Aufgaben: Anwendungen des bestimmten Integrals

Berechnen Sie den Wert des folgenden bestimmten Integrals mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung:

Gegeben sei die Integralfunktion $F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^2 + 9} \, dt$. Bestimmen Sie mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung den Wert ihrer Ableitung an der Stelle $x = 4$, das heißt, berechnen Sie $F'(4)$.

Eine Grafikdesignerin zeichnet den Umriss eines Logos, der der Kurve $f(x) = e^x$ folgt. Berechnen Sie den Flächeninhalt, der von dieser Kurve, der $x$-Achse und den senkrechten Geraden $x = 0$ und $x = \ln(3)$ eingeschlossen wird.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der ebenen Fläche, die von der Parabel $f(x) = x^2 - 4x + 3$ und der x-Achse begrenzt wird. Hinweis: Bestimmen Sie zuerst die Schnittpunkte der Funktion mit der Achse.

Begründen Sie mithilfe der Eigenschaften des bestimmten Integrals, ohne eine Stammfunktion zu berechnen, warum der Wert des folgenden Integrals gleich $0$ ist:

Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen den Graphen der Funktionen $f(x) = 6 - x^2$ und $g(x) = 2$ eingeschlossen wird.

Die Geschwindigkeit eines ferngesteuerten Autos (in $m/s$) wird durch die Funktion $v(t) = 2t + 1$ beschrieben. Bestimmen Sie die insgesamt zurückgelegte Strecke des Autos zwischen den Zeitpunkten $t = 1$ s und $t = 4$ s, indem Sie das bestimmte Integral der Geschwindigkeit berechnen.

Ein Unternehmen für elektronische Bauteile hat ermittelt, dass die Grenzkosten für die Produktion von $x$ Stück eines Sensors $C'(x) = 3x^2 - 12x + 15$ Euro pro Stück betragen. Berechnen Sie den gesamten Kostenzuwachs, wenn die Produktion von $10$ auf $20$ Sensoren erhöht wird.

Um den Flächeninhalt der geschlossenen Fläche zu berechnen, die vom Graphen der Funktion $f(x) = x^3 - 4x$ und der x-Achse im Intervall $[-2;2]$ begrenzt wird, hat Markus in seiner Klausur Folgendes geschrieben:

Er folgert daraus, dass der eingeschlossene Flächeninhalt null ist.

1. a) Erklären Sie begründet den Denkfehler von Markus. Warum ergibt das bestimmte Integral null, obwohl die Fläche einen geometrisch von null verschiedenen Flächeninhalt hat?
2. b) Korrigieren Sie seine Lösung: Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse, stellen Sie die Integrale zur Berechnung des tatsächlichen Flächeninhalts korrekt auf und bestimmen Sie dessen exakten Wert mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

Es soll der Flächeninhalt der beschränkten Fläche berechnet werden, die von der Parabel $f(x) = 3x - x^2$ und der x-Achse ($y = 0$) begrenzt wird.

1. a) Schätzen Sie den Flächeninhalt begründet ab, bevor Sie ein Integral berechnen, indem Sie ihn zwischen zwei Zahlenwerten einschließen:

• Bestimmen Sie eine obere Schranke, indem Sie den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen, das die Fläche genau umschließt (seine Grundseite ist die Strecke zwischen den Schnittpunkten mit der $X$-Achse, seine Höhe der y-Wert des Scheitelpunkts der Parabel).

• Bestimmen Sie eine untere Schranke, indem Sie den Flächeninhalt des einbeschriebenen gleichschenkligen Dreiecks berechnen, dessen Grundseite diese Strecke auf der $X$-Achse ist und dessen obere Spitze der Scheitelpunkt der Parabel ist.

1. b) Berechnen Sie nun den exakten Flächeninhalt mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
2. c) Prüfen Sie, ob das exakte Ergebnis im in Teilaufgabe a) abgesteckten Intervall liegt, und begründen Sie, ob Ihre Abschätzung sinnvoll war.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der beschränkten ebenen Fläche, die von den Graphen der Funktionen $f(x) = -x^2 + 5x$ und $g(x) = x + 2$ begrenzt wird. Stellen Sie die Fläche vor der Berechnung grafisch dar.

