Aufgaben: Die Energie bei Schwingungen

Ein Körper schwingt waagerecht an einer Feder reibungsfrei zwischen den Positionen $x = -A$ und $x = +A$. Die Abbildung zeigt das Federpendel mit den markierten Positionen.

1. a) An welcher Position bzw. welchen Positionen ist die Spannenergie maximal?
2. b) An welcher Position ist die kinetische Energie maximal?
3. c) An welchen Positionen ist die kinetische Energie null? Begründen Sie Ihre Antworten mit den Formeln $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ und $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$.

Die Wippen und der Bogen eines Sportbogens verhalten sich zusammen wie eine Feder mit der Ersatzfederkonstante $k = 300\ \text{N/m}$. Beim Spannen wird die Sehne um $x = 0,1\ \text{m}$ ausgezogen. Berechnen Sie die gespeicherte Spannenergie, $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$.

Die mechanische Energie eines Federpendels ist $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, wobei $A$ die Amplitude ist. Im Labor hat ein Federpendel $k = 200\ \text{N/m}$ und schwingt mit der Amplitude $A = 0,05\ \text{m}$. Berechnen Sie seine mechanische Energie.

Der Vibrationsmotor eines Smartphones speichert während des Schwingens eine mechanische Energie von $2\ \text{J}$.

1. a) Wie groß ist seine maximale kinetische Energie? An welcher Position wird sie erreicht?
2. b) Wie groß ist seine maximale Spannenergie? An welchen Positionen wird sie erreicht?
3. c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen diesen beiden Werten und der mechanischen Energie? Begründen Sie.

Ein Wagen der Masse $m = 0,5\ \text{kg}$, der an einer Feder befestigt ist, passiert die Gleichgewichtslage mit einer Geschwindigkeit von $2\ \text{m/s}$.

1. a) Berechnen Sie seine kinetische Energie an dieser Stelle.
2. b) Wie groß ist an dieser Stelle seine Spannenergie? Und seine mechanische Energie? Begründen Sie.

Bei einem Newton-Pendel (dem Kugelpendel aus Stahlkugeln auf Schreibtischen) wird eine Kugel der Masse $m = 0,3\ \text{kg}$ vor dem Loslassen um $h = 0,2\ \text{m}$ über ihren tiefsten Punkt angehoben (verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$). Die Abbildung zeigt die angehobene Kugel kurz vor dem Loslassen.

1. a) Berechnen Sie ihre Lageenergie bezogen auf den tiefsten Punkt, $E_p = m \cdot g \cdot h$.
2. b) In welche Energieform wird diese Energie beim Loslassen der Kugel umgewandelt? Wie groß ist die kinetische Energie beim Durchgang durch den tiefsten Punkt?

Ein Federpendel hat die konstante mechanische Energie $E_m$.

1. a) Beschreiben Sie, wie die Spannenergie $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ mit der Position variiert: Welche Form hat ihr Graph über $x$ zwischen $-A$ und $+A$?
2. b) Die kinetische Energie an jedem Punkt ist $E_c = E_m - E_p$. Beschreiben Sie, wie $E_c$ mit der Position variiert.
3. c) Was stellt der Punkt dar, in dem sich die Graphen von $E_c$ und $E_p$ schneiden? Zeichnen Sie in Ihr Heft die drei Graphen ($E_p$, $E_c$ und $E_m$) in Abhängigkeit von der Position.

Sie können es auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Lösung einsenden.

Eine Turnerin springt auf einem Trampolin und schwingt senkrecht, ohne den Kontakt zum Tuch zu verlieren, zwischen einem höchsten und einem tiefsten Punkt.

1. a) An welchem Punkt der Schwingung ist ihre Lageenergie maximal?
2. b) An welchem Punkt ist die vom Tuch gespeicherte Spannenergie maximal?
3. c) Wo ist ihre kinetische Energie maximal? Begründen Sie alle drei Antworten mit der Umwandlung der Energieformen.

Ein Wagen der Masse $m = 0,5\ \text{kg}$ schwingt reibungsfrei auf einem Tisch an einer Feder $k = 400\ \text{N/m}$ mit der Amplitude $A = 0,1\ \text{m}$. Die Abbildung zeigt, wie sich die Energie des Pendels in Abhängigkeit von der Position aufteilt.

1. a) Berechnen Sie die mechanische Energie des Pendels, $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Berechnen Sie die Spannenergie bei der Elongation $x = 0,06\ \text{m}$.
3. c) Berechnen Sie die kinetische Energie an demselben Punkt und daraus die Geschwindigkeit des Wagens.

