Aufgaben: Vektorielle Behandlung: freie Ladungen in Feldern

Eine Probeladung $q = 2\,\mu\text{C}$, die an einem Punkt einer Laboranordnung platziert wird, erfährt eine elektrische Kraft von $0,06\ \text{N}$. Die Situation ist in der Abbildung dargestellt.

1. a) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke an diesem Punkt, $E = \frac{F}{q}$, und geben Sie ihre Einheit im Internationalen Einheitensystem an.
2. b) Die Ladung ist positiv. In welcher Beziehung stehen Richtung und Richtungssinn von $\vec{E}$ zu denen der Kraft $\vec{F}$?

Zur Messung des elektrischen Feldes an einem Punkt verwendet man eine Probeladung.

1. a) Erklären Sie, was eine Probeladung ist und warum ihr Wert klein sein sollte, damit sie die felderzeugenden Ladungen nicht stört.
2. b) Schreiben Sie den Ausdruck für das Feld auf, das eine Punktladung $Q$ im Abstand $r$ erzeugt, und begründen Sie anhand dessen, warum das Feld nicht von der zur Messung verwendeten Probeladung abhängt.

Eine kleine Kugel mit der Ladung $Q = 5\,\mu\text{C}$ erzeugt um sich herum ein elektrisches Feld (verwenden Sie $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Betrachten Sie die Skizze:

1. a) Berechnen Sie den Betrag des Feldes im Abstand $0,3\ \text{m}$ von der Kugel.
2. b) Geben Sie Richtung und Richtungssinn des Feldes an diesem Punkt an und begründen Sie dies mit dem Vorzeichen der Ladung.

Geben Sie ausgehend von der Definition $E = \frac{F}{q}$ an, welche dieser Ausdrücke gültige Einheiten für die elektrische Feldstärke sind, und begründen Sie jede Antwort:

1. a) $\text{N/C}$
2. b) $\text{N}\cdot\text{C}$
3. c) $\text{V/m}$ (beachten Sie, dass $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$)
4. d) $\text{J/C}$

Zwischen den Platten eines Kondensators herrscht ein homogenes elektrisches Feld $\vec{E} = 3\cdot10^{4}\,\vec{j}\ \text{N/C}$. In sein Inneres wird ein Teilchen mit der Ladung $q = -4\,\mu\text{C}$ gebracht, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Berechnen Sie den Vektor der elektrischen Kraft auf das Teilchen, $\vec{F} = q \cdot \vec{E}$, und drücken Sie ihn mit dem entsprechenden Einheitsvektor aus.
2. b) Begründen Sie, warum die Kraft, da die Ladung negativ ist, dem Feld entgegengerichtet ist.

Eine Raumsonde sammelt durch den Beschuss mit Sonnenteilchen eine Nettoladung von $2\ \text{nC}$ an (verwenden Sie $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Nehmen Sie die Sonde näherungsweise als punktförmig an.

1. a) Berechnen Sie den Betrag des elektrischen Feldes, das sie in $10\ \text{cm}$ Entfernung von ihrer Oberfläche erzeugt (geben Sie den Abstand in Metern an).
2. b) Berechnen Sie auch das Feld in $1\ \text{m}$ und überprüfen Sie, um welchen Faktor es abgenommen hat, wenn der Abstand verzehnfacht wird.

Zeichnen Sie in Ihr Heft die elektrischen Feldlinien einer positiven Punktladung und getrennt davon die einer negativen Punktladung.

1. a) Was gibt der Richtungssinn der Pfeile an den Feldlinien an? Setzen Sie ihn in Beziehung zur Kraft, die eine positive Probeladung erfahren würde.
2. b) Wo ist das Feld nach Ihrer Zeichnung am stärksten? Setzen Sie dies in Beziehung zum Ausdruck $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$.

Sie können die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Antwort senden.

Das Feld einer Punktladung beträgt $E$ im Abstand $r$.

1. a) Begründen Sie mithilfe des Ausdrucks $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$, welchen Wert das Feld im Abstand $2 \cdot r$ und im Abstand $\frac{r}{3}$ hat.
2. b) Wenn das Feld in $0,5\ \text{m}$ Entfernung von einer bestimmten Ladung $7200\ \text{N/C}$ beträgt, berechnen Sie seinen Wert in $1\ \text{m}$, ohne die Konstante $K$ zu verwenden.

