = 2$.

1. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene $\pi_1$, die $r$ enthält und durch $P$ geht.
2. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene $\pi_2$, die $r$ enthält und senkrecht zu $\pi_1$ ist.
3. c) Berechnen Sie den Winkel, den die Ebene $\pi_2$ mit der Koordinatenebene $XY$ einschließt.