Sie können es auf Papier lösen und ein Foto Ihrer Antwort senden.

Gegeben ist die Funktion $F(x)$, definiert durch das folgende Integral:

$F(x) = \int_{2}^{x^2-1} \frac{\ln(t)}{t} dt$

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $F(x)$ an der Stelle $x = \sqrt{3}$.

Ein Designstudio entwirft das Logo für ein neues Technologieunternehmen. Die Basis des Logos wird von der Funktion $f(x) = x^3 - 4x$ und der x-Achse $OX$ begrenzt. Berechnen Sie den gesamten Flächeninhalt der beiden geschlossenen Bereiche, die die Kurve mit der Achse bildet.

Bestimmen Sie den Wert des positiven Parameters $k > 0$ so, dass der Flächeninhalt der Fläche, die von der Parabel $y = kx^2$ und der Geraden $y = 4$ begrenzt wird, genau $16$ Flächeneinheiten beträgt.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von der Kurve $f(x) = x^2 - 4x + 5$, der Tangente an diese Kurve im Punkt $(3|f(3))$ und der y-Achse begrenzt wird.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche im ersten Quadranten, die von den Graphen von $f(x) = \frac{8}{x}$, der Geraden $y = x$ und der Geraden $y = 4$ eingeschlossen wird.

Ein autonomes Fahrzeug bewegt sich geradlinig, und seine Geschwindigkeit (in m/s) ist durch die Funktion $v(t) = t^2 - 6t + 8$ gegeben, wobei $t$ die Zeit in Sekunden ist. Berechnen Sie die vom Fahrzeug zwischen dem Zeitpunkt $t = 0$ und $t = 5$ insgesamt zurückgelegte Strecke. Hinweis: Beachten Sie, dass die Strecke das Integral des Betrags der Geschwindigkeit ist.

Betrachten Sie die Fläche, die von den Kurven $y = e^x$, $y = e^{-x}$ und der senkrechten Geraden $x = \ln(2)$ begrenzt wird.

1. a) Zeichnen Sie eine Skizze der Fläche.

1. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.

Sie können die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto Ihrer Antwort senden.

Während eines vom DWD registrierten Regenunwetters in einem Einzugsgebiet wird der Wasserzufluss in einen Stausee in den ersten $8$ Stunden des Ereignisses ($0 \le t \le 8$) durch die Funktion

modelliert, wobei $t$ in Stunden und $c(t)$ in Tausend Kubikmetern pro Stunde ($10^3\text{ m}^3/\text{h}$) gemessen wird. Gleichzeitig hält die Staumauer einen konstanten Abfluss von $22$ Tausend Kubikmetern pro Stunde aufrecht, um Überläufe zu vermeiden.

1. a) Stellen Sie die Funktion $r(t) = c(t) - 22$ auf, die die Netto-Änderungsrate des Stauseevolumens beschreibt, und bestimmen Sie begründet, zu welchem Zeitpunkt $t \in [0, 8]$ das gespeicherte Wasservolumen während des Unwetters sein relatives Maximum erreicht. Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe der Ableitung der Funktion des akkumulierten Volumens.
2. b) Zu Beginn des Unwetters ($t = 0$) enthielt der Stausee eine Reserve von $500$ Tausend Kubikmetern Wasser. Berechnen Sie mithilfe eines bestimmten Integrals das exakte Gesamtvolumen, das zum im vorherigen Teil bestimmten Zeitpunkt der maximalen Füllung gespeichert ist.

Betrachten Sie die Parabel $f(x) = 4x - x^2$ und die Geradenschar durch den Koordinatenursprung mit der Gleichung $y = mx$, wobei $m$ ein reeller Parameter mit $0 < m < 4$ ist.

1. a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $m$ die Schnittpunkte zwischen Gerade und Parabel und begründen Sie, welcher der beiden Graphen im offenen Intervall zwischen diesen Punkten oberhalb verläuft.
2. b) Drücken Sie den Flächeninhalt der zwischen beiden Kurven eingeschlossenen Fläche durch ein bestimmtes Integral aus und zeigen Sie mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung, dass dieser Flächeninhalt durch den Term

gegeben ist.