Ein Sensor misst ein elektrisches Feld von $4500\ \text{N/C}$ in $2\ \text{m}$ Entfernung vom Mittelpunkt einer geladenen Metallkugel im Labor; das Feld zeigt zur Kugel hin (verwenden Sie $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Die Situation ist in der Abbildung dargestellt.

1. a) Lösen Sie den Ausdruck $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$ nach der Ladung auf und berechnen Sie ihren Betrag.
2. b) Begründen Sie anhand der Richtung des gemessenen Feldes, welches Vorzeichen die Ladung der Kugel hat.

In einer Kathodenstrahlröhre durchquert ein Elektron einen Bereich mit homogenem elektrischem Feld $E = 1000\ \text{N/C}$ (gegeben: Elementarladung $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; Masse des Elektrons $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$).

1. a) Berechnen Sie die elektrische Kraft auf das Elektron.
2. b) Berechnen Sie seine Beschleunigung mithilfe des zweiten newtonschen Gesetzes, $a = \frac{F}{m_e}$.

Eine Punktladung $Q = 4\ \text{nC}$ befindet sich im Koordinatenursprung (verwenden Sie $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Betrachten Sie die Skizze:

1. a) Berechnen Sie den Betrag des elektrischen Feldes am Punkt $P(3|4)$, mit Koordinaten in Metern.
2. b) Der radiale Einheitsvektor an diesem Punkt ist $\vec{u}_r = \frac{3}{5}\,\vec{i} + \frac{4}{5}\,\vec{j}$. Schreiben Sie den Vektor $\vec{E}$ in Abhängigkeit von $\vec{i}$ und $\vec{j}$.

Zwei Punktladungen $q_1 = 3\,\mu\text{C}$ und $q_2 = -2\,\mu\text{C}$ liegen auf der Achse $x$, bei $x_1 = 0$ und $x_2 = 1\ \text{m}$ (verwenden Sie $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Die Abbildung zeigt die Anordnung der Ladungen.

1. a) Berechnen Sie das Feld (Betrag und Richtungssinn), das jede Ladung am Punkt $x = 3\ \text{m}$ erzeugt.
2. b) Wenden Sie das Superpositionsprinzip an und berechnen Sie das Gesamtfeld an diesem Punkt; geben Sie Richtung und Richtungssinn an.

Zwei gleiche Ladungen $q = 5\ \text{nC}$ haben den Abstand $40\ \text{cm}$ (verwenden Sie $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Begründen Sie, indem Sie die Vektoren in Ihr Heft zeichnen, wie groß das Gesamtfeld im Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der Ladungen ist.
2. b) Berechnen Sie das Gesamtfeld (Betrag, Richtung und Richtungssinn) an einem Punkt der Strecke, der $10\ \text{cm}$ von einer der Ladungen entfernt ist.

Eine Ladung $Q = 8\ \text{nC}$ ist an einem isolierenden Stativ im Labor befestigt (verwenden Sie $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Berechnen Sie das elektrische Feld (Betrag, Richtung und Richtungssinn) in $25\ \text{cm}$ Entfernung von der Ladung.
2. b) Berechnen Sie die Kraft (Betrag, Richtung und Richtungssinn), die eine an diesem Punkt platzierte Ladung $q_0 = 3\,\mu\text{C}$ erfahren würde, mithilfe von $\vec{F} = q_0 \cdot \vec{E}$.

Das Handbuch eines medizinischen Diagnosegeräts verlangt, dass das elektrische Feld an seinem Standort $500\ \text{N/C}$ nicht überschreitet. Im selben Raum arbeitet ein Gerät, das eine Punktladung von $2\ \text{nC}$ ansammelt (verwenden Sie $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Lösen Sie den Ausdruck $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$ nach dem Abstand auf und berechnen Sie, in welchem Mindestabstand vom Gerät das Instrument aufgestellt werden muss.
2. b) Wird es schließlich im doppelten Abstand aufgestellt, um welchen Faktor verringert sich das Feld? Begründen Sie Ihre Antwort.

