Aufgaben: Die harmonische Schwingung

Eine Schaukel schwingt nach einem Anstoß frei. Mit einer Stoppuhr werden $15$ vollständige Schwingungen in $30\ \text{s}$ gezählt. Die Abbildung zeigt die Schaukel in drei Positionen ihrer Schwingung.

1. a) Definieren Sie am Beispiel der Schaukel die Begriffe Elongation, Amplitude, Periodendauer und Frequenz.
2. b) Berechnen Sie die Periodendauer $T$ und die Frequenz $f$ der Schwingung.

Die Elongation einer Masse, die an einer waagerechten Feder schwingt, ist in SI-Einheiten durch $x = 0,1 \cdot \sin(20 \cdot \pi \cdot t)$ gegeben.

1. a) Wie groß sind die Amplitude $A$ und die Kreisfrequenz $\omega$?
2. b) Berechnen Sie die Periodendauer $T$ und die Frequenz $f$ der Bewegung, wobei Sie $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega}$ und $f = \frac{1}{T}$ verwenden.

Ein Oszillator führt eine harmonische Schwingung mit der Gleichung $x = 0,08 \cdot \sin(\pi \cdot t)$ in SI-Einheiten aus.

1. a) Berechnen Sie die Elongation zum Zeitpunkt $t = 0,5\ \text{s}$.
2. b) Welchen Maximalwert kann die Elongation annehmen? Zu welchen Zeitpunkten wird er erreicht?

Die Periodendauer eines Feder-Masse-Schwingers beträgt $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$. Im Labor schwingt ein Körper der Masse $m = 0,25\ \text{kg}$ an einer Feder mit der Federkonstante $k = 100\ \text{N/m}$. Berechnen Sie die Periodendauer der Schwingung.

Die Periodendauer eines Fadenpendels beträgt $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$. Die Lampe in der Eingangshalle eines Museums hängt an einem Kabel der Länge $l = 1\ \text{m}$ und schwingt nach einem Luftzug leicht (verwenden Sie $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Berechnen Sie ihre Schwingungsdauer.

Ein Elektrokardiogramm zeichnet einen vollkommen regelmäßigen Herzrhythmus von $75$ Schlägen pro Minute auf. Die Abbildung zeigt das aufgezeichnete Signal.

1. a) Berechnen Sie die Frequenz des Herzschlags in $\text{Hz}$.
2. b) Berechnen Sie die Periodendauer in Sekunden: Wie viel Zeit vergeht zwischen zwei aufeinanderfolgenden Herzschlägen?

Die Spannung des europäischen Stromnetzes schwingt mit einer Frequenz von $50\ \text{Hz}$. Berechnen Sie ihre Kreisfrequenz $\omega = 2 \cdot \pi \cdot f$ in $\text{rad/s}$.

Zwei identische Oszillatoren schwingen gemäß den Gleichungen $x_1 = 0,05 \cdot \sin(3 \cdot \pi \cdot t)$ und $x_2 = 0,05 \cdot \sin(3 \cdot \pi \cdot t + \frac{\pi}{2})$ in SI-Einheiten.

1. a) Welche Größen haben die beiden Bewegungen gemeinsam?
2. b) Berechnen Sie die Anfangselongation (bei $t = 0$) jeder Schwingung und erklären Sie, worin sie sich unterscheiden.

Die Kolbenstange eines Verbrennungsmotors schwingt gemäß der Gleichung $x = 0,04 \cdot \sin(10 \cdot \pi \cdot t + \frac{\pi}{2})$ in SI-Einheiten.

1. a) Geben Sie den Wert der Amplitude $A$, der Kreisfrequenz $\omega$ und der Anfangsphase $\varphi_0$ an.
2. b) Berechnen Sie die Periodendauer $T$ und die Frequenz $f$.
3. c) Berechnen Sie die Elongation bei $t = 0,1\ \text{s}$ und interpretieren Sie ihr Vorzeichen.

Die Nadel einer Nähmaschine bewegt sich mit einer harmonischen Schwingung der Amplitude $6\ \text{cm}$ und der Periodendauer $0,5\ \text{s}$ auf und ab. Zum Anfangszeitpunkt geht die Nadel durch die Gleichgewichtslage und bewegt sich in positiver Richtung, sodass $\varphi_0 = 0$ gilt.

1. a) Berechnen Sie die Kreisfrequenz $\omega$.
2. b) Geben Sie die vollständige Gleichung der Elongation $x = A \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi_0)$ an, wobei Sie die Amplitude in Metern angeben.

