Aufgaben: Felder von Leitern, Leiterschleifen, Spulen und Toroiden

Durch ein senkrechtes Kabel fließt ein elektrischer Strom nach oben.

1. a) Formulieren Sie mit eigenen Worten die Rechte-Hand-Regel, die die Stromrichtung mit der Richtung der Feldlinien des erzeugten Magnetfelds verknüpft.
2. b) Wenden Sie sie an: Verlaufen die Feldlinien, von oben gesehen, im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn? Zeichnen Sie die Situation in Ihr Heft.

Sie können es auf Papier machen und ein Foto Ihrer Antwort schicken.

Durch ein sehr langes gerades Kabel fließt ein Strom $I = 10\ \text{A}$. Das Magnetfeld, das es im Abstand $r$ erzeugt, ist $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$ mit $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$. Berechnen Sie das Feld im Abstand $r = 5\ \text{cm}$ vom Kabel. Denken Sie daran, den Abstand in Meter umzurechnen.

Eine kreisförmige Leiterschleife mit dem Radius $R = 10\ \text{cm}$ führt einen Strom $I = 2\ \text{A}$. Das Magnetfeld in ihrem Mittelpunkt ist $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\cdot R}$ mit $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$.

1. a) Berechnen Sie seinen Wert.
2. b) Geben Sie das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an, gerundet auf zwei signifikante Stellen.

Das Feld eines sehr langen geraden Leiters ist $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$. Begründen Sie ohne numerische Rechnung anhand der Formel:

1. a) Was geschieht mit $B$, wenn man die Stromstärke verdoppelt und den Abstand beibehält?
2. b) Und wenn man den Abstand verdoppelt und die Stromstärke beibehält?
3. c) Wo ist das Feld stärker, nahe am Leiter oder weit davon entfernt? Setzen Sie dies in Beziehung dazu, wie die Feldlinien mit zunehmendem Abstand auseinanderlaufen.

Eine Spule hat $n = 1000\ \text{Windungen/m}$ und führt einen Strom $I = 0,5\ \text{A}$. Das Magnetfeld in ihrem Inneren ist $B = \mu_0\cdot n\cdot I$ mit $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$.

1. a) Berechnen Sie seinen Wert.
2. b) Geben Sie ihn in Millitesla an ($1\ \text{mT} = 10^{-3}\ \text{T}$).

Beschreiben Sie das Magnetfeld im Inneren einer langen stromdurchflossenen Spule:

1. a) Wie verlaufen die Feldlinien im mittleren Bereich des Inneren: gekrümmt, parallel oder zusammenlaufend?
2. b) Wenn wir uns im Inneren bewegen, nimmt das Feld zu, ab oder bleibt es nahezu konstant?
3. c) Was geschieht mit dem Feld im Außenraum im Vergleich zum Inneren?

Durch eine waagerecht liegende kreisförmige Leiterschleife fließt ein Strom, von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn. Die Leiterschleife ist, von oben gesehen, in der Abbildung dargestellt.

1. a) Wenden Sie die Rechte-Hand-Regel an und geben Sie die Richtung des Magnetfelds im Mittelpunkt der Leiterschleife an: nach oben oder nach unten?
2. b) Begründen Sie, welche Seite der Leiterschleife (die obere oder die untere) sich wie ein Nordpol verhält.

Ein Toroid ist eine ringförmig gewickelte Spule. Das Feld in seinem Inneren im Abstand $r$ von der Achse ist $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\pi\cdot r}$, wobei $N$ die Gesamtzahl der Windungen ist. Ein Toroid mit $N = 500$ Windungen führt einen Strom $I = 2\ \text{A}$. Berechnen Sie das Feld in den Punkten im Abstand $r = 10\ \text{cm}$ von der Achse ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Eine Laborsonde misst das Magnetfeld im Abstand $r = 4\ \text{cm}$ von einem sehr langen geraden Kabel und erhält $B = 2\cdot10^{-4}\ \text{T}$.

1. a) Lösen Sie den Ausdruck $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$ nach der Stromstärke auf.
2. b) Berechnen Sie ihren Wert ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Die Oberleitung eines elektrischen Zuges kann Ströme von $I = 500\ \text{A}$ führen.

1. a) Lösen Sie die Formel für das Feld des Leiters, $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$, nach dem Abstand $r$ auf.
2. b) Berechnen Sie, in welchem Abstand vom Kabel das erzeugte Feld dem Erdmagnetfeld $B_T \approx 5\cdot10^{-5}\ \text{T}$ entspricht ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
3. c) Berechnen Sie das Feld im Abstand $10\ \text{m}$ vom Kabel und kommentieren Sie, ob es einen Kompass in diesem Abstand beeinflussen könnte.