Ein Federpendel schwingt mit der Amplitude $A = 0,1\ \text{m}$. Gesucht ist die Position, an der die kinetische Energie und die Spannenergie gleich groß sind.

1. a) Stellen Sie die Bedingung $E_c = E_p$ unter Berücksichtigung von $E_c + E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$ auf und zeigen Sie, dass an diesem Punkt $E_p = \frac{1}{4} \cdot k \cdot A^2$ gilt.
2. b) Lösen Sie nach der Elongation auf und berechnen Sie ihren Zahlenwert.
3. c) Prüfen Sie, dass das Ergebnis kleiner als die Amplitude ist: Ist das plausibel?

Die Membran eines Lautsprechers lässt sich als Federpendel mit der Masse $m = 0,4\ \text{kg}$ und der effektiven Federkonstante $k = 250\ \text{N/m}$ modellieren, das mit der Amplitude $A = 0,08\ \text{m}$ schwingt.

1. a) Berechnen Sie die mechanische Energie der Schwingung.
2. b) Diese gesamte Energie ist beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage kinetisch: Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit der Membran.
3. c) Prüfen Sie, dass sie mit dem Wert übereinstimmt, den der Ausdruck $v_{max} = A \cdot \sqrt{\frac{k}{m}}$ liefert.

Die Stahlkugel eines Abrissbaggers hängt an einem Seil der Länge $l = 2\ \text{m}$ und wird aus der Ruhe losgelassen, wenn das Seil einen Winkel von $60^\circ$ mit der Senkrechten bildet (verwenden Sie $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Die Höhe, um die sie bezogen auf den tiefsten Punkt absinkt, ist $h = l \cdot (1 - \cos 60^\circ)$. Die Situation zeigt die Abbildung.

1. a) Berechnen Sie diese Höhe $h$.
2. b) Wenden Sie die Energieerhaltung $m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$ an und berechnen Sie die Geschwindigkeit der Kugel im tiefsten Punkt.
3. c) Hängt diese Geschwindigkeit von der Masse der Kugel ab? Begründen Sie.

Die Feder des Abschusses eines Flippers hat die Federkonstante $k = 100\ \text{N/m}$. Die Abbildung zeigt, wie die Spannenergie mit der Stauchung wächst.

1. a) Berechnen Sie die gespeicherte Spannenergie bei einer Stauchung um $0,1\ \text{m}$ und bei einer Stauchung um $0,2\ \text{m}$.
2. b) Welche zusätzliche Energie muss zugeführt werden, um von der einen zur anderen Stauchung zu gelangen?
3. c) Warum reicht es nicht zu sagen, dass „doppelte Stauchung doppelte Energie“ bedeutet? Begründen Sie mit der Formel.

Die Trommel einer Waschmaschine schwingt beim Schleudern mit einer mechanischen Energie von $1,44\ \text{J}$. Die Stoßdämpfer, die sie halten, verhalten sich wie eine Feder mit der effektiven Federkonstante $k = 200\ \text{N/m}$.

1. a) Lösen Sie die Formel $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$ nach der Amplitude auf.
2. b) Berechnen Sie die Amplitude der Schwingung in Metern und geben Sie sie auch in Zentimetern an.

Der Klöppel einer elektrischen Klingel schwingt mit der Amplitude $A = 5\ \text{cm}$, angetrieben von einer Feder der Federkonstante $k = 800\ \text{N/m}$; seine Masse ist $m = 0,1\ \text{kg}$.

1. a) Geben Sie die Amplitude in Metern an und berechnen Sie die mechanische Energie des Schwingers.
2. b) Berechnen Sie die maximale kinetische Energie des Klöppels.
3. c) Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit des Klöppels.

Eine Person schwingt an einer Liane der Länge $l = 2\ \text{m}$ und passiert den tiefsten Punkt mit $3\ \text{m/s}$ (verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$). Die Abbildung zeigt das Schwingen.

1. a) Berechnen Sie die maximale Höhe über dem tiefsten Punkt mithilfe von $\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h$.
2. b) Die Höhe und der maximale Winkel $\theta$ mit der Senkrechten erfüllen $h = l \cdot (1 - \cos\theta)$. Berechnen Sie den Wert von $\cos\theta$ und leiten Sie daraus den maximalen Winkel der Liane ab.

Ein Federpendel hat $k = 100\ \text{N/m}$ und schwingt mit der Amplitude $A = 0,1\ \text{m}$.