Ein Proton befindet sich zwischen den Platten eines Kondensators, wo das elektrische Feld homogen ist und $E = 2\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ beträgt (gegeben: Elementarladung $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; Masse des Protons $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; verwenden Sie $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechnen Sie die elektrische Kraft auf das Proton.
2. b) Berechnen Sie seine Gewichtskraft.
3. c) Berechnen Sie den Quotienten beider Größen und ziehen Sie eine Schlussfolgerung: Kann man in der Teilchenphysik die Gravitation gegenüber der elektrischen Kraft vernachlässigen?

Zwei Punktladungen $q_1 = 4\,\mu\text{C}$ und $q_2 = -4\,\mu\text{C}$ befinden sich im Koordinatenursprung bzw. am Punkt $(0|3)$, mit Koordinaten in Metern (verwenden Sie $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Gesucht ist das Feld am Punkt $P(4|0)$. Betrachten Sie die Skizze:

1. a) Berechnen Sie den Vektor $\vec{E}_1$, den $q_1$ in $P$ erzeugt.
2. b) Berechnen Sie den Betrag des Feldes, das $q_2$ in $P$ erzeugt, und schreiben Sie, da dieses Feld von $P$ zur negativen Ladung zeigt (Einheitsvektor $-\frac{4}{5}\,\vec{i} + \frac{3}{5}\,\vec{j}$), den Vektor $\vec{E}_2$ auf.
3. c) Wenden Sie das Superpositionsprinzip an: Berechnen Sie den Vektor des Gesamtfeldes in $P$ und seinen Betrag.

Zwei Punktladungen $q_1 = 1\,\mu\text{C}$ und $q_2 = 4\,\mu\text{C}$ liegen auf der Achse $x$, bei $x_1 = 0$ und $x_2 = 3\ \text{m}$ (verwenden Sie $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Die Abbildung zeigt die drei Bereiche der Achse.

1. a) Begründen Sie, indem Sie die Richtung des Feldes jeder Ladung analysieren, in welchem der drei Bereiche der Achse (links von $q_1$, zwischen den Ladungen oder rechts von $q_2$) das Gesamtfeld null werden kann.
2. b) Stellen Sie die Bedingung für verschwindendes Feld in diesem Bereich auf und berechnen Sie den genauen Punkt.
3. c) Überprüfen Sie das Ergebnis, indem Sie nachweisen, dass die beiden Felder an diesem Punkt den gleichen Betrag haben.

In einem Tintenstrahldrucker werden geladene Tintentröpfchen durch ein elektrisches Feld abgelenkt. Betrachten Sie zur Untersuchung des Prinzips ein Elektron, das mit der waagerechten Geschwindigkeit $v_0 = 3\cdot10^{7}\ \text{m/s}$ in einen Bereich der Länge $L = 10\ \text{cm}$ eintritt, in dem ein homogenes senkrechtes Feld $E = 10^{4}\ \text{N/C}$ senkrecht zu seiner Geschwindigkeit herrscht (gegeben: Elementarladung $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; Masse des Elektrons $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$). Die Skizze zeigt den Aufbau.

1. a) Berechnen Sie die Beschleunigung des Elektrons im Feldbereich und geben Sie ihre Richtung und ihren Richtungssinn an.
2. b) Berechnen Sie die Zeit, die es zum Durchqueren des Bereichs benötigt.
3. c) Nehmen Sie die waagerechte Bewegung als gleichförmig und die senkrechte als gleichmäßig beschleunigt an (wie beim waagerechten Wurf) und berechnen Sie die senkrechte Ablenkung am Ausgang, $y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.
4. d) Begründen Sie, welche Form die Bahn innerhalb des Feldes hat und welche Art von Bewegung das Elektron nach dem Verlassen des Feldes ausführt.

Zwei Punktladungen $q_1 = q$ und $q_2 = -2 \cdot q$ mit $q > 0$ liegen auf der Achse $x$, bei $x_1 = 0$ und $x_2 = 3\ \text{m}$ (verwenden Sie $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Sagen Sie voraus und begründen Sie anhand der Richtung der Felder und der Beträge der Ladungen, in welchem Bereich der Achse das Gesamtfeld null werden kann: zwischen den Ladungen oder außerhalb der Strecke? Und auf welcher Seite?
2. b) Stellen Sie die Gleichung für verschwindendes Feld auf und lösen Sie sie, sodass Sie den genauen Punkt erhalten.
3. c) Erklären Sie, warum das Ergebnis nicht vom Wert von $q$ abhängt.

