Aufgaben: Die Wellengleichung und ihr Zusammenhang mit der harmonischen Schwingung

Im Labor wird in einem gespannten Seil eine Transversalwelle erzeugt, deren Gleichung in SI-Einheiten $y(x, t) = 0,05 \cdot \sin(4 \cdot \pi \cdot x - 20 \cdot \pi \cdot t)$ lautet. Die Abbildung zeigt das Profil des Seils zu einem bestimmten Zeitpunkt.

1. a) Geben Sie die Werte der Amplitude $A$, der Wellenzahl $k$ und der Kreisfrequenz $\omega$ an.
2. b) Begründen Sie anhand des Vorzeichens vor dem Term in $t$ in der Phase, in welcher Richtung der $x$-Achse sich die Welle ausbreitet.

Eine Stimmgabel schwingt und erzeugt in der Luft eine harmonische Welle der Kreisfrequenz $\omega = 100 \cdot \pi\ \text{rad/s}$.

1. a) Berechnen Sie ihre Periodendauer $T$ unter Beachtung von $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega}$.
2. b) Berechnen Sie ihre Frequenz $f$ in $\text{Hz}$.

In einer Wellenwanne im Labor werden Wellen auf der Wasseroberfläche mit der Wellenzahl $k = 2 \cdot \pi\ \text{rad/m}$ erzeugt. Die Abbildung zeigt das Profil der Oberfläche zu einem bestimmten Zeitpunkt.

1. a) Berechnen Sie die Wellenlänge $\lambda$ unter Beachtung von $\lambda = \frac{2 \cdot \pi}{k}$.
2. b) Erklären Sie mit eigenen Worten, was die Wellenlänge physikalisch darstellt, indem Sie das Profil der Oberfläche betrachten.

Das menschliche Ohr nimmt Töne zwischen $20\ \text{Hz}$ und $20\ \text{kHz}$ wahr, und der Schall breitet sich in der Luft mit $340\ \text{m/s}$ aus.

1. a) Berechnen Sie die Wellenlänge des tiefsten hörbaren Tons mit $v = \lambda \cdot f$.
2. b) Berechnen Sie die Wellenlänge des höchsten hörbaren Tons, indem Sie zuvor $20\ \text{kHz}$ in Hertz angeben.
3. c) Begründen Sie anhand der Ergebnisse, wie sich die Wellenlänge bei steigender Frequenz verändert, wenn die Geschwindigkeit gleich bleibt.

Die Gleichung $y(x, t) = A \cdot \sin(k \cdot x - \omega \cdot t)$ beschreibt eine doppelt periodische Störung: in der Zeit und im Raum. Die beiden Graphen der Abbildung stellen diese doppelte Periodizität dar.

1. a) Wenn wir einen festen Punkt des Mediums wählen ($x$ festhalten), mit welcher Periodendauer schwingt er? Drücken Sie sie mithilfe von $\omega$ aus.
2. b) Wenn wir das Profil der Störung zu einem festen Zeitpunkt betrachten ($t$ festhalten), nach welcher Strecke wiederholt es sich? Drücken Sie dies mithilfe von $k$ aus.
3. c) Erklären Sie anhand des Vorangegangenen, warum man sagt, dass die Wellenbewegung eine Schwingung in der Zeit mit einer Periodizität im Raum verbindet.

Durch eine gespannte Schraubenfeder breitet sich eine Longitudinalwelle aus, deren Gleichung in SI-Einheiten $y(x, t) = 0,04 \cdot \sin(2 \cdot \pi \cdot x - 10 \cdot \pi \cdot t)$ lautet.

1. a) Berechnen Sie ihre Frequenz $f$ und ihre Periodendauer $T$.
2. b) Berechnen Sie ihre Wellenlänge $\lambda$.
3. c) Berechnen Sie ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit mit $v = \frac{\omega}{k}$.

Wenn eine harmonische Welle ein Medium durchläuft, schwingt jeder Punkt des Mediums in einer harmonischen Schwingung.

1. a) Geben Sie an, welche Größen der harmonischen Schwingung jedes Punktes mit denen der Welle übereinstimmen: Denken Sie an Amplitude und Frequenz.
2. b) Geben Sie an, welche Größe die Schwingung eines Punktes nahe der Quelle von der eines weiter entfernten Punktes unterscheidet.
3. c) Erklären Sie den Unterschied zwischen der Schwinggeschwindigkeit eines Punktes des Mediums und der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.

