Aufgaben: Aufgaben und Anwendungen zur Ähnlichkeit

Das Modell eines neuen Sportzentrums ist im Maßstab $1:200$ gebaut. Wenn das olympische Schwimmbecken im Modell $25 \text{ cm}$ lang ist, wie viele Meter lang ist das Schwimmbecken in Wirklichkeit?

Um die Höhe eines Baums auf dem Schulhof zu messen, nutzen wir einen sonnigen Tag. Eine senkrecht in den Boden gesteckte Latte von $1,5 \text{ m}$ Höhe wirft einen Schatten von $0,9 \text{ m}$. Wenn im selben Moment der Schatten des Baums $6 \text{ m}$ lang ist, wie hoch ist der Baum?

Eine Straßenkarte hat den Maßstab $1:50.000$. Wenn der Abstand zwischen zwei benachbarten Orten auf der Karte $12 \text{ cm}$ beträgt, wie viele Kilometer sind sie in Wirklichkeit voneinander entfernt?

Wir haben zwei ähnliche Rechtecke. Das erste ist $8 \text{ cm}$ breit und $12 \text{ cm}$ hoch. Wenn das zweite eine Breite von $20 \text{ cm}$ hat, wie hoch muss es sein, damit es dieselbe Form behält?

In der folgenden Abbildung werden die Geraden $r$ und $s$ von drei zueinander parallelen Geraden geschnitten. Die Strecken auf der Geraden $r$ messen $AB = 3 \text{ cm}$ und $BC = 4 \text{ cm}$ und die entsprechende Strecke auf der Geraden $s$ ist $A'B' = 4,5 \text{ cm}$. Berechne die Länge der Strecke $B'C'$.

Um eine Wand zu dekorieren, wollen wir ein Foto, das $10 \text{ cm} \times 15 \text{ cm}$ misst, so vergrößern, dass seine längere Seite $1,2 \text{ Meter}$ lang ist. Wie lang wird die kürzere Seite des vergrößerten Fotos?

Ein Smartphone mit $6 \text{ Zoll}$ Diagonale hat einen Bildschirm, der $13,2 \text{ cm}$ hoch und $7,4 \text{ cm}$ breit ist. Wenn wir denselben Inhalt auf einem Tablet sehen wollen, das genau doppelt so groß ist (Streckfaktor $k=2$), welche Maße hat dann der Bildschirm des Tablets?

Berechne den Wert der unbekannten Strecke $x$ in der folgenden Abbildung, wenn du weißt, dass die beiden Dreiecke in Strahlensatzfigur liegen:

Marcos möchte für das Stadtfest seines Dorfes ein riesiges Banner nach einem Werbeplakat drucken lassen. Das ursprüngliche Plakat ist $40\text{ cm}$ breit und $60\text{ cm}$ lang, und seine Druckkosten betrugen $8$ €. Für das große Banner beschließt Marcos, beide Maße zu verdreifachen (Streckfaktor $k = 3$), sodass es $120\text{ cm} \times 180\text{ cm}$ misst. In seinem Kostenvoranschlag schreibt er: „Da die neuen Maße das Dreifache der ursprünglichen sind, werden auch die Tintenmenge und die Kosten des Banners das Dreifache betragen, also $8 \cdot 3 = 24$ €.“\n\na) Finde den Fehler in Marcos' Überlegung und erkläre mit eigenen Worten, warum sich die Kosten nicht verdreifachen.\nb) Berechne mithilfe des Zusammenhangs zwischen den Flächeninhalten ähnlicher Figuren die tatsächlichen Kosten für den Druck des riesigen Banners.