Eine flache Spule mit $N = 50$ Windungen hat den Radius $R = 8\ \text{cm}$ und führt einen Strom $I = 0,3\ \text{A}$. Das Feld in ihrem Mittelpunkt ist $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\cdot R}$.

1. a) Berechnen Sie seinen Wert ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
2. b) Um das Wievielfache ist es größer als das Feld einer einzelnen Leiterschleife mit demselben Radius und demselben Strom? Begründen Sie die Antwort mit der Formel.

Im Labor werden $N = 400$ Windungen auf ein Rohr der Länge $L = 20\ \text{cm}$ gewickelt, und es wird ein Strom $I = 1,5\ \text{A}$ durchgeleitet.

1. a) Berechnen Sie die Windungsdichte $n = \frac{N}{L}$ in Windungen pro Meter.
2. b) Berechnen Sie das Feld im Inneren der Spule, $B = \mu_0\cdot n\cdot I$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Es soll eine Spule gebaut werden, die in ihrem Inneren bei einem maximalen Strom von $I = 2\ \text{A}$ ein Feld von $B = 2,5\cdot10^{-3}\ \text{T}$ erzeugt.

1. a) Lösen Sie den Ausdruck $B = \mu_0\cdot n\cdot I$ nach der Windungsdichte $n$ auf.
2. b) Berechnen Sie, wie viele Windungen pro Meter nötig sind ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
3. c) Wenn das Rohr, auf das gewickelt wird, $40\ \text{cm}$ lang ist, wie viele Windungen müssen insgesamt gewickelt werden?

Beim Leiter A, der einen Strom $I_A = 5\ \text{A}$ führt, messen wir das Feld im Abstand $10\ \text{cm}$; beim Leiter B, der $I_B = 20\ \text{A}$ führt, messen wir es im Abstand $40\ \text{cm}$.

1. a) Berechnen Sie beide Felder mit $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
2. b) Erklären Sie anhand der Abhängigkeit $B \propto \frac{I}{r}$, warum beide Ergebnisse gleich sind.

Ein Toroid mit $N = 1000$ Windungen hat einen mittleren Radius von $15\ \text{cm}$.

1. a) Lösen Sie den Ausdruck $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\pi\cdot r}$ nach der Stromstärke auf.
2. b) Berechnen Sie, welche Stromstärke nötig ist, damit das Feld im Inneren $B = 4\cdot10^{-3}\ \text{T}$ beträgt ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Welchen Radius müsste eine Leiterschleife haben, durch die ein Strom $I = 1\ \text{A}$ fließt, damit das Feld in ihrem Mittelpunkt dem Erdmagnetfeld $B_T \approx 5\cdot10^{-5}\ \text{T}$ entspricht?

1. a) Lösen Sie den Ausdruck $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\cdot R}$ nach dem Radius auf.
2. b) Berechnen Sie seinen Wert ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$) und geben Sie ihn in Zentimetern an.

Zwei gerade, parallele Leiter im Abstand $20\ \text{cm}$ führen gleichsinnige Ströme $I_1 = I_2 = 10\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Der Aufbau ist in der Ebene senkrecht zu den Leitern in der Abbildung dargestellt.

1. a) Berechnen Sie den Betrag des Feldes, das jeder Leiter im Mittelpunkt der Verbindungsstrecke erzeugt.
2. b) Bestimmen Sie mit der Rechte-Hand-Regel die Richtung jedes dieser Felder im Mittelpunkt und begründen Sie, dass das Gesamtfeld dort null ist.
3. c) Wäre das Feld im Mittelpunkt auch dann null, wenn die Ströme verschieden wären? Begründen Sie die Antwort.

Zwei gerade, sehr lange, parallele Leiter senkrecht zur Papierebene im Abstand $20\ \text{cm}$ führen entgegengesetzt gerichtete Ströme $I_1 = I_2 = 10\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Die Situation ist in der Abbildung dargestellt.

1. a) Bestimmen Sie mit der Rechte-Hand-Regel die Richtung des von jedem Leiter im Mittelpunkt erzeugten Magnetfelds und überprüfen Sie, dass sich die Felder dort, da die Ströme entgegengesetzt sind, addieren.
2. b) Berechnen Sie das gesamte Magnetfeld im Mittelpunkt.
3. c) Berechnen Sie das gesamte Magnetfeld im Punkt $P$ auf der Verbindungslinie der Leiter, der außerhalb der Strecke liegt, im Abstand $10\ \text{cm}$ von Leiter 2 und im Abstand $30\ \text{cm}$ von Leiter 1, und geben Sie an, ob sich die Felder dort addieren oder subtrahieren.

