Aufgaben: Strahlensätze

In der folgenden Zeichnung werden die Geraden $r$ und $s$ von drei parallelen Geraden ($a$, $b$ und $c$) geschnitten. Die Strecken auf der Geraden $r$ sind $AB = 4\text{ cm}$ und $BC = 6\text{ cm}$ lang, und die zu $AB$ entsprechende Strecke auf der Geraden $s$ ist $A'B' = 2\text{ cm}$ lang. Berechne die Länge der Strecke $B'C'$.

Zeichne in dein Heft eine Strecke $AB$ der Länge $10\text{ cm}$. Teile sie mithilfe der Strahlensätze genau in $4$ gleich lange Teile. Beschreibe kurz die Schritte, die du durchgeführt hast (Zeichnen des Hilfsstrahls, gleiche Abschnitte abtragen und Verbinden der Endpunkte).

Du kannst es auf Papier bearbeiten und ein Foto mit deiner Antwort senden.

Ein Jugendlicher mit einer Körpergröße von $1,5\text{ Meter}$ wirft einen Schatten von $1\text{ Meter}$ Länge. Im selben Moment ist der Schatten einer Straßenlaterne $4\text{ Meter}$ lang. Wie hoch ist die Laterne? Zeichne eine Skizze mit zwei rechtwinkligen Dreiecken, um die Situation zu veranschaulichen.

Du kannst es auf Papier bearbeiten und ein Foto mit deiner Antwort senden.

Zwei Dreiecke liegen in Strahlensatzfigur. Das kleine Dreieck hat die Seitenlängen $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ und $5\text{ cm}$. Die der Seite $3\text{ cm}$ entsprechende Seite im großen Dreieck ist $9\text{ cm}$ lang. Wie lang sind die beiden anderen Seiten des größeren Dreiecks?

Ein Schreiner baut ein Regal und möchte prüfen, ob die beiden Regalböden parallel sind. Dazu misst er die Abstände an den seitlichen Pfosten. Auf der linken Seite beträgt der Abstand zwischen Boden und erstem Regalboden $30\text{ cm}$, zwischen dem ersten und dem zweiten $40\text{ cm}$. Auf der rechten Seite beträgt der Abstand zum Boden $45\text{ cm}$ und zwischen den Regalböden $60\text{ cm}$. Sind die Regalböden parallel? Begründe deine Antwort mit dem Verhältnis aus den Strahlensätzen.

Berechne den Wert der Variablen $x$ in der folgenden Figur. Die waagerechten Strecken sind zueinander parallel.

Teile eine Strecke der Länge $7\text{ cm}$ in zwei Teile, die im Verhältnis $2$ zu $3$ stehen. Verwende dazu einen Hilfsstrahl und trage $5$ gleich lange Abschnitte ab ($2+3$). Wie lang ist jede der beiden neuen Teilstrecken auf der ursprünglichen Strecke?

In einem Park wirft ein Baum mit einer Höhe von $2\text{ Meter}$ einen Schatten von $3,5\text{ Meter}$. Ein paar Meter entfernt steht eine Statue, deren Schatten genau $7\text{ Meter}$ lang ist. Wie hoch ist die Statue? Verwende die Ähnlichkeit von Dreiecken, die sich aus den Strahlensätzen ergibt.

Auf dem Schulhof steckst du um $12:00$ ein Lineal der Höhe $1\text{ m}$ senkrecht in den Boden und stellst fest, dass sein Schatten genau $0,5\text{ m}$ lang ist. Direkt daneben wirft eine Laterne im selben Moment einen Schatten von $2,6\text{ m}$.

1. a) Schätze ohne Rechnung mit Stift und Papier begründet ab, ob die Laterne höher oder niedriger als $5\text{ m}$ ist, und erkläre deine Überlegung anhand des Verhältnisses von Lineallänge zu Schattenlänge.
2. b) Wende die Strahlensätze an, um die tatsächliche Höhe der Laterne genau zu berechnen.
3. c) Vergleiche das Ergebnis mit deiner vorherigen Schätzung und erkläre, warum das Ergebnis plausibel ist.