Eine Transversalwelle läuft nach der Gleichung, in SI-Einheiten, $y(x, t) = 0,03 \cdot \sin(5 \cdot x + 20 \cdot t)$ entlang eines Seils.

1. a) Bestimmen Sie, in welcher Richtung der $x$-Achse sich die Welle ausbreitet, und begründen Sie dies anhand des Vorzeichens der Phase.
2. b) Berechnen Sie ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit aus $k$ und $\omega$.
3. c) Schreiben Sie die Gleichung um und ändern Sie dabei nur das Nötigste, sodass die Welle in positiver Richtung der Achse liefe.

Eine ozeanografische Boje registriert den Durchgang eines Wellenzugs der Amplitude $1,5\ \text{m}$ und der Periodendauer $T = 4\ \text{s}$; der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Wellenbergen beträgt $25\ \text{m}$. Die Abbildung zeigt das Profil der Wellen.

1. a) Berechnen Sie die Kreisfrequenz $\omega$ und die Kreiswellenzahl $k$.
2. b) Berechnen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen mithilfe von $v = \lambda \cdot f$.
3. c) Stellen Sie die Wellengleichung auf, wobei Sie eine Anfangsphase von null und eine Ausbreitung in positive $x$-Richtung annehmen.

Auf einem Seil breitet sich eine harmonische Welle aus, deren Gleichung in SI-Einheiten $y(x, t) = 0,02 \cdot \sin(10 \cdot \pi \cdot x - 200 \cdot \pi \cdot t)$ lautet.

1. a) Berechnen Sie die Auslenkung des Punktes an der Stelle $x = 0,5\ \text{m}$ zum Zeitpunkt $t = 0,01\ \text{s}$.
2. b) Geben Sie die maximale Auslenkung an, die dieser Punkt erreichen kann, und begründen Sie, ob sie vom gewählten Punkt abhängt.
3. c) Berechnen Sie die Periodendauer, mit der dieser Punkt schwingt.

Um die Phase einer Schallwelle von $f = 85\ \text{Hz}$ zu untersuchen, die sich in Luft mit $340\ \text{m/s}$ ausbreitet, werden zwei Mikrofone auf einer Linie mit dem Lautsprecher aufgestellt, der die Welle aussendet, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Berechnen Sie die Wellenlänge des Schalls.
2. b) Berechnen Sie die Phasendifferenz zwischen den Schwingungen zweier Punkte im Abstand $1\ \text{m}$ mithilfe von $\Delta \varphi = \frac{2 \cdot \pi}{\lambda} \cdot \Delta x$.
3. c) Die Mikrofone werden schließlich im Abstand $2\ \text{m}$ aufgestellt: Berechnen Sie die neue Phasendifferenz und begründen Sie, ob die Punkte in diesem Fall gleichphasig oder gegenphasig schwingen.

Bei einer geologischen Erkundung wird eine harmonische seismische Welle mit der Amplitude $0,01\ \text{m}$ und der Frequenz $f = 10\ \text{Hz}$ erzeugt, die sich mit $6000\ \text{m/s}$ im Boden in positive $x$-Richtung ausbreitet.

1. a) Berechnen Sie ihre Wellenlänge und ihre Kreiswellenzahl.
2. b) Berechnen Sie ihre Kreisfrequenz.
3. c) Stellen Sie ihre Wellengleichung auf, wobei die Anfangsphase $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}$ beträgt.

Ein Punkt in der Mitte einer Violinsaite schwingt mit der Amplitude $A = 5\cdot10^{-4}\ \text{m}$, wenn die Saite ein A von $f = 440\ \text{Hz}$ erzeugt.

1. a) Berechnen Sie die Kreisfrequenz der Schwingung.
2. b) Die maximale Schwinggeschwindigkeit einer harmonischen Schwingung beträgt $v_{max} = A \cdot \omega$. Berechnen Sie damit die maximale Geschwindigkeit dieses Punktes.
3. c) Die Welle läuft mit $250\ \text{m/s}$ über diese Saite: Vergleichen Sie diesen Wert mit dem aus der vorigen Teilaufgabe und begründen Sie, warum beide Geschwindigkeiten so verschieden sind, obwohl sie an derselben Saite gemessen werden.

Ein Ultraschallgenerator im Labor sendet Wellen von $f = 40\ \text{kHz}$ aus, die sich in Luft mit $340\ \text{m/s}$ ausbreiten.

