Aufgaben: Gauß-Verfahren

Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen mit dem Gauß-Verfahren. Auch wenn Sie andere Verfahren aus früheren Jahrgangsstufen verwenden könnten, sollen Sie hier die Umformung der Koeffizientenmatrix auf Stufenform üben:

$$\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$$

Zur Hilfe veranschaulichen wir das Erzeugen der Null unterhalb des ersten Diagonalelements:

Beim Gauß-Verfahren ist der letzte Schritt das Rückwärtseinsetzen. Lösen Sie das folgende System, das bereits in Stufenform (Dreiecksform) vorliegt:

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2y + 3z = 11 \\ 4z = 12 \end{cases}$$

Bestimmen Sie die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus, indem Sie die nötigen elementaren Zeilenumformungen zur Dreiecksform der Matrix durchführen:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + 5z = 11 \\ x - 5y + 6z = 29 \end{cases}$$

Klassifizieren Sie das folgende System nach der Anzahl seiner Lösungen, nachdem Sie das Gauß-Verfahren angewendet haben. Geben Sie anhand der letzten Zeile an, ob es eindeutig lösbar, unendlich viele Lösungen hat oder unlösbar ist:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 2z = 1 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$

Ein System mit unendlich vielen Lösungen ist mehrdeutig lösbar. Zeigen Sie mit dem Gauß-Verfahren, dass dies für das folgende System zutrifft, und geben Sie die allgemeine Lösung in Abhängigkeit von einem Parameter $\lambda$ an (setzen Sie $z = \lambda$):

$$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + z = 2 \\ x - 2y = -1 \end{cases}$$

Ein Grafikdesign-Studio stattet seine Arbeitsplätze mit drei Bestellungen beim selben Komponentenhändler aus:

• Erste Bestellung: 1 Tastatur, 1 Maus und 1 Mauspad für $55\ \text{€}$.

• Zweite Bestellung: 2 Tastaturen, 2 Mäuse und 1 Mauspad für $102\ \text{€}$.

• Dritte Bestellung: 1 Tastatur und 2 Mauspads für $51\ \text{€}$.

Stellen Sie das Gleichungssystem auf und berechnen Sie mit dem Gauß-Verfahren den Einzelpreis jedes Artikels.

Gegeben ist die erweiterte Koeffizientenmatrix $(A|B)$ eines Gleichungssystems. Führen Sie die nötigen elementaren Umformungen durch, um eine Matrix in Stufenform zu erhalten, und lösen Sie das System:

$$(A|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 5 \end{array} \right)$$

Manchmal ist es günstig, die Reihenfolge der Gleichungen zu ändern, um die Rechnung zu erleichtern (eine „1“ als Pivotelement suchen). Ordnen Sie die Gleichungen um und lösen Sie das folgende System mit dem Gauß-Verfahren:

$$\begin{cases} 3x - y + 2z = 7 \\ 2x + y + z = 6 \\ x + y + z = 4 \end{cases}$$

Elias löst mit dem Gauß-Verfahren ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen. Nach elementaren Zeilenumformungen der erweiterten Matrix $(A|B)$ erhält er die folgende Stufenform:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 2 \end{pmatrix}$$

Elias behauptet in seiner Klausur: „Da in der letzten Zeile die Koeffizientenmatrix nur Nullen enthält, fällt eine Variable weg; also ist der Rang der Matrix 2, das System hat unendlich viele Lösungen, die von einem Parameter $\lambda$ abhängen.“

1. a) Bestimmen Sie den begrifflichen Fehler von Elias und erklären Sie ihn genau. Worin besteht in dieser Stufenform der Unterschied zwischen dem Rang der Koeffizientenmatrix $A$ und dem Rang der erweiterten Matrix $A^*$?
2. b) Geben Sie die Gleichung mit den Variablen $x, y, z$ an, die die dritte Zeile der Stufenform darstellt, und begründen Sie, warum diese Gleichung die Unlösbarkeit des Systems zeigt, ohne auf auswendig gelernte Regeln zurückzugreifen.
3. c) Korrigieren Sie Elias' Schlussfolgerung, indem Sie das System nach dem Satz von Rouché-Frobenius klassifizieren, und deuten Sie, was geometrisch mit den drei Ebenen des ursprünglichen Systems geschieht.