1. c) Stellen Sie die Umkehraufgabe auf und lösen Sie sie: Bestimmen Sie begründet, welchen exakten Wert die Steigung $m$ annehmen muss, damit der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche genau $4,5\text{ u}^2$ beträgt.

Gegeben ist die Funktion $f(x)$, definiert durch den folgenden Term mit einem Integral:

$F(x) = \int_{0}^{x^2} \frac{t-1}{2+e^t} dt$

Bestimmen Sie begründet:

1. a) Die Intervalle, in denen $F(x)$ auf der gesamten Definitionsmenge monoton steigend bzw. fallend ist.
2. b) Die x-Koordinaten der Stellen, an denen $F(x)$ relative Extrema annimmt, und klassifizieren Sie sie als Hoch- oder Tiefpunkte.
3. c) Besitzt die Funktion $F(x)$ im Intervall $(0, +\infty)$ einen Wendepunkt? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe der zweiten Ableitung.

Ein Ingenieurteam entwirft den Eingangsbogen zu einem Technologietunnel. Die Form des oberen Bogens ist durch die Funktion $f(x) = 4 - x^2$ für $x \in [-2; 2]$ gegeben. Zur Verstärkung der Konstruktion soll eine Gerade $y = k$ (wobei $0 < k < 4$) so gezogen werden, dass der Flächeninhalt des oberen Abschnitts (oberhalb der Verstärkungslinie) genau doppelt so groß ist wie der des unteren Abschnitts (zwischen der Verstärkungslinie und dem Boden auf der $OX$-Achse).

Berechnen Sie den exakten Wert der Konstanten $k$, die diese Bedingung erfüllt.

Betrachten Sie die Fläche $R$ in der Ebene, die von der Kurve $y = \ln(x)$, der Tangente an diese Kurve an der Stelle $x = e$ und der x-Achse $OX$ begrenzt wird.

1. a) Bestimmen Sie die Gleichung der genannten Tangente.
2. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche $R$.
3. c) Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Fläche $R$ um die $OX$-Achse rotiert.

Eine Überwachungsdrohne bewegt sich geradlinig. Ihre Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde ist durch die Betragsfunktion

$v(t) = |t^2 - 6t + 5|$ für $t \in [0; 6]$ Sekunden gegeben.

1. a) Bestimmen Sie die insgesamt zurückgelegte Strecke der Drohne in den ersten 6 Sekunden.
2. b) Berechnen Sie den Zeitpunkt $T \in (0; 6)$, für den die im Intervall $[0; T]$ zurückgelegte Strecke genau die Hälfte der in der vorherigen Teilaufgabe berechneten Gesamtstrecke beträgt.

Es soll ein Metallteil gefertigt werden, dessen Querschnitt von den Kurven $y = \sqrt{x}$, $y = x - 2$ und der y-Achse $OY$ begrenzt wird.

1. a) Stellen Sie die Fläche grafisch dar und bestimmen Sie ihre Schnittpunkte.

1. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Querschnitts.

1. c) Das Teil entsteht durch Rotation dieser Fläche um die y-Achse $OY$. Stellen Sie (ohne zu rechnen) das Integral bzw. die Summe von Integralen auf, die das Volumen des Teils liefert.

Sie können es auf Papier lösen und ein Foto Ihrer Antwort senden.

Berechnen Sie den Wert des folgenden Grenzwerts mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung und der Regel von L'Hôpital:

$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt}{1 - \cos(x^2)}$

Geben Sie die einzelnen Schritte sowie die für die Anwendung jedes Satzes nötigen Voraussetzungen ausführlich an.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$. Betrachten Sie die Fläche, die vom Graphen von $f(x)$, seiner waagerechten Asymptote und den senkrechten Geraden $x = -1$ und $x = 1$ begrenzt wird.

1. a) Geben Sie die Gleichung der waagerechten Asymptote der Funktion an.
2. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.
3. c) Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn diese Fläche um ihre eigene waagerechte Asymptote rotiert.

(Hinweis: Führen Sie eine Substitution oder Verschiebung durch, um die Berechnung des Volumens zu erleichtern.)