Du bist auf einem Ausflug im Nationalpark Monfragüe (Cáceres) und möchtest die Höhe eines hölzernen Aussichtsturms bestimmen, ohne hinaufzusteigen. Um $11:30$ Uhr morgens steckst du einen $1,20\text{ m}$ hohen Wanderstock senkrecht in den waagerechten Boden; er wirft einen Schatten von $80\text{ cm}$. Im selben Moment misst du den Schatten, den der Turm auf den ebenen Boden wirft, und erhältst $6,4\text{ m}$.\n\na) Schätze, bevor du formal rechnest, mit einer Begründung: Ist die Höhe des Turms größer oder kleiner als die Länge seines Schattens? Glaubst du, dass sie $10\text{ m}$ überschreitet?\nb) Stelle das Verhältnis der Ähnlichkeit zwischen den Höhen und den Schatten auf, um die Höhe des Aussichtsturms genau zu berechnen.\nc) Vergleiche den erhaltenen Wert mit deiner ersten Schätzung und beurteile, ob das Ergebnis zur Realität passt.

Ein Content-Creator dreht ein Video im Freien. Um die Höhe einer modernen Skulptur zu berechnen, stellt er sein $1,20$ Meter hohes Stativ so auf, dass es einen $90$ cm langen Schatten auf den Boden wirft. Im selben Moment ist der Schatten der Skulptur $4,5$ Meter lang. Wie hoch ist die Skulptur?

Im Grundriss einer Wohnung im Maßstab $1:75$ hat das Wohnzimmer die Form eines Rechtecks mit den Maßen $8$ cm Länge und $6$ cm Breite. Berechne den tatsächlichen Flächeninhalt des Wohnzimmers in Quadratmetern ($m^2$).

Zwei Fernsehbildschirme sind ähnlich. Der erste hat eine Diagonale von $32$ Zoll und eine Fläche von etwa $2800$ $cm^2$. Der zweite Bildschirm hat eine Diagonale von $48$ Zoll:

1. Wie groß ist der Streckfaktor zwischen dem großen und dem kleinen Bildschirm?

2. Welche Fläche nimmt der Bildschirm mit $48$ Zoll ein?

Um das Design eines Regals zu erneuern, setzt ein Schreiner drei parallele Regalböden ein, die von zwei seitlichen Leisten geschnitten werden, wie in der Abbildung gezeigt. Wenn die Längen der Abschnitte auf einer der Leisten $AB = 25$ cm und $BC = 40$ cm betragen und auf der anderen Leiste der zu $AB$ gehörende Abschnitt $A'B' = 30$ cm lang ist, wie lang ist dann der Abschnitt $B'C'$?

Ein Künstler hat eine Bronzeskulptur geschaffen, die $12$ kg wiegt und $40$ cm hoch ist. Wenn er eine exakte Nachbildung aus demselben Material mit einer Höhe von $1$ Meter herstellen möchte, wie viel wird die neue Skulptur wiegen? (Beachte, dass das Gewicht proportional zum Volumen ist.)

Zwei Gemeinden, A und B, sind in Wirklichkeit $18$ km voneinander entfernt. Auf einer Straßenkarte wird dieser Abstand durch eine Strecke von $12$ cm dargestellt.

1. Berechne den Maßstab der Karte.

2. Wenn zwei andere Orte auf derselben Karte $7,5$ cm voneinander entfernt sind, wie groß ist ihre tatsächliche Entfernung in Kilometern?

Berechne die Höhe des Gebäudes ($x$) mithilfe der Ähnlichkeit der Dreiecke, die in der Abbildung entstehen. Die Augen der Person befinden sich $1,60$ m über dem Boden, der Abstand der Person zum Zaun beträgt $2$ m und der Abstand des Zauns zum Gebäude $10$ m. Die Höhe des Zauns beträgt $2,40$ m.