Betrachten Sie das folgende überbestimmte System aus drei Gleichungen mit zwei Variablen:

$$\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x - y = 5 \\ 3x + 2y = 11 \end{cases}$$

1. a) Schätzen: Erklären Sie, bevor Sie rechnen, was jede Gleichung in der affinen Ebene $\mathbb{R}^2$ geometrisch darstellt. Wenn Sie auf einem Blatt drei Geraden zufällig zeichnen, was ist wahrscheinlicher: dass sich alle drei in genau einem Punkt schneiden oder dass sie es nicht tun? Schätzen Sie auf Basis dieser geometrischen Anschauung begründet ab, ob das System Ihrer Erwartung nach lösbar oder unlösbar ist.
2. b) Berechnen: Schreiben Sie die erweiterte Matrix $(A|B)$ auf und bringen Sie sie mit dem Gauß-Verfahren zeilenweise auf Stufenform. Bestimmen Sie aus der Stufenform die Ränge $\operatorname{rg}(A)$ und $\operatorname{rg}(A^*)$.
3. c) Überprüfen: Lösen Sie das System, falls es lösbar ist, oder begründen Sie anhand der Stufenform, dass es unlösbar ist. Vergleichen Sie das Ergebnis mit Ihrer ursprünglichen Schätzung und erklären Sie, in welcher besonderen geometrischen Beziehung die drei Geraden dieser Aufgabe zueinander stehen.

Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren. Falls das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, geben Sie die allgemeine Lösung in Abhängigkeit von einem Parameter $\lambda$ an:

$$\begin{cases} 2x - y + 3z = 5 \\ x + 2y - z = 0 \\ x - 3y + 4z = 5 \end{cases}$$

Überlegen Sie vor dem Beginn, wie Sie das „Pivotelement" wählen, um die Rechnung zu erleichtern.

Ein Technologieunternehmen stellt drei Grafikkartenmodelle her: GT, Pro und Ultra. Man weiß:

• Die Gesamtkosten für die Herstellung je einer Einheit jedes Modells betragen $950 \text{ €}$.

• Die Kosten für die Herstellung von zwei Einheiten des Modells GT sind gleich der Summe der Kosten je einer Einheit Pro und Ultra.

• Werden drei Einheiten Ultra hergestellt, übersteigen die Kosten die Kosten für je eine Einheit der beiden anderen Modelle zusammen (GT und Pro) um $100 \text{ €}$.

Stellen Sie ein Gleichungssystem auf und bestimmen Sie mit dem Gauß-Verfahren (Umformung in Stufenform) die Herstellungskosten jedes Modells.

Gegeben ist das Gleichungssystem mit dem reellen Parameter $k$:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + kz = 5 \\ kx + y + z = 1 \end{cases}$$

1. a) Wenden Sie das Gauß-Verfahren an, um eine Matrix in Stufenform zu erhalten.
2. b) Bestimmen Sie, für welche Werte von $k$ das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.
3. c) Lösen Sie es für $k = 0$.

Interpretieren Sie die Lage der drei durch die folgenden Gleichungen festgelegten Ebenen zueinander geometrisch, indem Sie das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren analysieren:

$$\pi_1: x + 2y - z = 3$$ $$\pi_2: 2x - y + z = 1$$ $$\pi_3: 5x + 5y - 2z = 10$$

Schneiden sie sich in einem Punkt, in einer Geraden oder haben sie keinen gemeinsamen Punkt? Begründen Sie Ihre Antwort, nachdem Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix umgeformt haben.

Ein Leistungszentrum für Sport veranstaltet ein Sommercamp. Es hat insgesamt $45$ Betreuer aus den Bereichen Schwimmen, Leichtathletik und Radsport eingestellt.

• Die Zahl der Schwimmbetreuer ist doppelt so groß wie die der Leichtathletikbetreuer.

• Würde man $5$ Leichtathletikbetreuer mehr einstellen, wäre ihre Zahl gleich der der Radsportbetreuer.