Zwei sich schneidende Geraden $r$ und $s$ werden von drei parallelen Geraden ($a$, $b$ und $c$) geschnitten. Auf der Geraden $r$ bestimmen diese Parallelen zwei aufeinanderfolgende Strecken: $AB = 3\text{ cm}$ und $BC = 5\text{ cm}$. Auf der Geraden $s$ sind die entsprechenden Strecken $A'B' = 4,5\text{ cm}$ und $B'C' = x$.

Um den Wert von $x$ zu berechnen, hat Markus in sein Heft die folgende Gleichung geschrieben:

und nach dem Umstellen $x = 2,7\text{ cm}$ erhalten.

1. a) Gib an, welchen Denkfehler Markus beim Zuordnen der Strecken im Verhältnis gemacht hat.
2. b) Begründe, ohne bereits zu rechnen, warum ein Ergebnis von $2,7\text{ cm}$ der Geometrie der Strahlensätze widerspricht, indem du auf die Längen von $AB$ und $BC$ achtest.
3. c) Schreibe das richtige Verhältnis auf, löse es Schritt für Schritt und bestimme die tatsächliche Länge der Strecke $B'C'$.

Im folgenden Diagramm werden die Geraden $r$ und $s$ von drei parallelen Geraden ($a$, $b$ und $c$) geschnitten. Nutze die gegebenen Angaben, um die Länge der unbekannten Strecke $x$ zu berechnen.

Ein junger Grafikdesigner entwirft ein Logo, das zwei Dreiecke in Strahlensatzfigur enthält. Die Strecke $DE$ ist parallel zu $BC$. Berechne die Längen der Strecken $AD$ und $BC$, wenn wir wissen, dass $AB = 12$ cm, $AE = 5$ cm, $AC = 15$ cm und $DE = 3$ cm.

Um die Höhe eines Basketballkorbs zu messen, stellt ein Schüler der Klasse 8 einen senkrechten Stab von $1,5$ Metern Höhe so auf, dass das Ende seines Schattens genau mit dem Ende des Schattens des Korbs zusammenfällt. Wenn der Schatten des Stabs $2,1$ Meter lang ist und der Abstand vom Fußpunkt des Stabs bis zum Fußpunkt des Korbs $2,2$ Meter beträgt, wie hoch ist der Korb?

Teile zeichnerisch eine Strecke $AB$ der Länge $9$ cm in drei Teile, die proportional zu den Zahlen $2$, $3$ und $4$ sind. Erkläre kurz die durchgeführten Schritte anhand der Strahlensätze.

In einem Designerregal werden drei zueinander parallele Metallstützen von zwei Holzbrettern geschnitten. Das obere Brett wird von den Stützen in zwei aufeinanderfolgende Abschnitte von $25$ cm und $x$ geteilt. Das untere Brett wird in zwei entsprechende Abschnitte von $y$ und $48$ cm geteilt. Das obere Brett ist insgesamt $65$ cm lang. Berechne die Länge der mit $x$ und $y$ markierten Abschnitte.

Bestimme die vierte Proportionale zu drei Strecken mit den Längen $a = 8$ cm, $b = 12$ cm und $c = 10$ cm. Führe sowohl die Rechnung als auch die geometrische Konstruktion mithilfe der Strahlensätze an zwei Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt durch.

Prüfe, ob die Geraden $r$ und $s$ in der folgenden Abbildung parallel sind. Überprüfe dazu, ob die Proportionalität zwischen den Strecken gilt, die sie auf den schneidenden Geraden festlegen. Begründe deine Antwort mit den nötigen Rechnungen.