1. a) Geben Sie die Frequenz in Hertz an und berechnen Sie die Wellenlänge in Metern und in Millimetern.
2. b) Berechnen Sie die Periodendauer und geben Sie sie in Sekunden und in Mikrosekunden an ($1\ \mu\text{s} = 10^{-6}\ \text{s}$).
3. c) Begründen Sie, warum niemand den vom Generator ausgesandten Ton hört, wenn man weiß, dass das menschliche Ohr höchstens etwa $20\ \text{kHz}$ wahrnimmt.

Die Momentaufnahme eines Seils zeigt ein sinusförmiges Profil, dessen Wellenberge sich $5\ \text{cm}$ über die Gleichgewichtslage erheben und voneinander den Abstand $80\ \text{cm}$ haben; die Störung läuft mit $2\ \text{m/s}$ über das Seil. Die Abbildung zeigt diese Momentaufnahme.

1. a) Bestimmen Sie die Amplitude und die Wellenlänge anhand der Beschreibung der Momentaufnahme und geben Sie sie in Metern an.
2. b) Berechnen Sie die Frequenz, die Periodendauer, die Kreisfrequenz und die Kreiswellenzahl.
3. c) Stellen Sie die Wellengleichung mit Anfangsphase null und Ausbreitung in positive $x$-Richtung auf, wobei alle Größen in SI-Einheiten angegeben werden.

Eine Transversalwelle mit der Amplitude $0,04\ \text{m}$ und der Periodendauer $T = 0,5\ \text{s}$ breitet sich mit $8\ \text{m/s}$ in negative $x$-Richtung auf einem Seil aus.

1. a) Berechnen Sie ihre Kreisfrequenz.
2. b) Berechnen Sie ihre Wellenlänge und ihre Kreiswellenzahl.
3. c) Stellen Sie ihre Wellengleichung mit Anfangsphase null auf und achten Sie auf das Vorzeichen der Phase, sodass sie die angegebene Ausbreitungsrichtung darstellt.

Auf einem Laborseil läuft eine harmonische Welle von $f = 50\ \text{Hz}$ mit $200\ \text{m/s}$. In der Abbildung ist das Profil der Welle mit drei markierten Punkten P, Q und R dargestellt.

1. a) Berechnen Sie ihre Wellenlänge.
2. b) Berechnen Sie den minimalen Abstand zwischen zwei Punkten des Seils, die gleichphasig schwingen, und begründen Sie das Ergebnis.
3. c) Berechnen Sie den minimalen Abstand zwischen zwei Punkten, die gegenphasig schwingen.
4. d) Bestimmen Sie die Phasendifferenz zwischen zwei Punkten im Abstand $3\ \text{m}$ und beschreiben Sie, wie der eine relativ zum anderen schwingt.

Auf einem gespannten Seil breitet sich in positive $x$-Richtung eine Transversalwelle mit der Amplitude $0,05\ \text{m}$, der Kreisfrequenz $\omega = 20 \cdot \pi\ \text{rad/s}$ und der Geschwindigkeit $10\ \text{m/s}$ aus. Zum Zeitpunkt $t = 0$ erreicht der Punkt im Ursprung seine maximale positive Auslenkung.

1. a) Berechnen Sie die Kreiswellenzahl $k$.
2. b) Bestimmen Sie die Anfangsphase $\varphi_0$ mithilfe der Bedingung $y(0, 0) = A$.
3. c) Stellen Sie die vollständige Wellengleichung auf.
4. d) Berechnen Sie die Auslenkung des Punktes $x = 1\ \text{m}$ zum Zeitpunkt $t = 0,05\ \text{s}$ und begründen Sie das Vorzeichen des Ergebnisses.

Ein Stahlseil auf einem Schwingungsprüfstand hat die lineare Dichte $\mu = 4\cdot10^{-3}\ \text{kg/m}$ und steht unter der Spannkraft $T = 40\ \text{N}$; die Geschwindigkeit der Transversalwellen im Seil beträgt $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$. Es wird eine harmonische Welle mit der Amplitude $0,02\ \text{m}$ und der Frequenz $f = 100\ \text{Hz}$ erzeugt, die in positive $x$-Richtung mit Anfangsphase null läuft.

1. a) Berechnen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.
2. b) Berechnen Sie die Wellenlänge, die Kreiswellenzahl und die Kreisfrequenz.
3. c) Stellen Sie die Wellengleichung auf.
4. d) Wenn die Spannkraft bei gleicher Frequenz verdoppelt würde, berechnen Sie die neue Geschwindigkeit und die neue Wellenlänge und begründen Sie, warum sich diese Größen ändern, die Frequenz aber nicht.