Bestimmen Sie mit dem Gauß-Verfahren, wie viele Betreuer es in jedem Bereich gibt.

Betrachten Sie das folgende homogene Gleichungssystem:

$$\begin{cases} x + 2y + 3z = 0 \\ 3x + y - z = 0 \\ 2x - y - 4z = 0 \end{cases}$$

1. a) Zeigen Sie durch Umformung der Koeffizientenmatrix in Stufenform, dass das Gleichungssystem Lösungen außer der trivialen Lösung ($x=0, y=0, z=0$) besitzt.
2. b) Bestimmen Sie die Parameterdarstellung der Lösung des Gleichungssystems.

Nachdem das Gauß-Verfahren teilweise auf ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten $(x, y, z)$ angewendet wurde, ist man zu der folgenden erweiterten Koeffizientenmatrix gelangt:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & m^2-4 & | & m-2 \end{pmatrix}$$

Untersuchen Sie den Typ des Gleichungssystems (eindeutig lösbar, unendlich viele Lösungen oder unlösbar) in Abhängigkeit von den Werten des Parameters $m$. Gibt es einen Wert von $m$, für den das Gleichungssystem unlösbar ist?

Drei Freunde, Anna, Bruno und Karl, sparen für eine Abschlussfahrt, die $1200 \text{ €}$ pro Person kostet.

• Zusammen haben die drei die Hälfte des Geldes gespart, das für die Fahrt aller drei nötig ist.

• Das Dreifache dessen, was Anna hat, minus das, was Karl hat, ist gleich dem, was Bruno hat.

• Wenn Anna $100 \text{ €}$ an Karl gäbe, hätten beide gleich viel.

Stellen Sie das Gleichungssystem auf und lösen Sie es mit dem Gauß-Verfahren, um zu bestimmen, wie viel jeder gespart hat und wie viel ihnen noch fehlt, um verreisen zu können.

Ein städtisches Nahverkehrsunternehmen einer deutschen Großstadt analysiert die Entwertungen von Fahrkarten an einem Werktag. Betrachtet werden drei Fahrkartenarten: Einzelfahrschein ($x$), 10er-Karte ($y$) und Monatskarte für Jugendliche ($z$), jeweils in Tausend Fahrten gemessen.

Das technische Kontrollsystem liefert die folgenden Daten:

1. Die Gesamtzahl der registrierten Fahrten der drei Fahrkartenarten betrug $100$ Tausend Fahrten.

2. Die Zahl der Fahrten mit der Monatskarte für Jugendliche überstieg die Summe der Fahrten mit Einzelfahrschein und 10er-Karte um $20$ Tausend.

3. Die mit der 10er-Karte entwerteten Fahrten waren genau dreimal so viele wie die mit dem Einzelfahrschein.

Außerdem prüft die Rechnungsprüfung die Einnahmen: Der Einzelfahrschein kostet $1,50$ €, jede Fahrt mit der 10er-Karte bringt eine Einnahme von $0,80$ € und jede Fahrt mit der Jugendmonatskarte schlägt mit einer durchschnittlichen Einnahme von $0,50$ € zu Buche. Der Bericht des Prüfers behauptet, die Gesamteinnahmen hätten $68$ Tausend Euro betragen, und vermutet eine Unstimmigkeit in den Daten.

1. a) Stellen Sie ein Gleichungssystem aus 4 linearen Gleichungen mit 3 Unbekannten ($x, y, z$) auf, das alle verfügbaren Informationen enthält.
2. b) Schreiben Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems (mit den Maßen $4 \times 4$) auf und bringen Sie sie mit dem Gauß-Verfahren vollständig in Stufenform.
3. c) Entscheiden Sie anhand der mit dem Gauß-Verfahren erhaltenen Ränge der Koeffizientenmatrix und der erweiterten Koeffizientenmatrix, ob der Bericht des Prüfers mit den registrierten Entwertungen vereinbar oder unvereinbar ist. Falls ein Widerspruch besteht, berechnen Sie, wie hoch die tatsächlichen Einnahmen genau hätten sein müssen, damit die Daten konsistent wären.