Eine Anlegeleiter von $2,4$ Metern Länge lehnt an einer Wand. Die Sprossen sind parallel zum Boden. Die erste Sprosse ist $30$ cm vom Boden entfernt (entlang der Leiter gemessen) und die zweite weitere $30$ cm von der ersten. Wenn der waagerechte Abstand vom Fußpunkt der Leiter bis zur Wand $1,2$ Meter beträgt, wie groß ist der waagerechte Abstand vom Fußpunkt bis zur Senkrechten durch die zweite Sprosse?

Um den Wärmekomfort eines Gesundheitszentrums zu verbessern, beauftragt die Gemeinde die Installation einer geneigten Pergola mit Solarmodulen. Der schräge Hauptträger ist $6\text{ m}$ lang und reicht vom Boden bis zur Oberkante einer senkrechten Mauer von $2,4\text{ m}$ Höhe. Zur Verstärkung der Metallkonstruktion werden zwei zusätzliche senkrechte Pfeiler (parallel zur Mauer) angebracht:

• Der erste Pfeiler wird $1,5\text{ m}$ vom Auflagepunkt am Boden entfernt angebracht (auf dem schrägen Träger gemessen).

• Der zweite Pfeiler wird $4\text{ m}$ von diesem Auflagepunkt entfernt angebracht (ebenfalls auf dem Träger gemessen).

1. a) Modelliere die Situation, indem du die Dreiecke in Strahlensatzfigur bestimmst, und begründe, warum die beiden Pfeiler und die Mauer die Voraussetzungen des Satzes erfüllen.
2. b) Berechne die genaue Höhe jedes der beiden senkrechten Verstärkungspfeiler.
3. c) Wenn die kommunale Barrierefreiheitsvorschrift verlangt, dass die lichte Durchgangshöhe unter jedem begehbaren Punkt der Konstruktion mindestens $1,5\text{ m}$ beträgt, bestimme begründet, ob ein aufrecht gehender Erwachsener unter dem ersten Pfeiler hindurchgehen kann.

Es soll eine dreieckige Verstärkungskonstruktion $ABC$ für einen Kran entworfen werden, bei der die waagerechte Grundseite $BC$ $120\text{ cm}$ misst und die schräge Seite $AB$ $90\text{ cm}$ misst. Es soll eine waagerechte Stahlstrebe $DE$ parallel zur Grundseite $BC$ angeschweißt werden, wobei der Punkt $D$ auf der Seite $AB$ und der Punkt $E$ auf der Seite $AC$ liegt.

1. a) Wenn die Länge der Strebe $DE$ genau $40\text{ cm}$ betragen soll, in welchem Abstand vom Eckpunkt $A$ muss der Punkt $D$ entlang der Seite $AB$ angeschweißt werden?
2. b) Wenn der Entwurf so geändert wird, dass die Strebe $DE$ die Seite $AB$ so teilt, dass der obere Abschnitt $AD$ genau doppelt so lang ist wie der untere Abschnitt $DB$, wie lang ist dann die Strebe $DE$?
3. c) Leite eine Formel her, die die Länge der waagerechten Strebe $DE$ (die wir $y$ nennen) in Abhängigkeit von der Entfernung $AD$ (die wir $x$ nennen) ausdrückt, und gib an, zwischen welchen Werten $x$ geometrisch sinnvoll variieren kann.

An einer Konstruktion für eine Fußgängerbrücke wurden drei waagerechte Verstärkungsträger angebracht, die zueinander parallel sind. Die Träger sind durch zwei schräge Stahlstreben verbunden, wie in der Abbildung gezeigt. Die Abschnitte auf der ersten Strebe messen $x$ und $x + 2$ Meter, die entsprechenden Abschnitte auf der zweiten Strebe messen $3$ und $4$ Meter. Berechne den Wert von $x$ und die Gesamtlänge der ersten Strebe.