Ein rechteckiges Foto von $10 \times 15$ cm soll zu einem Poster vergrößert werden. Die längere Seite der Vergrößerung soll $1,2$ Meter betragen:

1. Wie lang wird die kurze Seite des Posters?

2. Wievielmal so groß ist der Flächeninhalt des Posters wie der des ursprünglichen Fotos?

Bei den Modernisierungsarbeiten im Hafen von Valencia wird eine Laderampe für Schwerfahrzeuge installiert. Das Seitenprofil der Rampe hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, das mit seiner Hypotenuse auf dem waagerechten Boden aufliegt. Genau am Scheitelpunkt des rechten Winkels wird eine senkrechte Stützsäule der Höhe $h$ senkrecht zum Boden aufgestellt, die die gesamte Länge der Grundseite in zwei Abschnitte teilt: einen von $4,5\text{ m}$ und einen von $8\text{ m}$.\n\na) Modelliere die Situation und gib an, welche Elemente des rechtwinkligen Dreiecks die beiden Bodenabschnitte und die Höhe der Säule darstellen.\nb) Berechne die genaue Höhe der senkrechten Säule mit dem Höhensatz ($h^2 = m \cdot n$).\nc) Bestimme die Länge der beiden geneigten Abschnitte der Rampe (die Katheten) mit dem Kathetensatz ($b^2 = m \cdot c$).\nd) Überprüfe, dass die drei Seiten des gesamten rechtwinkligen Dreiecks den Satz des Pythagoras erfüllen.

Ein Landschaftsarchitekturbüro in Sevilla soll zwei dreieckige Rasenflächen entwerfen, die streng ähnlich zueinander sind. Das kleine Beet hat einen Flächeninhalt von $12\text{ m}^2$ und seine längste Seite misst $6\text{ m}$. Die technischen Vorgaben der Stadtverwaltung legen fest, dass das große Beet genau einen Flächeninhalt von $108\text{ m}^2$ haben muss.\n\na) Bestimme das Verhältnis der Flächeninhalte beider Beete und leite daraus ab, wie groß der lineare Streckfaktor $k$ zwischen ihren Seiten sein muss.\nb) Wie lang wird die längste Seite des großen Beets sein?\nc) Wenn für die Einfassung des gesamten Umfangs des kleinen Beets $16\text{ m}$ Metallbordstein verwendet wurden, berechne, wie viele Meter Bordstein für die Einfassung des großen Beets nötig sind. Begründe deine Antwort, ohne die Längen der beiden anderen Seiten einzeln zu berechnen.

Ein Videospiel-Designer erstellt zwei Modelle eines Verteidigungsturms. Das kleine Modell hat eine Mantelfläche von $150 \text{ cm}^2$ und ein Volumen von $250 \text{ cm}^3$. Das große Modell soll eine Mantelfläche von $600 \text{ cm}^2$ haben, damit die Details gut zu erkennen sind:

1. a) Wie groß ist der Streckfaktor $k$ zwischen den Längen der beiden Modelle?
2. b) Wie groß ist das Volumen des großen Modells?
3. c) Wenn für das kleine Modell 40 Gramm Harz benötigt wurden, wie viele Kilogramm Harz werden für die Herstellung von 10 großen Modellen benötigt?

Um die Höhe der Giralda von Sevilla ohne komplizierte Instrumente zu messen, benutzt eine Gruppe von Schülern einen Spiegel, der auf dem Boden liegt. Der größte Schüler, der $1,85 \text{ m}$ groß ist, stellt sich so hin, dass er die Turmspitze in der Mitte des Spiegels gespiegelt sieht. Der Spiegel ist $120 \text{ m}$ vom Fuß des Turms entfernt und der Schüler steht $2,3 \text{ m}$ vom Spiegel entfernt. Die Augen des Schülers liegen $10 \text{ cm}$ unterhalb seines Scheitels:

1. a) Zeichne eine Skizze der Situation und kennzeichne die ähnlichen Dreiecke.
2. b) Berechne die Höhe des Turms, wenn du weißt, dass der Einfallswinkel des Lichts gleich dem Reflexionswinkel ist.
3. c) Wenn ein anderer Schüler mit einer Körpergröße von $1,60 \text{ m}$, dessen Augen ebenfalls $10 \text{ cm}$ unterhalb seines Scheitels liegen, dasselbe sehen wollte, ohne den Spiegel zu verschieben, in welchem Abstand vom Spiegel müsste er stehen?