Zur Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems:

$$\begin{cases} 3x - y + 2z = 7 \\ x + y + z = 4 \\ 2x - 3y + z = 1 \end{cases}$$

werden zwei auf Zeilenumformungen beruhende Wege vorgeschlagen:

• Weg A (klassisches Gauß-Verfahren): Die Zeilen so vertauschen, dass ein günstiges Pivotelement entsteht, die erweiterte Koeffizientenmatrix durch Erzeugen von Nullen unterhalb der Hauptdiagonale auf Dreiecksform bringen und die Lösung durch Rückwärtseinsetzen bestimmen.

• Weg B (Gauß-Jordan-Verfahren): Die Zeilen vertauschen und die Zeilenumformungen fortsetzen, bis auch oberhalb der Hauptdiagonale Nullen stehen, sodass die Koeffizientenmatrix in die Einheitsmatrix umgeformt wird und man die Lösung direkt ablesen kann.

1. a) Begründen Sie, welcher Zeilentausch vor Beginn der Rechnung sinnvoll ist, um Brüche zu vermeiden, und vergleichen Sie beide Wege: Wie viele Eliminationsschritte (Nullsetzen von Einträgen) führt Weg B durch, die Weg A nicht durchführt? In welcher praktischen Situation lohnt sich der zusätzliche Aufwand des Gauß-Jordan-Verfahrens gegenüber dem klassischen Gauß-Verfahren?
2. b) Wenden Sie Weg A an: Geben Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix in jedem Schritt der Umformung auf Stufenform an und berechnen Sie die Lösung durch Rückwärtseinsetzen.
3. c) Der Vektor der Konstanten des Gleichungssystems werde durch $(0, 0, 0)$ ersetzt. Erklären Sie, ohne das System zu lösen, ob das gesamte Gauß-Verfahren nötig wäre, um es zu klassifizieren und mindestens eine Lösung zu finden.

Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem mit dem reellen Parameter $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$

1. a) Untersuchen Sie das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren für die verschiedenen Werte von $k$.
2. b) Bestimmen Sie für den Fall, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, die allgemeine Lösung und geben Sie eine spezielle Lösung an, deren Komponentensumme gleich 1 ist.
3. c) Gibt es einen Wert von $k$, für den das Gleichungssystem drei Ebenen darstellt, die sich in einer Geraden schneiden? Begründen Sie Ihre Antwort.

Ein Labor für Luft- und Raumfahrttechnik entwickelt eine neue Legierung aus drei Metallen: Titan ($x$), Aluminium ($y$) und Vanadium ($z$). Die Massenanteile müssen das folgende Gleichungssystem erfüllen, wobei $\alpha$ und $\beta$ Parameter sind, die von der Schmelztemperatur abhängen:

$\begin{cases} x + y + z = \alpha \\ \alpha x + y + z = 1 \\ x + \alpha y + z = \beta \end{cases}$

1. a) Untersuchen Sie die Lösbarkeit des Gleichungssystems in Abhängigkeit von den Werten von $\alpha$ und $\beta$.
2. b) Für $\alpha = -1$: Welchen Wert muss $\beta$ haben, damit das Gleichungssystem lösbar ist? Lösen Sie es in diesem Fall mit dem Gauß-Verfahren.
3. c) Interpretieren Sie die Ergebnisse für den Fall, dass das Gleichungssystem unlösbar wäre, im Hinblick auf die Herstellung der Legierung.

Ein Fintech-Unternehmen verwendet einen Algorithmus, um drei Anlageportfolios auszugleichen. Der Kapitalfluss zwischen ihnen ist durch das folgende Gleichungssystem festgelegt:

$\begin{cases} x + 2y + 3z = 2 \\ 2x + 5y + 4z = -1 \\ x + 3y + az = b \end{cases}$

1. a) Wenden Sie das Gauß-Verfahren an, um eine Matrix in Stufenform zu erhalten, und untersuchen Sie das Gleichungssystem in Abhängigkeit von den Werten von $a$ und $b$.
2. b) Bestimmen Sie die Werte von $a$ und $b$, für die die Portfolios keinen gemeinsamen Gleichgewichtspunkt haben (unlösbares Gleichungssystem).
3. c) Für $a = 1$ und $b = -3$ hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Bestimmen Sie die Lösung, die den Wert von $x^2$ minimiert.