Drei gleiche Ladungen $q = 2\ \text{nC}$ befinden sich an den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge $30\ \text{cm}$ (verwenden Sie $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Betrachten Sie die Skizze:

1. a) Begründen Sie mit der Symmetrie (die drei Feldvektoren im Mittelpunkt schließen paarweise Winkel von $120^\circ$ ein), dass das Gesamtfeld im Mittelpunkt des Dreiecks null ist.
2. b) Eine der Ladungen wird entfernt. Begründen Sie unter Berücksichtigung, dass das Feld der drei Ladungen null war, dass das Feld der beiden verbleibenden genau das Negative des Feldes der entfernten Ladung ist, und berechnen Sie seinen Betrag (der Abstand jeder Ecke zum Mittelpunkt beträgt $\frac{0,3}{\sqrt{3}}\ \text{m}$).
3. c) Geben Sie Richtung und Richtungssinn des resultierenden Feldes bezogen auf die frei gewordene Ecke an.

Zwei gleiche Ladungen $q = 5\,\mu\text{C}$ befinden sich an zwei benachbarten Ecken, $A(0|20)$ und $B(20|20)$, eines Quadrats der Seitenlänge $20\ \text{cm}$, mit Koordinaten in Zentimetern (verwenden Sie $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $\cos 45^\circ \approx 0,71$). Untersucht wird die Ecke $D(0|0)$. Die Abbildung zeigt die Anordnung.

1. a) Berechnen Sie das Feld (Betrag, Richtung und Richtungssinn), das die in $A$ befindliche Ladung in $D$ erzeugt.
2. b) Berechnen Sie den Betrag des Feldes, das die in $B$ befindliche Ladung in $D$ erzeugt (beachten Sie, dass der Abstand die Diagonale des Quadrats ist), und zerlegen Sie es in seine Komponenten.
3. c) Addieren Sie die Vektoren und berechnen Sie den Betrag des Gesamtfeldes in $D$.
4. d) Berechnen Sie den Betrag der Kraft, die eine in $D$ platzierte Ladung $Q = -2\,\mu\text{C}$ erfahren würde.

Ihr Mitschüler berechnet das elektrische Feld im Mittelpunkt der Strecke, die eine Ladung $q_1 = 6\,\mu\text{C}$ mit einer anderen $q_2 = -6\,\mu\text{C}$ verbindet, die $20\ \text{cm}$ voneinander entfernt sind, und schreibt: „Das Feld ist null, weil die Ladungen entgegengesetzt sind und sich aufheben“ (verwenden Sie $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Erklären Sie den Fehler: Zeichnen Sie die Vektoren $\vec{E}_1$ und $\vec{E}_2$ im Mittelpunkt in Ihr Heft und begründen Sie, welche Richtung jeder hat.
2. b) Berechnen Sie das richtige Feld (Betrag, Richtung und Richtungssinn) an diesem Punkt.
3. c) Für welches Ladungspaar mit gleichem Betrag wäre das Ergebnis Ihres Mitschülers richtig? Begründen Sie dies.

Sie können die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Antwort senden.

In der Kammer eines Linearbeschleunigers herrscht ein homogenes senkrechtes elektrisches Feld $E = 5\cdot10^{3}\ \text{N/C}$. Ein Proton und ein Elektron treten getrennt und mit derselben waagerechten Geschwindigkeit in sie ein (gegeben: Elementarladung $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; Masse des Elektrons $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; Masse des Protons $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$).

1. a) Vergleichen Sie die Beträge der elektrischen Kräfte auf beide Teilchen und begründen Sie, warum sie gleich sind.
2. b) Berechnen Sie die Beschleunigung jedes Teilchens.
3. c) Berechnen Sie den Quotienten $\frac{a_e}{a_p}$ und setzen Sie ihn in Beziehung zum Massenverhältnis $\frac{m_p}{m_e}$.
4. d) Sagen Sie voraus und begründen Sie: Werden beide Teilchen zur selben Seite abgelenkt? Welches wird bei gleicher Flugzeit stärker abgelenkt und um das Wievielfache?