Du kannst die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Auf einer Karte im Maßstab $1:25.000$ hat ein Naturschutzgebiet die Form eines Trapezes. Auf dem Papier messen die parallelen Seiten $4 \text{ cm}$ und $6 \text{ cm}$ und die Höhe beträgt $3 \text{ cm}$.

1. a) Berechne den Flächeninhalt des Schutzgebiets auf der Karte in $\text{cm}^2$.
2. b) Berechne mithilfe des Verhältnisses der Flächeninhalte bei Ähnlichkeit den tatsächlichen Flächeninhalt des Schutzgebiets in Quadratkilometern ($\text{km}^2$).
3. c) Wenn die Regierung beschließt, das Schutzgebiet zu erweitern, indem alle seine Längen um $20\%$ vergrößert werden, wie groß ist dann der neue tatsächliche Flächeninhalt?

Eine Lochkamera ist eine geschlossene Kiste mit einem kleinen Loch, durch das Licht einfällt und das Bild eines Gegenstands außerhalb auf die gegenüberliegende Wand projiziert. Wir haben eine Kiste mit einer Tiefe von $25 \text{ cm}$ und wollen einen $12 \text{ m}$ hohen Baum fotografieren, der $30 \text{ m}$ von der Kamera entfernt steht:

1. a) Wie hoch ist das Bild des Baumes, das in die Kiste projiziert wird?
2. b) Wenn wir die Kamera dem Baum nähern, bis das projizierte Bild doppelt so groß ist, in welchem Abstand vom Baum befinden wir uns dann?
3. c) Wie groß ist in diesem letzten Fall das Verhältnis zwischen dem realen Gegenstand und dem Bild?

Im rechtwinkligen Dreieck der Abbildung ist die Hypotenuse $25 \text{ cm}$ lang. Die Höhe auf die Hypotenuse, $h$, teilt diese in zwei Abschnitte, $m$ und $n$. Wir wissen, dass die Kathete $b$ die Länge $15 \text{ cm}$ hat:

1. a) Berechne die Länge des Hypotenusenabschnitts $m$ mit dem Kathetensatz.
2. b) Berechne den Wert der Höhe $h$ mit dem Höhensatz.
3. c) Bestimme den Flächeninhalt und den Umfang des gesamten Dreiecks.

Zwei senkrechte Gebäude sind durch eine $20 \text{ m}$ breite Straße getrennt. Das höhere Gebäude ist $45 \text{ m}$ hoch, das niedrigere $30 \text{ m}$. Vom Dach des niedrigeren Gebäudes aus sieht man den Fuß des hohen Gebäudes. Genau auf dieser Sichtlinie steht eine Laterne, die $5 \text{ m}$ vom niedrigen Gebäude entfernt ist.

1. a) Wie hoch muss die Laterne sein, damit ihr oberes Ende genau auf dieser Sichtlinie liegt?
2. b) Wenn wir vom Dach des hohen Gebäudes ein gerades Kabel zum Dach des niedrigen Gebäudes spannen, wie lang ist das Kabel?
3. c) In welcher Höhe über dem Boden würde dieses Kabel die Laterne kreuzen (angenommen, die Laterne ist hoch genug)?

Ein Park hat die Form eines regelmäßigen Sechsecks mit $40 \text{ m}$ Seitenlänge. In seiner Mitte soll ein kreisförmiger Brunnen gebaut werden, der zu einem kleinen Brunnen von $2 \text{ m}$ Durchmesser am Eingang ähnlich ist. Das Verhältnis zwischen dem Radius des Inkreises des Sechsecks (Apothem) und dem Radius des Brunnens soll $4$ betragen:

1. a) Berechne das Apothem des Sechsecks (du kannst den Satz des Pythagoras verwenden).
2. b) Berechne den Durchmesser des neuen Brunnens in der Mitte.
3. c) Wie groß ist das Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt des Parks und dem Flächeninhalt des Brunnens in der Mitte?

Ein dreieckiges Grundstück mit einem Flächeninhalt von $300 \text{ m}^2$ soll durch einen Zaun parallel zu einer seiner Seiten in zwei Parzellen geteilt werden. Der Zaun wird so gesetzt, dass er die beiden anderen Seiten in einem Drittel des Abstands vom gemeinsamen oberen Eckpunkt schneidet.

