Aufgaben: Flächeninhalt unter einer Kurve

Betrachten Sie die lineare Funktion $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Berechnen Sie den Flächeninhalt der in der Grafik schraffierten Fläche, die von der Funktion, der Achse $OX$ und den senkrechten Geraden $x = 0$ und $x = 4$ begrenzt wird. Gehen Sie dazu wie folgt vor:

1. Berechnen Sie den Flächeninhalt mit elementaren geometrischen Formeln (Flächeninhalt eines Trapezes).

2. Berechnen Sie das bestimmte Integral $\int_{0}^{4} (\frac{1}{2}x + 1) \, dx$ mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung und überprüfen Sie, dass beide Ergebnisse übereinstimmen.

Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals der Polynomfunktion $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ im Intervall $[1; 2]$. Bestimmen Sie also das Ergebnis von:

Eine Autowaschstraße hat eine Metallkonstruktion, deren Oberseite der Form der Parabel $f(x) = -x^2 + 4$ folgt. Berechnen Sie den Flächeninhalt der ebenen (frontalen) Fläche, die von der Parabelkonstruktion und dem Boden (Achse $OX$) begrenzt wird, wenn die Auflagepunkte am Boden $x = -2$ und $x = 2$ sind.

In der Physik lässt sich der zurückgelegte Weg eines Objekts als Flächeninhalt unter der Kurve in einem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm berechnen. Wenn sich ein E-Scooter-Fahrer in der ersten halben Stunde ($t = 0,5$ h) mit einer konstanten Geschwindigkeit von $v(t) = 12$ km/h bewegt, stellen Sie das bestimmte Integral auf, das die in dieser Zeit zurückgelegte Strecke darstellt, und berechnen Sie es.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion $f(x) = x^2 - 9$ und der x-Achse ($OX$) begrenzt wird.

Verwenden Sie die Eigenschaften des bestimmten Integrals, um die folgende Aufgabe zu lösen:

Es sei $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ und $\int_{4}^{6} f(x) \, dx = -3$. Berechnen Sie begründet den Wert von:

1. $\int_{1}^{6} f(x) \, dx$

2. $\int_{4}^{1} 2 \cdot f(x) \, dx$

Berechnen Sie den gesamten Flächeninhalt der Fläche, die von der Geraden $f(x) = x - 2$, der Achse $OX$ und den senkrechten Geraden $x = 0$ und $x = 3$ begrenzt wird.

Hinweis: Beachten Sie, dass die Funktion die Achse $OX$ an einer Stelle innerhalb des gegebenen Intervalls schneidet, sodass Sie die Fläche in zwei Teilflächen zerlegen müssen.

Ein Grafikdesign-Unternehmen möchte ein Logo entwerfen, das eine durch $f(x) = \sqrt{x}$ definierte Kurvenform enthält. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Teils des Logos, der von dieser Kurve, der Achse $OX$ und der senkrechten Geraden $x = 9$ eingeschlossen wird.

Lea soll den Flächeninhalt der Fläche berechnen, die von der Kurve $f(x) = x^2 - 1$, der x-Achse $OX$ und den senkrechten Geraden $x = 0$ und $x = 2$ begrenzt wird. In ihrer Klausur schreibt sie die folgende Rechnung auf:

1. a) Erklären Sie, ohne zunächst neu zu rechnen, ausführlich den begrifflichen Fehler, den Lea gemacht hat, anhand des Vorzeichens von $f(x)$ im Intervall $[0;2]$, und erklären Sie, warum ihr Endergebnis kleiner ist als der tatsächliche Flächeninhalt.
2. b) Korrigieren Sie die Aufgabe, indem Sie das Integrationsintervall geeignet aufteilen, und berechnen Sie den exakten Flächeninhalt.

Es soll der Flächeninhalt der geschlossenen Fläche berechnet werden, die im ersten Quadranten von der Parabel $f(x) = 4 - x^2$ und den positiven Koordinatenachsen begrenzt wird.