Zwei gerade, parallele Leiter im Abstand $d = 40\ \text{cm}$ führen gleichsinnige Ströme $I_1 = 30\ \text{A}$ und $I_2 = 10\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Betrachten Sie die Skizze:

1. a) Begründen Sie mit der Rechte-Hand-Regel, in welchem Bereich (zwischen den Leitern oder außerhalb) die Felder beider Leiter entgegengesetzte Richtungen haben.
2. b) Stellen Sie die Bedingung $B_1 = B_2$ für einen Punkt im Abstand $x$ vom ersten Leiter innerhalb der Verbindungsstrecke auf und lösen Sie die entstehende Gleichung.
3. c) Prüfen Sie das Ergebnis auf Plausibilität: Liegt der Punkt näher am Leiter mit der kleineren Stromstärke? Warum muss das so sein?

Ein sehr langer gerader Leiter, der in der Ebene einer kreisförmigen Leiterschleife mit dem Radius $R = 10\ \text{cm}$ liegt, verläuft im Abstand $d = 5\ \text{cm}$ von deren Mittelpunkt. Durch den Leiter fließen $I_1 = 10\ \text{A}$ und durch die Leiterschleife $I_2 = 4\ \text{A}$, mit Richtungen, die so gewählt sind, dass ihre Felder im Mittelpunkt der Leiterschleife entgegengesetzt gerichtet sind ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

1. a) Berechnen Sie den Betrag des Feldes des Leiters im Mittelpunkt der Leiterschleife.
2. b) Berechnen Sie den Betrag des Feldes der Leiterschleife in ihrem Mittelpunkt.
3. c) Begründen Sie, warum beide Felder senkrecht zur Ebene der Leiterschleife stehen, und berechnen Sie das Gesamtfeld im Mittelpunkt.

Die Magnete eines Magnetresonanztomografen (MRT) sind Spulen, durch die starke Ströme fließen. Betrachten Sie eine mit $n = 2000\ \text{Windungen/m}$ und $I = 15\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$; Erdmagnetfeld $B_T \approx 5\cdot10^{-5}\ \text{T}$).

1. a) Berechnen Sie das Feld im Inneren der Spule.
2. b) Um das Wievielfache ist es größer als das Erdmagnetfeld?
3. c) Reale Geräte verwenden supraleitende Spulen anstelle normaler Spulen. Erläutern Sie, welchen Vorteil es bringt, dass der Supraleiter keinen elektrischen Widerstand hat, wenn große und dauerhafte Ströme benötigt werden.

Im Labor wird das Magnetfeld eines sehr langen Leiters in mehreren Abständen gemessen, mit diesen Ergebnissen: bei $r = 20\ \text{cm}$ erhält man $B = 2\cdot10^{-5}\ \text{T}$; bei $r = 10\ \text{cm}$ $B = 4\cdot10^{-5}\ \text{T}$; bei $r = 5\ \text{cm}$ $B = 8\cdot10^{-5}\ \text{T}$.

1. a) Stellen Sie in Ihrem Heft $B$ gegen $\frac{1}{r}$ dar und erklären Sie, welche Art von Zusammenhang sich zeigt.
2. b) Die Steigung der obigen Geraden ist $\frac{\mu_0\cdot I}{2\pi}$; schätzen Sie sie anhand der Daten ab und bestimmen Sie daraus den Wert der Stromstärke $I$, die den Leiter durchfließt ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Ein Toroid mit $N = 600$ Windungen hat einen Innenradius von $8\ \text{cm}$ und einen Außenradius von $12\ \text{cm}$ und führt einen Strom $I = 5\ \text{A}$. Das Feld in seinem Inneren im Abstand $r$ von der Achse ist $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\pi\cdot r}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Betrachten Sie den Querschnitt des Toroids in der Abbildung.

1. a) Berechnen Sie das Feld am inneren Rand ($r = 8\ \text{cm}$) und am äußeren Rand ($r = 12\ \text{cm}$).
2. b) Berechnen Sie das Feld beim mittleren Radius ($r = 10\ \text{cm}$) und überprüfen Sie, dass es zwischen den beiden vorherigen Werten liegt.
3. c) Ist das Feld im Inneren eines Toroids angesichts der Ergebnisse homogen? Warum verwendet man dann die Näherung mit dem mittleren Radius?

Eine lange Spule hat in ihrem inneren Zentrum ein Feld $B = 8\cdot10^{-3}\ \text{T}$.

1. a) Begründen Sie, indem Sie sich die Spule als Zusammensetzung zweier halbunendlicher Spulen vorstellen, dass das Feld in der Mitte eines ihrer Enden ungefähr halb so groß sein muss wie das Feld im Inneren. Wie groß ist dieses Feld am Ende?
2. b) Wie groß ist das Feld ungefähr in einem äußeren Punkt nahe der Mitte der Spule? Begründen Sie dies, indem Sie überlegen, was mit den Feldlinien beim Austritt geschieht.