Ein Street-Art-Künstler möchte den Schatten einer senkrecht stehenden, $2,5$ Meter hohen Skulptur auf eine Wand projizieren, die in einer bestimmten Entfernung steht. Dazu stellt er einen Scheinwerfer $6$ Meter von der Skulptur entfernt auf den Boden. Wenn der Schatten an der Wand genau $4$ Meter hoch ist, wie weit ist die Wand vom Scheinwerfer entfernt? Wenn der Künstler den Scheinwerfer um $2$ Meter näher an die Skulptur rückt, wie hoch wird dann der neue Schatten?

In einem Abenteuerpark verbindet ein Seil einer Seilrutsche die Spitzen zweier senkrechter Türme. Eine Sicherheitsstange von $3$ Metern Höhe wird senkrecht zum Boden aufgestellt, sodass sie genau das Seil berührt. Wenn der Abstand vom Fuß des kleinen Turms bis zur Stange $12$ Meter beträgt und der Abstand von der Stange bis zur Verankerung des Seils am Boden $8$ Meter, berechne die Höhe des kleinen Turms. Wenn der große Turm $30$ Meter von der Verankerung am Boden entfernt steht, wie hoch ist er?

Um die Tiefe eines runden Brunnens mit $2$ Metern Durchmesser zu messen, stellt sich eine $1,70$ Meter große Person $1,2$ Meter vom Brunnenrand entfernt auf. Von dieser Position aus sieht sie mit ihren Augen ($1,60$ Meter über dem Boden) den Brunnenrand und das untere Ende der gegenüberliegenden Wand in einer Linie. Zeichne eine Skizze der Situation und berechne die Tiefe des Brunnens mithilfe der Strahlensätze.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Ein Tischler baut ein Designerregal in Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Er hat zwei waagerechte Regalbretter parallel zur Grundseite angebracht. Die Grundseite des Regals misst $1,2$ Meter. Das erste Regalbrett befindet sich in einer Höhe von $40$ cm über der Grundseite und ist $90$ cm lang. Das zweite Regalbrett ist $60$ cm lang. In welcher Höhe über der Grundseite befindet sich das zweite Regalbrett? Wie hoch ist das Regal insgesamt? (Gib alle Ergebnisse in Zentimetern an.)

Zwei Gebäude in derselben Straße werfen zu einem bestimmten Zeitpunkt des Tages Schatten, die sich überlagern. Gebäude A ist $18$ Meter hoch und wirft einen Schatten von $12$ Metern. Gebäude B steht dahinter, sodass sein Schatten genau am selben Punkt endet wie der von Gebäude A. Wenn der Abstand zwischen dem Fußpunkt von Gebäude A und dem Ende seines Schattens $12$ Meter beträgt und der Abstand zwischen den beiden Gebäuden $10$ Meter, berechne die Höhe von Gebäude B.

Auf einer Karte im Maßstab $1:2.500$ hat ein Grundstück in Form eines rechtwinkligen Trapezes eine längere Grundseite von $8$ cm und eine kürzere Grundseite von $5$ cm. Wenn die Höhe dieses Grundstücks in der Wirklichkeit $100$ Meter beträgt, berechne:

1. Die tatsächliche Länge der Grundseiten in Metern.

2. Die Länge der Höhe auf der Karte in Zentimetern.

3. Wenn wir eine Parallele zu den Grundseiten zeichnen, die die Höhe auf der Karte genau in zwei gleiche Teile teilt, wie lang ist diese neue Linie auf der Karte?

Berechne den Wert der Strecken $y$ und $z$ in der folgenden Anordnung paralleler Geraden, die von Geraden geschnitten werden. Das Verhältnis der oberen Strecken ist $x / 2 = 5 / 4$. Nutze die Angaben in der Abbildung, um die nötigen Verhältnisgleichungen mithilfe der Strahlensätze aufzustellen.