1. a) Berechnen Sie die mechanische Energie und die Spannenergie an den Punkten $x = 0$, $x = 0,05\ \text{m}$ und $x = 0,1\ \text{m}$.
2. b) Berechnen Sie die kinetische Energie an denselben drei Punkten.
3. c) Zeichnen Sie mit diesen Werten in Ihr Heft die Graphen von $E_p(x)$, $E_c(x)$ und $E_m(x)$ zwischen $-A$ und $+A$ und beschreiben Sie sie: Form jeder Kurve, Schnittpunkte mit den Achsen und Schnittpunkt von $E_p$ und $E_c$.
4. d) Berechnen Sie die genaue Position, an der sich die Graphen von $E_p$ und $E_c$ schneiden.

Sie können es auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Lösung einsenden.

Ein reales Federpendel mit Reibung verliert in jedem Zyklus $10\ \%$ seiner mechanischen Energie. Es startet mit der Anfangsenergie $E_0 = 2\ \text{J}$. Die Abbildung zeigt, wie die Amplitude der Schwingung mit der Zeit abnimmt.

1. a) Berechnen Sie die mechanische Energie, die nach $5$ Zyklen übrig bleibt.
2. b) Berücksichtigen Sie, dass $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$ gilt, die Energie also proportional zum Quadrat der Amplitude ist. Berechnen Sie, um welchen Faktor die Amplitude nach diesen $5$ Zyklen abgenommen hat.
3. c) In welche Energieform wurde die verlorene Energie umgewandelt? Erklären Sie, warum sich die Periodendauer der Schwingung dennoch kaum ändert, obwohl die Amplitude abnimmt (Hinweis: Von welchen Größen hängt $T$ ab?).

Ein Federpendel mit $m = 0,2\ \text{kg}$ und $k = 50\ \text{N/m}$ schwingt mit der Amplitude $A = 0,2\ \text{m}$.

1. a) Berechnen Sie seine mechanische Energie.
2. b) Berechnen Sie die potenzielle Energie, die kinetische Energie und die Geschwindigkeit bei der Elongation $x = 0,16\ \text{m}$.
3. c) Zeigen Sie mit $E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot (A^2 - x^2)$, dass die Geschwindigkeit halb so groß wie die maximale ist, wenn $x = A \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ gilt, und berechnen Sie diese Position.

Ein Demonstrationspendel im Labor hat die Länge $l = 1\ \text{m}$ und wird aus der Ruhe bei einem Winkel von $60^\circ$ mit der Senkrechten losgelassen (verwenden Sie $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Beachten Sie, dass die Höhe über dem tiefsten Punkt $h = l \cdot (1 - \cos\theta)$ ist. Die Abbildung zeigt das Pendel in den drei betrachteten Positionen.

1. a) Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit beim Durchgang durch den tiefsten Punkt.
2. b) Berechnen Sie seine Geschwindigkeit, wenn der Faden den Winkel $30^\circ$ mit der Senkrechten bildet, mithilfe der Energieerhaltung zwischen den Punkten bei $60^\circ$ und $30^\circ$.
3. c) Vergleichen Sie die beiden Geschwindigkeiten: Warum ist die Geschwindigkeit bei $30^\circ$ mehr als halb so groß wie die maximale, obwohl der Winkel genau halb so groß ist?

Ein Federpendel mit $m = 1\ \text{kg}$ und $k = 100\ \text{N/m}$ schwingt zuerst mit der Amplitude $A = 0,1\ \text{m}$ und danach mit der Amplitude $A' = 0,2\ \text{m}$.

1. a) Berechnen Sie die mechanische Energie in jedem Fall und ihren Quotienten $\frac{E_m'}{E_m}$.
2. b) Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit in jedem Fall und ihren Quotienten $\frac{v_{max}'}{v_{max}}$.
3. c) Verallgemeinern Sie das Ergebnis: Wenn die Amplitude mit einem Faktor $n$ multipliziert wird, mit welchem Faktor werden dann die mechanische Energie und die maximale Geschwindigkeit multipliziert? Begründen Sie mit den Formeln.

Bei einer harmonischen Schwingung wird gemessen, dass bei der Elongation $x = \frac{A}{2}$ die kinetische Energie $6\ \text{J}$ beträgt.

1. a) Zeigen Sie, dass an dieser Stelle die Spannenergie ein Viertel der mechanischen Energie beträgt, d. h. $E_p = \frac{E_m}{4}$.
2. b) Berechnen Sie aus der Messung die mechanische Energie des Oszillators.
3. c) Berechnen Sie die kinetische Energie beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage und die potenzielle Energie in den Umkehrpunkten.