1. a) Wie groß ist der Streckfaktor zwischen dem kleinen (oberen) Dreieck und dem ursprünglichen Grundstück?
2. b) Berechne den Flächeninhalt der beiden entstehenden Parzellen.
3. c) Wenn die Grundseite des ursprünglichen Grundstücks $30 \text{ m}$ lang war, wie lang wird der neue Zaun sein?

Beim Entwurf eines Holzbinders in Form eines rechtwinkligen Dreiecks für das Dach eines klimagerechten Wohnhauses stimmt der senkrechte Verstärkungsbalken mit der Höhe auf die Hypotenuse überein. Der waagerechte untere Balken (die Hypotenuse) ist $25\text{ m}$ lang und die Projektion der kleineren Dachfläche auf den Boden misst $9\text{ m}$. Es soll die genaue Länge des senkrechten Verstärkungsbalkens ($h$) berechnet werden.\n\nZur Lösung schlagen zwei Architekturstudentinnen verschiedene Wege vor:\n- Lucía sagt: „Zuerst berechne ich die andere Projektion auf den Boden, indem ich von der gesamten Hypotenuse ($n = 25 - 9 = 16\text{ m}$) abziehe, und dann berechne ich $h$ direkt mit dem Höhensatz.“\n- Sofía sagt: „Zuerst berechne ich die kleinere Dachfläche (die Kathete) mit dem Kathetensatz, und sobald ich diese Seite habe, wende ich den Satz des Pythagoras in dem rechtwinkligen Dreieck an, das diese Kathete, ihre Projektion von $9\text{ m}$ und die Höhe $h$ bilden.“\n\na) Führe beide Methoden mit den entsprechenden Formeln vollständig durch und prüfe, ob man für $h$ denselben Wert erhält.\nb) Vergleiche die beiden Vorgehensweisen und begründe kritisch, welche hinsichtlich des Rechenaufwands und der geringeren Wahrscheinlichkeit von Rundungs- oder Rechenfehlern vorzuziehen ist.\nc) Wenn wir bei einem anderen Dach nicht die gesamte Hypotenuse, sondern nur die Länge der Kathete und ihre Projektion kennen würden, könnte man Lucías Methode dann weiter verwenden, ohne vorher die Hypotenuse zu berechnen? Begründe.

Das Instituto Geográfico Nacional (IGN) veröffentlicht Karten im Maßstab $1:25\,000$. Ein Brandschutzteam der Junta de Andalucía untersucht auf der Karte ein Waldgebiet in der Sierra Mágina, das die Form eines rechtwinkligen Dreiecks hat. Auf der amtlichen Karte ist die Hypotenuse dieses Dreiecks $10\text{ cm}$ lang und die Projektion einer seiner Katheten auf die Hypotenuse misst $3,6\text{ cm}$.\n\na) Bestimme mit dem Höhensatz und dem Kathetensatz direkt anhand der Kartenmaße die Längen der beiden Katheten und der Höhe auf die Hypotenuse (in Zentimetern auf dem Papier).\nb) Berechne den Flächeninhalt des Waldgebiets auf der Karte (in $\text{cm}^2$). Bestimme anschließend den tatsächlichen Flächeninhalt dieses Gebiets in Hektar ($1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$) ausschließlich mithilfe des Verhältnisses der Flächeninhalte bei Ähnlichkeit $k^2$, ohne vorher jede Seite in reale Meter umzurechnen. Erkläre, warum dieses Vorgehen direkter ist.\nc) Wenn die Forstbrigaden als Vorgehen einen Sicherheitsstreifen am Rand freischneiden und dabei durchschnittlich $1,2\text{ km}$ pro Tag vorankommen, wie viele volle Arbeitstage benötigen sie, um den gesamten tatsächlichen Umfang des dreieckigen Geländes abzulaufen und zu sichern?