Untersuchen Sie das folgende Gleichungssystem aus 4 Gleichungen mit 3 Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ ax + 10y + 4z = 11 \\ 3x + 4y + 2z = a \end{cases}$

1. a) Bestimmen Sie, für welchen Wert von $a$ das Gleichungssystem lösbar ist.
2. b) Lösen Sie das Gleichungssystem für diesen Wert von $a$ und geben Sie an, ob die Lösung eindeutig ist.
3. c) Welche Lage zueinander haben die vier durch die Gleichungen festgelegten Ebenen, wenn das Gleichungssystem lösbar ist?

Gegeben ist das homogene Gleichungssystem mit dem Parameter $m$:

$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x + my + z = 0 \\ 2x + y + mz = 0 \end{cases}$

1. a) Bestimmen Sie mit dem Gauß-Verfahren die Werte von $m$, für die das Gleichungssystem Lösungen außer der trivialen Lösung $(0,0,0)$ besitzt.
2. b) Lösen Sie das Gleichungssystem für den in Teilaufgabe a) gefundenen ganzzahligen Wert von $m$ und geben Sie die Parameterdarstellung der Lösung an.
3. c) Geben Sie eine spezielle, von der trivialen verschiedene Lösung an, bei der die Unbekannten ganze Zahlen sind.

In einem intelligenten Stromnetz erfüllen die Stromstärken $I_1, I_2, I_3$ und $I_4$ in vier Knoten die folgenden Kirchhoffschen Gesetze, skaliert mit einem Widerstandsfaktor $R$:

$\begin{cases} I_1 + I_2 - I_3 + I_4 = 0 \\ 2I_1 - I_2 + I_3 = 5 \\ I_1 + I_3 - 2I_4 = 1 \\ 3I_1 + I_4 = 6 \end{cases}$

1. a) Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gauß-Jordan-Verfahren (erzeugen Sie dabei möglichst viele Nullen in der Matrix).
2. b) Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar? Begründen Sie, ob es möglich ist, eine der Messungen wegzulassen, ohne Information über die Stromstärken zu verlieren.

Es soll ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten konstruiert werden, das gleichzeitig Folgendes erfüllt:

1. Es hat unendlich viele Lösungen.

2. Eine seiner Lösungen ist $(1, 0, 2)$.

3. Beim Anwenden des Gauß-Verfahrens ist die letzte Zeile der Stufenmatrix die Nullzeile.

1. a) Entwerfen Sie ein eigenes Gleichungssystem, das diese Bedingungen erfüllt.
2. b) Erklären Sie Schritt für Schritt den Prozess der Umformung in Stufenform bei Ihrem Gleichungssystem, um zu zeigen, dass es tatsächlich unendlich viele Lösungen hat.

Betrachten Sie das Gleichungssystem:

$\begin{cases} x + ay + z = a \\ ax + y + z = 1 \\ x + y + az = a^2 \end{cases}$

1. a) Untersuchen Sie das Gleichungssystem für die verschiedenen reellen Werte von $a$.

1. b) Beschreiben Sie für $a = 1$ die Lösung geometrisch.

1. c) Zeigen Sie für $a = -2$ mit dem Gauß-Verfahren, dass das Gleichungssystem unlösbar ist. Welche geometrische Konfiguration bilden die drei Ebenen in diesem Fall? Begründen Sie Ihre Antwort mit der Lage der Ebenen zueinander (zum Beispiel durch Untersuchung ihrer Normalenvektoren) und nutzen Sie dazu eine selbst angefertigte Skizze.

Entwerfen Sie ein Gleichungssystem aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten ($x, y, z$), das gleichzeitig die folgenden vier Bedingungen erfüllt:

1. Keiner der Koeffizienten der drei Unbekannten in der ersten Gleichung darf gleich 0 sein, und ihre rechte Seite muss $2$ sein.

2. Beim Anwenden des Gauß-Verfahrens auf die erweiterte Koeffizientenmatrix $(A|B)$ mit dem Koeffizienten $a_{11}$ als erstem Pivotelement zum Eliminieren der ersten Spalte muss die entstehende zweite Zeile genau $(0, 1, -2 \mid 1)$ sein.