Eine Stahlkugel der Masse $m = 2\ \text{kg}$ hängt an einer Schnur der Länge $l = 2,5\ \text{m}$ und wird aus der Ruhe bei einem Winkel von $30^\circ$ mit der Senkrechten losgelassen (verwenden Sie $g = 9,8\ \text{m/s}^2$; beachten Sie $h = l \cdot (1 - \cos\theta)$).

1. a) Berechnen Sie die mechanische Energie des Pendels bezogen auf den tiefsten Punkt der Bahn.
2. b) Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit beim Durchgang durch den tiefsten Punkt.
3. c) Wenn die Kugel die doppelte Masse hätte und aus demselben Winkel losgelassen würde, wie würden sich die mechanische Energie und die maximale Geschwindigkeit ändern? Begründen Sie mit den Formeln und erklären Sie, warum sich eine der beiden Größen nicht ändert.

Ein Spielzeug schleudert eine Kugel der Masse $m = 0,05\ \text{kg}$ mithilfe einer Feder der Federkonstante $k = 500\ \text{N/m}$ senkrecht nach oben, die vor dem Loslassen um $x = 0,1\ \text{m}$ gestaucht wird (verwenden Sie $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Der Abschuss ist in der Abbildung dargestellt.

1. a) Berechnen Sie die in der gestauchten Feder gespeicherte Spannenergie.
2. b) Nehmen Sie an, dass diese gesamte Energie in kinetische Energie der Kugel umgewandelt wird, und berechnen Sie ihre Abschussgeschwindigkeit.
3. c) Berechnen Sie die maximale Höhe, die die Kugel erreicht, indem Sie erneut die Energieerhaltung anwenden.
4. d) Das reale Spielzeug erreicht eine geringere Höhe als berechnet. Nennen Sie mindestens zwei energetische Ursachen dafür.

Themenaufgabe. Bleibt die mechanische Energie bei einem realen Pendel erhalten? Untersuchen Sie das Verhalten eines selbst gebauten Pendels mithilfe der harmonischen Schwingung und der Energiebilanz.

1. Aufbau und Messung: Hängen Sie einen kleinen, dichten Gegenstand (einen Schlüsselbund) an einen dünnen Faden ($L \approx 0,70\text{ m}$). Lenken Sie ihn um einen kleinen Winkel aus ($\theta \le 10^\circ$), damit die Schwingung harmonisch ist. Messen Sie mit dem Smartphone die Zeit für $10$ vollständige Schwingungen und wiederholen Sie dies $5$-mal, um die Periodendauer mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen ($T \pm \Delta T$). Bestimmen Sie die Masse mit einer Küchenwaage ($m \pm \Delta m$). Notieren Sie auch den Anfangswinkel $\theta_0$ und berechnen Sie die Amplitude $A = L\theta_0$ (mit $\theta_0$ im Bogenmaß).

2. Kinematik der harmonischen Schwingung: Berechnen Sie die Kreisfrequenz $\omega = 2\pi/T$ und stellen Sie die Gleichung der Elongation $x(t) = A\cos(\omega t)$ auf. Vergleichen Sie die gemessene Periodendauer mit der theoretischen ($T = 2\pi\sqrt{L/g}$, mit $g = 9,80\text{ m/s}^2$) und begründen Sie die Abweichungen.

3. Energie und Diagramm: Berechnen Sie die maximale kinetische Energie, $E_{\text{kin},\text{max}} = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$, und vergleichen Sie sie mit der anfänglichen potenziellen Energie. Erstellen Sie eine Tabelle mit $E_\text{kin}(t)$, $E_\text{pot}(t)$ und $E_\text{mech}(t)$ zu $8$ Zeitpunkten einer Schwingung und stellen Sie die Kurven in einem gemeinsamen Diagramm dar.

4. Abschlussbericht: Messen Sie (z. B. mit einem Video) die Anfangsamplitude und die Amplitude nach $10$ Schwingungen, schätzen Sie den Verlust an mechanischer Energie ab und reichen Sie eine begründete Erklärung für die beobachteten Verluste durch Reibung ein.

Bewertet werden:

• Sorgfalt bei der experimentellen Gewinnung von Messwerten und Unsicherheiten.

• Korrektheit der Gleichungen der harmonischen Schwingung und der Energieberechnung.

• Fachliche Qualität von Tabelle und Vergleichsdiagramm.

• Kritische Analyse der Entwertung der mechanischen Energie.