Ein Punkt in der Mitte einer Gitarrensaite schwingt harmonisch mit der Amplitude $A = 2\ \text{mm}$ und der Frequenz $f = 440\ \text{Hz}$ (der Stimmton „a“). Die maximale Geschwindigkeit eines Oszillators ist $v_{max} = A \cdot \omega$.

1. a) Berechnen Sie die Kreisfrequenz $\omega$ der Schwingung.
2. b) Geben Sie die Amplitude in Metern an und berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit des Punktes auf der Saite.

Auf der Internationalen Raumstation kann man die Masse der Astronauten nicht mit einer Waage messen. Stattdessen setzt sich der Astronaut auf einen Sitz, der mit einer Feder der Federkonstante $k = 1000\ \text{N/m}$ verbunden ist, und es wird die Periodendauer der Schwingung des Systems $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$ gemessen.

1. a) Beträgt die gemessene Periodendauer $T = 1,6\ \text{s}$, stellen Sie die Formel nach der Masse um und berechnen Sie die Masse des Astronauten (vernachlässigen Sie die Masse des Sitzes).
2. b) Erklären Sie, warum diese Methode in der Schwerelosigkeit funktioniert und eine Waage nicht.

Eine alte Standuhr funktioniert mit einem Pendel, dessen Periodendauer genau $T = 2,0\ \text{s}$ betragen muss: Jede vollständige Schwingung lässt einen Zahn des Räderwerks weiterrücken (verwenden Sie $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Das Pendel zeigt die Abbildung.

1. a) Stellen Sie die Formel $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$ nach der Länge um.
2. b) Berechnen Sie die Länge, die das Pendel haben muss.

In einer Werkstatt wird eine Feder mit der Federkonstante $k = 250\ \text{N/m}$ getestet, indem man eine Masse von $0,4\ \text{kg}$ anhängt und sie schwingen lässt.

1. a) Berechnen Sie die Periodendauer der Schwingung $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$.
2. b) Berechnen Sie die Frequenz in $\text{Hz}$.

Ein Pendel der Länge $l = 1,5\ \text{m}$ ist Teil eines Experiments, das auf einer Mondbasis aufgebaut werden soll. Die Fallbeschleunigung beträgt auf der Mondoberfläche $g_L = 1,6\ \text{m/s}^2$ und auf der Erde $g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechnen Sie die Periodendauer des Pendels auf der Erde.
2. b) Berechnen Sie die Periodendauer auf dem Mond.
3. c) Um das Wievielfache schwingt es auf dem Mond langsamer? Berechnen Sie den Quotienten beider Periodendauern.

Eine Boje zur Gewinnung von Wellenenergie schwingt gemäß der Gleichung $x = 0,1 \cdot \sin(2 \cdot \pi \cdot t)$ in SI-Einheiten senkrecht mit den Wellen.

1. a) Berechnen Sie die Periodendauer und die Frequenz der Schwingung.
2. b) Berechnen Sie die Elongation zum Zeitpunkt $t = \frac{1}{12}\ \text{s}$.
3. c) Zu welchem Zeitpunkt erreicht sie zum ersten Mal ihre maximale Höhe?

Auf einer reibungsfreien Luftkissenbahn ist ein Wagen der Masse $m = 0,25\ \text{kg}$ mit einer Feder der Federkonstante $k = 400\ \text{N/m}$ verbunden. Der Wagen wird um $10\ \text{cm}$ aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und zum Zeitpunkt $t = 0$ aus der Ruhe losgelassen. Den Versuchsaufbau zeigt die Abbildung.

1. a) Berechnen Sie die Kreisfrequenz $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ und die Periodendauer der Schwingung.
2. b) Mit $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$: Begründen Sie, warum die Anfangsphase $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$ beträgt: Wie groß ist die Elongation bei $t = 0$?
3. c) Geben Sie die vollständige Gleichung der Elongation in SI-Einheiten an.
4. d) Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit des Wagens $v_{max} = A \cdot \omega$.

Die Schreibnadel eines Seismographen schwingt gemäß der Gleichung $x = 0,06 \cdot \sin(8 \cdot \pi \cdot t)$ in SI-Einheiten. Die Geschwindigkeit bei der harmonischen Schwingung ist $v = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t + \varphi_0)$. Das Diagramm der Elongation in Abhängigkeit von der Zeit zeigt die Abbildung.

1. a) Berechnen Sie den ersten Zeitpunkt, zu dem die Elongation $x = 0,03\ \text{m}$ beträgt (die Hälfte der Amplitude).
2. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Nadel zu diesem Zeitpunkt.
3. c) An welcher Position ist die Geschwindigkeit maximal und wie groß ist sie?