1. a) Schätzen Sie vor dem Integrieren den Flächeninhalt ab, indem Sie ihn zwischen zwei elementaren geometrischen Figuren einschließen: dem rechtwinkligen Dreieck mit den Eckpunkten $(0|0)$, $(2|0)$ und $(0|4)$ und dem umschriebenen Rechteck mit den Abmessungen $2 \times 4$. Geben Sie anhand dieser beiden Schranken einen Schätzwert für den Flächeninhalt an.
2. b) Berechnen Sie den exakten Flächeninhalt, indem Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auf das entsprechende bestimmte Integral anwenden.
3. c) Überprüfen Sie, ob der erhaltene exakte Wert innerhalb der in Teilaufgabe a) festgelegten Schranken liegt, und bestimmen Sie den absoluten Fehler Ihrer ursprünglichen Schätzung gegenüber dem tatsächlichen Wert.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ und der x-Achse $OX$ begrenzt wird. Zeichnen Sie die Fläche vor den Berechnungen, um die Schnittpunkte zu erkennen.

Sie können es auf Papier erledigen und ein Foto Ihrer Antwort senden.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Bereichs zwischen der Kurve $f(x) = x^3 - 4x$ und der Achse $OX$ im Intervall $[-1; 2]$. Beachten Sie, dass die Funktion im Intervall das Vorzeichen wechseln kann, sodass Sie das Integral gegebenenfalls aufteilen müssen.

Ein Grafikdesign-Unternehmen möchte ein Logo entwerfen, das die Form einer „Welle“ enthält. Diese Form wird im Intervall $[0; \pi]$ durch die Funktion $f(x) = \sin(x) + 1$ beschrieben. Berechnen Sie den gesamten Flächeninhalt der Figur, die von der Kurve, der Achse $OX$ und den senkrechten Geraden $x = 0$ und $x = \pi$ begrenzt wird.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von der Funktion $f(x) = |x^2 - 1|$ und der x-Achse zwischen $x = 0$ und $x = 2$ begrenzt wird. Beachten Sie, dass die Definition des Betrags bedeutet, dass die Funktion stets nichtnegativ ist, ihr Term sich aber an den Stellen ändert, an denen das Argument null wird.

Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^2 - 2x + 2$. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die vom Graphen von $f(x)$, der Achse $OX$, der Achse $OY$ und der Tangente an die Kurve an der Stelle $x = 3$ begrenzt wird.

Bestimmen Sie den Wert eines positiven Parameters $k$, wenn der Flächeninhalt der Fläche, die von der Parabel $f(x) = kx^2$ und der Achse $OX$ zwischen $x = 0$ und $x = 3$ begrenzt wird, genau $18$ Flächeneinheiten beträgt.

Ein Architekt entwirft den Eingang eines Tunnels, dessen Frontquerschnitt durch die Funktion $f(x) = 4 - \frac{1}{4}x^2$ modelliert werden kann, wobei $x$ und $y$ in Metern angegeben sind. Der Tunnelboden fällt mit der Achse $OX$ zusammen. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Querschnitts des Tunneleingangs.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die im ersten Quadranten von der Kurve $f(x) = \sqrt{x}$, der Achse $OX$ und der Geraden $y = -x + 6$ begrenzt wird. Hilfe: Bestimmen Sie zuerst den Schnittpunkt zwischen der Kurve und der Geraden, um die Integrationsgrenzen zu ermitteln.

Betrachten Sie die Kurvenschar $f_k(x) = kx - x^2$, wobei $k$ ein positiver reeller Parameter ist ($k > 0$).

1. a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen von $f_k$ mit der Achse $OX$ und ermitteln Sie in Abhängigkeit vom Parameter $k$ den Term für den Flächeninhalt der Fläche, die von der Kurve und dieser Achse begrenzt wird.
2. b) Berechnen Sie den konkreten Wert von $k$, für den der Flächeninhalt dieser Fläche genau $36\text{ u}^2$ beträgt.
3. c) Für den im vorigen Teil erhaltenen Wert von $k$ soll eine senkrechte Gerade mit der Gleichung $x = c$ (mit $0 < c < k$) gezeichnet werden, die die Fläche in zwei Teile mit gleichem Flächeninhalt teilt. Leiten Sie, ohne eine neue Integralgleichung aufzustellen, her und begründen Sie, welchen exakten Wert $c$ haben muss, indem Sie sich auf die Symmetrieeigenschaften der Funktion stützen.