In einem Wellenkanal im Labor breitet sich in positive $x$-Richtung eine Welle mit der Amplitude $0,1\ \text{m}$ und der Geschwindigkeit $4\ \text{m/s}$ aus. Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist das Profil der Oberfläche, mit Wellenbergen im Abstand $2\ \text{m}$, gegeben durch $y(x, 0) = 0,1 \cdot \sin(\pi \cdot x)$.

1. a) Bestimmen Sie $k$ und $\omega$ und stellen Sie die vollständige Wellengleichung auf.
2. b) Drücken Sie die Auslenkung des Punktes $x = 0,5\ \text{m}$ als Funktion der Zeit aus und begründen Sie, ob dieser Punkt unmittelbar nach $t = 0$ steigt oder sinkt.
3. c) Überprüfen Sie die anfängliche Auslenkung des Punktes $x = 1\ \text{m}$ und leiten Sie ab, in welche Richtung er sich zu bewegen beginnt.

Bei einer Ultraschalluntersuchung werden Ultraschallwellen von $f = 3,5\ \text{MHz}$ verwendet, die sich mit $1540\ \text{m/s}$ im Weichgewebe ausbreiten.

1. a) Berechnen Sie die Wellenlänge in Metern und geben Sie sie in Millimetern an.
2. b) Das an einer inneren Struktur reflektierte Echo wird $8\cdot10^{-5}\ \text{s}$ nach dem Aussenden empfangen: Berechnen Sie die Tiefe der Struktur und berücksichtigen Sie dabei, dass der Impuls diese Strecke zweimal zurücklegt.
3. c) Begründen Sie, warum es zur Erkennung von Details von wenigen Millimetern günstig ist, mit Frequenzen im Megahertzbereich statt mit hörbarem Schall zu arbeiten.

Eine harmonische Welle von $f = 2\ \text{Hz}$ und der Amplitude $0,05\ \text{m}$ läuft in positive $x$-Richtung auf einem leichten Seil mit $6\ \text{m/s}$ und geht auf ein zweites, dichteres Seil über, das mit dem ersten verbunden ist und in dem ihre Geschwindigkeit $3\ \text{m/s}$ beträgt. Beim Medienwechsel bleibt die Frequenz erhalten. Betrachten Sie die Skizze der beiden verbundenen Seile:

1. a) Berechnen Sie die Wellenlänge in jedem Seil.
2. b) Stellen Sie die Wellengleichung in jedem der beiden Seile mit Anfangsphase null auf.
3. c) Geben Sie an, welche Größen beim Übergang von einem Seil zum anderen erhalten bleiben und welche sich ändern.
4. d) Begründen Sie unter Betrachtung der Schwingung der Verbindungsstelle zwischen beiden Seilen, warum sich die Frequenz an dieser Stelle nicht ändern kann.

Eine Transversalwelle breitet sich mit $v = 50\ \text{m/s}$ und einer Frequenz von $25\ \text{Hz}$ auf einem Seil aus.

1. a) Leiten Sie ausgehend von $y = A \cdot \sin(k \cdot x - \omega \cdot t)$ den Ausdruck für die Schwinggeschwindigkeit eines Punktes des Seils her und zeigen Sie, dass ihr Maximalwert $A \cdot \omega$ beträgt.
2. b) Berechnen Sie die Amplitude, die die Welle haben müsste, damit die maximale Schwinggeschwindigkeit der Punkte der Ausbreitungsgeschwindigkeit entspricht.
3. c) Begründen Sie unter Angabe der Richtung und der physikalischen Bedeutung beider Größen, warum Schwinggeschwindigkeit und Ausbreitungsgeschwindigkeit völlig verschiedene Größen sind.

Auf einem gespannten Seil beobachtet man, dass zwei Punkte im Abstand $1\ \text{m}$ stets gleichphasig schwingen.

1. a) Zeigen Sie, dass die Wellenlänge nur die Werte $\lambda = \frac{1}{n}\ \text{m}$ annehmen kann, mit $n = 1, 2, 3, \dots$
2. b) Wenn zusätzlich bekannt ist, dass $\lambda > 0,4\ \text{m}$ gilt, bestimmen Sie alle möglichen Werte von $\lambda$.
3. c) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Seil beträgt $100\ \text{m/s}$: Berechnen Sie die zu jedem möglichen Wert gehörige Frequenz.
4. d) Schlagen Sie eine zusätzliche Messung vor, mit der sich entscheiden ließe, welcher der Werte der tatsächliche ist, und begründen Sie Ihren Vorschlag.