Das Foucaultsche Pendel im Panthéon in Paris hat eine Länge von $l = 67\ \text{m}$ (verwenden Sie $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechnen Sie seine Schwingungsdauer.
2. b) Berechnen Sie, wie viele vollständige Schwingungen es in einer Stunde ausführt.
3. c) Foucault verwendete eine Kugel von $28\ \text{kg}$. Begründen Sie anhand der Formel für die Periodendauer, warum die Masse der Kugel keinen Einfluss auf die Messung hat und warum es sinnvoll ist, das Pendel möglichst lang zu bauen, um das Phänomen bequem beobachten zu können.

Es soll ein Pendel mit der Periodendauer $T = 2,00\ \text{s}$ für ein Experiment entworfen werden, das auf der Marsoberfläche eingesetzt wird, wo $g_M = 3,71\ \text{m/s}^2$ gilt.

1. a) Berechnen Sie die Länge, die das Pendel auf dem Mars haben muss.
2. b) Wenn dasselbe Pendel zurück auf die Erde gebracht würde ($g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$), wie groß wäre seine Periodendauer?
3. c) Geologen verwenden Präzisionspendel, um $g$ an verschiedenen Orten der Erde zu messen und Anomalien im Untergrund zu entdecken. Erklären Sie anhand der Formel, warum die Periodendauer eines Pendels den Wert von $g$ verrät und welche Größen besonders sorgfältig gemessen werden müssen.

Im Labor werden zwei Federpendel mit derselben Feder der Federkonstante $k = 100\ \text{N/m}$ aufgebaut: Pendel A trägt einen Körper der Masse $0,1\ \text{kg}$ und Pendel B einen Körper der Masse $0,4\ \text{kg}$. Die Abbildung zeigt die beiden Aufbauten.

1. a) Berechnen Sie die Periodendauer jedes Pendels und ihren Quotienten $\frac{T_B}{T_A}$.
2. b) Begründen Sie mithilfe der Formel $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$ ohne erneutes Rechnen, welcher Zusammenhang zwischen diesem Quotienten und dem Massenverhältnis $\frac{m_B}{m_A}$ besteht.
3. c) Welche Federkonstante müsste die Feder von Pendel B haben, damit es mit derselben Periodendauer schwingt wie A? Begründen Sie.

Eine Schülergruppe misst die Fallbeschleunigung mit einem Fadenpendel. Die gemessene Länge beträgt $l = 1,20\ \text{m}$, und sie stoppen $20$ vollständige Schwingungen in $44,0\ \text{s}$.

1. a) Berechnen Sie die Periodendauer des Pendels.
2. b) Lösen Sie die Formel $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$ nach $g$ auf und berechnen Sie den experimentellen Wert.
3. c) Vergleichen Sie mit dem Literaturwert $g = 9,81\ \text{m/s}^2$ und erklären Sie, warum man zur Bestimmung der Periodendauer $20$ Schwingungen und nicht nur eine einzige stoppt.

An eine senkrechte Feder der Federkonstante $k = 200\ \text{N/m}$ wird ein Körper der Masse $m = 0,5\ \text{kg}$ gehängt (verwenden Sie $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Der Aufbau ist in der Abbildung dargestellt.

1. a) Berechnen Sie, wie weit sich die Feder bis zur Gleichgewichtslage dehnt, in der die Federkraft $k \cdot x_0$ der Gewichtskraft $m \cdot g$ entspricht.
2. b) Der Körper wird leicht aus dieser Lage ausgelenkt und losgelassen. Berechnen Sie die Periodendauer der senkrechten Schwingung, $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$.
3. c) Erklären Sie, warum die Gewichtskraft die Periodendauer gegenüber demselben Federpendel in waagerechter Anordnung nicht verändert: Was ist das Einzige, was die Gewichtskraft bei der senkrechten Schwingung verändert?

Eine Hängebrücke hat eine Eigenfrequenz von $0,5\ \text{Hz}$. Der Wind erzeugt beim Umströmen der Pfeiler Wirbel, die die Brücke einmal pro $2,0\ \text{s}$ seitlich anstoßen. Die Abbildung zeigt, wie die Amplitude der erzwungenen Schwingung von der Frequenz der Stöße abhängt.

1. a) Berechnen Sie die Eigenperiodendauer und die Eigenkreisfrequenz der Brücke.
2. b) Berechnen Sie die Frequenz der Windstöße und vergleichen Sie sie mit der Eigenfrequenz der Brücke.
3. c) Erklären Sie, was Resonanz ist und warum sie in dieser Situation gefährlich ist, auch wenn jeder einzelne Stoß schwach ist.
4. d) Schlagen Sie eine konstruktive Änderung vor, die das Problem vermeidet, und begründen Sie sie, indem Sie angeben, welche physikalische Größe sich ändert.