Eine Grafikdesign-Agentur entwirft ein Logo in Form der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $f(x) = \sin(x)$ und $g(x) = \cos(x)$ sowie den senkrechten Geraden $x = 0$ und $x = \pi$ (also im Intervall $x \in [0; \pi]$) begrenzt wird. Die Abbildung zeigt die beiden Graphen und das schraffierte Logo.

1. a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte beider Funktionen in diesem Intervall.

1. b) Das Logo wird durch die x-Achse $OX$ in zwei Bereiche geteilt. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Teils des Logos, der oberhalb der $OX$-Achse liegt.

1. c) Begründen Sie, ob das gesamte Logo (die Fläche zwischen den beiden Graphen in $[0; \pi]$) symmetrisch zu einer senkrechten Geraden $x = a$ mit $a \in [0; \pi]$ ist.

Gesucht ist der Flächeninhalt der beschränkten ebenen Fläche im ersten Quadranten, die gemeinsam von der Kurve $y = x^2$, der Geraden $y = 2 - x$ und der x-Achse ($y = 0$) begrenzt wird.

1. a) Entwerfen und beschreiben Sie zwei verschiedene analytische Strategien zur Berechnung dieses Flächeninhalts:

• Methode 1 (Integration bezüglich der Variablen $x$): Bestimmen Sie die nötigen Schnittpunkte und Intervalle und drücken Sie den Flächeninhalt als Summe von Integralen bezüglich $x$ aus.

• Methode 2 (Integration bezüglich der Variablen $y$): Lösen Sie in jeder Gleichung die Variable $x$ in Abhängigkeit von $y$ auf und drücken Sie den gesamten Flächeninhalt als ein einziges bestimmtes Integral bezüglich der Variablen $y$ aus.

1. b) Vergleichen Sie beide Methoden und begründen Sie, welche hinsichtlich Rechenaufwand und geringerer Wahrscheinlichkeit algebraischer Fehler vorteilhafter ist.
2. c) Wenden Sie die Methode an, die Sie für optimal halten (oder kombinieren Sie die Integration mit elementarer Geometrie im linearen Abschnitt), um den exakten Zahlenwert des Flächeninhalts zu erhalten.

In einem wasserbaulichen Projekt zur Modernisierung eines Bewässerungsnetzes am Rhein wird ein Kanal geplant, dessen Querschnitt ein zur senkrechten Achse symmetrisches parabelförmiges Profil hat, modelliert durch die Funktion $y = ax^2$ (mit $a > 0$, wobei $x$ und $y$ in Metern gemessen werden). Der höchste Wasserstand ist durch eine waagerechte Linie in einer Tiefe $y = h$ (mit $h > 0$) festgelegt. Der Entwurf muss gleichzeitig zwei technische Anforderungen erfüllen:

1. Die Breite des oberen Wasserspiegels (Abstand zwischen den beiden Ufern in der Höhe $y = h$) muss genau $6\text{ m}$ betragen.

2. Der Flächeninhalt des benetzten Querschnitts (die Fläche zwischen der Parabel und der freien Oberfläche $y = h$) muss $12\text{ m}^2$ betragen, um den Bemessungsabfluss sicherzustellen.

1. a) Leiten Sie aus der ersten technischen Anforderung einen einfachen mathematischen Zusammenhang her, der die Tiefe $h$ in Abhängigkeit vom Krümmungsparameter $a$ ausdrückt.
2. b) Stellen Sie das bestimmte Integral auf, mit dem sich der Flächeninhalt des benetzten Querschnitts berechnen lässt, und bestimmen Sie seinen Wert in Abhängigkeit von $a$ und $h$ mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
3. c) Bestimmen Sie die exakten Zahlenwerte der Tiefe $h$ und des Parameters $a$, die beide Projektvorgaben erfüllen.
4. d) Entwurfsüberlegung: Wenn sich durch einen außergewöhnlichen Anstieg des Abflusses die Wasserhöhe verdoppelt und ein Niveau $H = 2h$ erreicht, begründen Sie analytisch (gestützt auf die Eigenschaften des Integrals und ohne die Berechnung von Grund auf numerisch neu durchzuführen), ob sich der Flächeninhalt des benetzten Querschnitts verdoppelt, mehr als verdoppelt oder weniger als verdoppelt.