3. Das Gleichungssystem muss unendlich viele Lösungen mit einem Freiheitsgrad (Rang 2) haben, sodass es geometrisch drei Ebenen darstellt, die sich in einer Geraden $r$ schneiden.

4. Die Lösungsgerade $r$ muss den Richtungsvektor $\vec{v} = (3, 2, 1)$ haben.

1. a) Leiten Sie begründet die Koeffizienten der ersten Gleichung aus der Orthogonalität zwischen dem Normalenvektor der Ebene und der Richtung von $\vec{v}$ her und beachten Sie dabei die vorgegebenen Zahlenbedingungen.
2. b) Konstruieren Sie die beiden anderen Gleichungen des Gleichungssystems so, dass man beim Anwenden der elementaren Gauß-Umformungen in der zweiten Zeile das angegebene Ergebnis erhält und die dritte Zeile vollständig verschwindet.
3. c) Schreiben Sie die erweiterte Anfangsmatrix Ihres Gleichungssystems auf, wenden Sie das Gauß-Verfahren Schritt für Schritt an, um zu überprüfen, dass die geforderten Zeilen entstehen, und bestimmen Sie die Parametergleichung der Lösungsgeraden. Prüfen Sie, dass ihr Richtungsvektor mit $\vec{v}$ übereinstimmt.

Gegeben ist das Gleichungssystem mit dem reellen Parameter $a$:

$$\begin{cases} x + a y + z = 1 \\ a x + y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}$$

Um das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren zu untersuchen, stellt Marcus die erweiterte Koeffizientenmatrix auf und führt die folgenden elementaren Umformungen durch:

$$\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & | & 1 \\ a & 1 & 1 & | & a \\ 1 & 1 & a & | & a^2 \end{pmatrix} \xrightarrow{\substack{F_2 \leftarrow F_2 - a F_1 \\ F_3 \leftarrow F_3 - F_1}} \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 - a^2 & 1 - a & | & 0 \\ 0 & 1 - a & a - 1 & | & a^2 - 1 \end{pmatrix}$$

Anschließend bemerkt Marcus, dass man in der zweiten und dritten Zeile den Faktor $(1 - a)$ ausklammern kann, und rechnet:

$$F_2 \leftarrow \frac{1}{1-a} F_2, \quad F_3 \leftarrow \frac{1}{1-a} F_3 \implies \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 + a & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & -(a + 1) \end{pmatrix}$$

Danach vertauscht er $F_2 \leftrightarrow F_3$, eliminiert die Unbekannte in der letzten Zeile und folgert: „Der einzige besondere Wert ist $a = -2$, bei dem das letzte Pivotelement null wird; für $a = 1$ gibt es kein Problem, weil die Zeile gekürzt wurde, und das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar."

1. a) Finden Sie die beiden begrifflichen Fehler, die Marcus bei der Anwendung des Gauß-Verfahrens mit Parametern macht, und begründen Sie sie (einer betrifft die algebraische Zulässigkeit der durchgeführten Umformung, der andere die Schlussfolgerung für $a = 1$).
2. b) Erklären Sie, warum das Dividieren einer Zeile durch einen Term, der von einem Parameter abhängt, die Äquivalenz der Gleichungssysteme zerstören kann und welche Wirkung das auf die Lösungen hat.
3. c) Führen Sie die korrekte und vollständige Diskussion des Gleichungssystems mit dem Gauß-Verfahren durch, indem Sie die Matrix in Stufenform bringen, ohne durch Faktoren zu dividieren, die den Parameter enthalten (oder indem Sie die erforderlichen Fallunterscheidungen vorab treffen), und bestimmen Sie $\operatorname{rg}(A)$ und $\operatorname{rg}(A^*)$ für jedes $a \in \mathbb{R}$.
4. d) Bestimmen Sie für den Fall $a = 1$ die Lösung anhand der korrekten Stufenmatrix und interpretieren Sie die Lage der drei ursprünglichen Ebenen zueinander geometrisch.