Nach den Strahlungsaufzeichnungen einer Wetterstation in Dortmund an einem klaren Frühlingstag wird die momentane Leistung einer Photovoltaikanlage durch die Funktion

modelliert, wobei $P(t)$ die Leistung in Megawatt ($\text{MW}$) darstellt und $t$ die Uhrzeit im Intervall $[0; 24]$ ist.

1. a) Bestimmen Sie das Zeitintervall $[t_1; t_2]$, in dem die Anlage tatsächlich Energie erzeugt ($P(t) \ge 0$).
2. b) Die insgesamt erzeugte Energie (in $\text{MWh}$) stimmt mit dem Flächeninhalt unter der Leistungskurve während der Produktionsstunden überein. Berechnen Sie die an diesem Tag insgesamt erzeugte Energie.
3. c) Wird die Energie mit einem festen Tarif von $50\text{ €/MWh}$ vergütet, bestimmen Sie die Tageseinnahmen. Erklären Sie, warum es ein methodischer Fehler gewesen wäre, die Energie über das direkte Integral $\int_0^{24} P(t)\,dt$ zu berechnen.

Ein Architekt entwirft das Seitenprofil einer neuen Sporthalle. Die Haupttragstruktur folgt dem Graphen der Funktion $f(x) = -x^2 + 6x$. Zur Stabilisierung soll eine Metallverstärkung angebracht werden, die der Tangente an die Kurve an der Stelle $x = 4$ folgt.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion $f(x)$, der genannten Tangente und der y-Achse begrenzt wird.

Betrachten Sie die Funktionen $f(x) = e^x$ und $g(x) = e^{-x}$. Sei $R$ die Fläche, die von den Graphen beider Funktionen und der senkrechten Geraden $x = k$ (wobei $k > 0$) begrenzt wird.

Bestimmen Sie den positiven Parameter $k$ so, dass der Flächeninhalt dieser Fläche genau $4$ Flächeneinheiten beträgt.

Die Funktion $f(x) = |x^2 - 4|$ sei gegeben. Wir wollen den Bereich der Ebene untersuchen, der zwischen dieser Kurve und der waagerechten Geraden $y = 5$ „eingeschlossen“ wird.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die oben von der Geraden $y = 5$ und unten vom Graphen der Funktion $f(x)$ begrenzt wird. Hinweis: Beachten Sie die Schnittpunkte und die Definition der Betragsfunktion, um das Integral gegebenenfalls aufzuteilen.

Gegeben sei die Funktion $f(x) = \ln(x)$. Aufgaben:

1. Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen an den Graphen von $f(x)$ im Punkt $P(e|1)$.

2. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von der Kurve $y = \ln(x)$, der in der vorigen Teilaufgabe bestimmten Normalen und der x-Achse begrenzt wird.

Ein Wasserbehälter hat einen Querschnitt, dessen Unterseite durch die Achse $OX$ und dessen Oberseite durch die abschnittsweise definierte Funktion gegeben ist:

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+4} & \text{für } -4 \leq x < 0 \\ 2 \cos\left(\frac{\pi x}{4}\right) & \text{für } 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$

Berechnen Sie den gesamten Flächeninhalt des Querschnitts des Behälters, indem Sie das bestimmte Integral in jedem Intervall berechnen.

Bestimmen Sie den Wert der Konstanten $a \in \mathbb{R}$ mit $a > 1$, wenn bekannt ist, dass der Flächeninhalt der Fläche, die von der Kurve $y = \frac{1}{x^2}$, der Achse $OX$ und den senkrechten Geraden $x = 1$ und $x = a$ begrenzt wird, doppelt so groß ist wie der Flächeninhalt der Fläche, die von derselben Kurve $y = \frac{1}{x^2}$, der Achse $OX$ und den Geraden $x = a$ und $x = a^2$ begrenzt wird.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von der Funktion $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ und der waagerechten Geraden durch den Hochpunkt dieser Funktion begrenzt wird.