Um bei einem Ausflug die Höhe des Kirchturms ihres Ortes zu messen, schlagen zwei Gruppen der Klasse 8 zwei Verfahren vor, die auf Ähnlichkeit beruhen:

• Methode 1 (Sonnenschatten): Sie stecken einen senkrechten Stab von $1,5\text{ m}$ in den Boden, messen seinen Schatten ($0,9\text{ m}$) und den Schatten des Turms ($15\text{ m}$) um $11:30$ Uhr morgens.

• Methode 2 (Spiegel am Boden): Sie legen einen ebenen Spiegel waagerecht auf den Boden, $20\text{ m}$ vom Fuß des Turms entfernt. Eine Schülerin, deren Augenhöhe $1,60\text{ m}$ beträgt, entfernt sich $1,28\text{ m}$ vom Spiegel in gerader Linie, bis sie die Turmspitze in der Mitte des Spiegels gespiegelt sieht (dabei gilt: Einfallswinkel = Ausfallswinkel).

1. a) Führe die Berechnungen aus, die jede Gruppe durchführen würde, und prüfe, ob beide Methoden dasselbe Ergebnis für die Höhe des Kirchturms liefern.
2. b) Erkläre die geometrische Grundlage der Spiegelmethode, indem du zeigst, warum die beiden beteiligten Dreiecke ähnlich sind und wie das mit der Strahlensatzfigur zusammenhängt.
3. c) Wenn die Aktivität zwingend an einem sehr bewölkten Tag ohne klare Schatten stattfinden müsste oder auf einem geschlossenen Platz, auf dem benachbarte Gebäude den Schatten des Turms verdecken, welche der beiden Methoden würdest du wählen? Begründe die Vorteile, Grenzen und Nachteile beider Methoden in realen Situationen.

In einer Klassenarbeit wird folgendes Problem gestellt: „In einem Dreieck $ABC$ ist die Seite $AB$ $15\text{ cm}$ lang. Es wird eine innere Strecke $DE$ parallel zur Seite $BC$ gezeichnet (mit $D$ auf $AB$ und $E$ auf $AC$), sodass $AD = 6\text{ cm}$ und die Grundseite $BC = 20\text{ cm}$. Berechne die Länge der parallelen Strecke $DE$."

Zwei Schüler streiten über den richtigen Lösungsweg:

• Emilia behauptet: „Nach den Strahlensätzen sind die Strecken proportional. Da die untere Strecke $DB = 15 - 6 = 9\text{ cm}$ ist, lautet das Verhältnis $\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}$, also $\frac{6}{9} = \frac{DE}{20}$, das ergibt $DE \approx 13,33\text{ cm}$."

• Paul widerspricht: „Deine Formel ist falsch, weil die parallelen Seiten zu vollständigen Dreiecken gehören und nicht zu Abschnitten auf einer Geraden. Das richtige Verhältnis ist $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$, also $\frac{6}{15} = \frac{DE}{20}$, das ergibt $DE = 8\text{ cm}$."

1. a) Begründe streng, wer recht hat, und erkläre genau den Denkfehler der Person, die sich irrt, weil sie die Abschnitte auf den Geraden mit den parallelen Grundseiten verwechselt.
2. b) Um Emilia zu verteidigen, sagt ein dritter Schüler: „Emilias Formel funktioniert, wenn $D$ genau im Mittelpunkt von $AB$ liegt." Prüfe, was mit Emilias Formel passieren würde, wenn $AD = 7,5\text{ cm}$ und $DB = 7,5\text{ cm}$, berechne den Wert, den sie vorhersagt, und argumentiere, warum dieses Ergebnis geometrisch zeigt, dass die Formel trotzdem Unsinn ist.
3. c) Wenn der Streckfaktor als $r = \frac{AD}{AB}$ definiert ist, schreibe den allgemeinen richtigen Zusammenhang auf, mit dem man die Länge der Strecke $DE$ aus der Grundseite $BC$ und aus $r$ berechnen kann.