Hilfe: Bestimmen Sie zunächst den Hochpunkt mithilfe der Ableitung, ermitteln Sie den y-Wert in diesem Punkt und bestimmen Sie dann die Schnittpunkte zwischen der Kurve und der entstehenden Geraden.

Sei $A$ die Fläche im ersten Quadranten, die von der Parabel $y = x^2$ und der Geraden $y = 9$ begrenzt wird. Es gibt eine senkrechte Gerade mit der Gleichung $x = c$ (mit $0 < c < 3$), die die Fläche $A$ in zwei Teilflächen mit gleichem Flächeninhalt teilt.

Berechnen Sie den exakten Wert der Konstanten $c$.

Um den Flächeninhalt der Fläche zu berechnen, die vom Graphen von $f(x) = x^3 - 4x$, der x-Achse $OX$ und den Geraden $x = -2$ und $x = 2$ begrenzt wird, schlagen drei Mitschüler verschiedene Strategien vor:

• Markus sucht die Nullstellen von $f(x)$ in $[-2; 2]$ ($x = -2$, $x = 0$, $x = 2$), untersucht das Vorzeichen in jedem Teilintervall und stellt auf: $\text{Flächeninhalt} = \left|\int_{-2}^0 f(x)\,dx\right| + \left|\int_0^2 f(x)\,dx\right|$.

• Sarah analysiert zuerst die globalen Eigenschaften von $f(x)$, stellt fest, dass es sich um eine ungerade Funktion handelt, und behauptet, der Flächeninhalt lasse sich direkter und übersichtlicher berechnen als: $\text{Flächeninhalt} = 2 \int_0^2 (-f(x))\,dx$.

• Ben behauptet, da die allgemeine Definition des Flächeninhalts unter einer Kurve $\int_{-2}^2 |f(x)|\,dx$ lautet, genüge es, direkt eine Stammfunktion von $|x^3 - 4x|$ zu finden und den Hauptsatz zwischen $-2$ und $2$ ohne Aufteilung anzuwenden.

1. a) Beurteilen Sie die mathematische Gültigkeit der drei Vorgehensweisen: Erklären Sie, warum Bens Ansatz in der Praxis nicht brauchbar ist, und berechnen Sie den exakten Flächeninhalt sowohl mit Markus' als auch mit Sarahs Methode, um zu überprüfen, dass beide korrekt sind.
2. b) Begründen Sie, welche der beiden gültigen Methoden effizienter ist und das Risiko von Vorzeichenfehlern beim Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung minimiert.
3. c) Die Funktion $g(x) = x^3 - 4x + 1$ entsteht durch senkrechte Verschiebung des Graphen. Begründen Sie, ob Sarahs Symmetrie-Abkürzung weiterhin angewendet werden könnte, um den Flächeninhalt zwischen der Kurve $g(x)$ und der Achse $OX$ im Intervall $[-2; 2]$ zu berechnen.

Gegeben sei die Funktion $f_m(x) = x^2 - m^2$, wobei $m > 0$ ein konstanter reeller Parameter ist. Es soll der Flächeninhalt $A(m)$ der Fläche untersucht werden, die vom Graphen von $f_m(x)$, der Achse $OX$ und den festen senkrechten Geraden $x = 0$ und $x = 2$ begrenzt wird.

1. a) Beachten Sie, dass die Lage der positiven Nullstelle der Funktion bezüglich des Intervalls $[0; 2]$ vom Wert von $m$ abhängt. Leiten Sie begründet den Funktionsterm der Flächeninhaltsfunktion $A(m)$ her und unterscheiden Sie dabei zwei Fälle: $m \ge 2$ und $0 < m < 2$.
2. b) Zeigen Sie, dass die erhaltene Funktion $A(m)$ an der Grenzstelle $m = 2$ stetig ist.
3. c) Bestimmen Sie den exakten Wert von $m \in \,]0; 2[$, für den der Flächeninhalt genau $2\text{ u}^2$ beträgt.