Aufgaben: Quadratische Gleichungen

Bestimme für jede der folgenden quadratischen Gleichungen die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ und gib an, ob es sich um eine vollständige oder eine unvollständige Gleichung handelt:

1. a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
2. b) $2x^2 - 32 = 0$
3. c) $x^2 + 8x = 0$
4. d) $3 - x^2 + 2x = 0$

Überprüfe, ohne die Gleichung zu lösen, ob die angegebenen Werte von $x$ Lösungen der Gleichung $x^2 - 4x + 3 = 0$ sind:

1. a) $x = 1$
2. b) $x = 0$
3. c) $x = 3$
4. d) $x = -1$

Löse die folgenden unvollständigen quadratischen Gleichungen der Form $ax^2 + c = 0$. Denke daran: Wenn das Ergebnis der Quadratwurzel keine reelle Zahl ist, musst du das angeben:

1. a) $x^2 - 25 = 0$
2. b) $3x^2 - 12 = 0$
3. c) $x^2 + 16 = 0$
4. d) $2x^2 = 50$

Löse die folgenden unvollständigen quadratischen Gleichungen der Form $ax^2 + bx = 0$ durch Ausklammern:

1. a) $x^2 - 7x = 0$
2. b) $2x^2 + 10x = 0$
3. c) $3x^2 = 6x$
4. d) $x^2 + x = 0$

Wende die allgemeine Lösungsformel $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ an, um die Lösungen der folgenden vollständigen Gleichungen zu bestimmen:

1. a) $x^2 - 6x + 8 = 0$
2. b) $x^2 + x - 12 = 0$

Der Flächeninhalt der quadratischen Grundfläche einer Aufbewahrungsbox für Videospiele beträgt $144\text{ cm}^2$. Berechne die Seitenlänge der Grundfläche, indem du eine quadratische Gleichung aufstellst.

Berechne für jede Gleichung den Wert der Diskriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ und gib an, ob sie zwei Lösungen, eine doppelte Lösung oder keine reelle Lösung hat (die Lösungen musst du nicht berechnen):

1. a) $x^2 - 4x + 4 = 0$
2. b) $x^2 + 2x + 5 = 0$
3. c) $x^2 - 5x - 1 = 0$

Addiert man zum Quadrat einer ganzen Zahl ihr Dreifaches, erhält man null. Um welche Zahlen könnte es sich handeln? Stelle die Gleichung auf und bestimme die möglichen Lösungen.

Lea soll im Unterricht die unvollständige Gleichung $3x^2 - 12x = 0$ lösen. Ihre Rechnung an der Tafel war folgende:

1. Schritt: Da $x$ in beiden Termen vorkommt, dividiert sie beide Seiten durch $x$: $\frac{3x^2}{x} - \frac{12x}{x} = \frac{0}{x}$, woraus sie $3x - 12 = 0$ erhält.

2. Schritt: Sie löst nach der Variablen auf: $3x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{3} = 4$.

Lea folgert, dass die Gleichung nur eine einzige Lösung hat: $x = 4$. Finde den Denkfehler und erkläre ihn ausführlich, begründe, warum es mathematisch nicht zulässig ist, ohne Vorsichtsmaßnahmen durch eine Variable zu dividieren, und löse die Gleichung richtig, indem du alle Lösungen bestimmst.

Konstruiere jeweils eine quadratische Gleichung, die die geforderten Bedingungen erfüllt (alle Terme auf der linken Seite zusammengefasst und gleich null gesetzt):

1. a) Eine unvollständige Gleichung ohne lineares Glied ($b = 0$), deren quadratischer Koeffizient $a = 2$ ist und deren Lösungen $x = 3$ und $x = -3$ sind.
2. b) Eine unvollständige Gleichung ohne konstantes Glied ($c = 0$), deren quadratischer Koeffizient $a = 2$ ist und deren Lösungen $x = 0$ und $x = -5$ sind.

Überprüfe in beiden Fällen die Richtigkeit deiner Gleichungen, indem du sie mit dem für den jeweiligen Typ unvollständiger Gleichungen passenden Verfahren löst.

Löse die folgende quadratische Gleichung, indem du zunächst die Terme vereinfachst und dabei die binomischen Formeln ausmultiplizierst:

Denke daran: Um die Lösungsformel anzuwenden, musst du die Gleichung zuerst auf die Form $ax^2 + bx + c = 0$ bringen.

Untersuche die Diskriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) der folgenden Gleichungen und bestimme, ohne sie zu lösen, wie viele reelle Lösungen jede Gleichung hat. Begründe deine Antwort jeweils:

1. a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
2. b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
3. c) $3x^2 - 4x - 2 = 0$

Welchen Wert müsste das konstante Glied in Gleichung a) annehmen, damit sie plötzlich keine Lösung mehr hätte?

Ein Spieleprogrammierer entwirft die Oberfläche einer neuen App. Er braucht einen rechteckigen Button, dessen Breite um $5\text{ cm}$ größer ist als seine Höhe. Der Flächeninhalt, den der Button auf dem Bildschirm einnehmen soll, beträgt $84\text{ cm}^2$. Welche Maße (Breite und Höhe) muss der Button haben?

Stelle eine quadratische Gleichung auf und löse sie.

Das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist um $19$ größer als ihre Summe. Um welche Zahlen handelt es sich?

Löse die folgenden unvollständigen quadratischen Gleichungen mit dem schnellsten Verfahren (Ausklammern oder direktes Wurzelziehen):

1. a) $4x^2 - 100 = 0$
2. b) $3x^2 + 15x = 0$
3. c) $\frac{x^2}{2} - 8 = 0$
4. d) $5x^2 = 2x$

Biquadratische Gleichungen kann man mit der Substitution $t = x^2$ lösen. Bestimme mit dieser Technik die vier reellen Lösungen der folgenden Gleichung:

Gegeben ist die quadratische Gleichung $x^2 + kx + 12 = 0$. Berechne den Wert des Koeffizienten $k$, wenn eine der Lösungen der Gleichung $x = 3$ ist. Bestimme anschließend mit dem gefundenen $k$ die andere Lösung der Gleichung.

Um ein rechteckiges Foto von $10\text{ cm}$ mal $15\text{ cm}$ soll ein Holzrahmen mit konstanter Breite $x$ angebracht werden. Der gesamte Flächeninhalt (Foto und Rahmen) soll $300\text{ cm}^2$ betragen. Wie breit muss der Rahmen $x$ sein?

Betrachte die folgende quadratische Gleichung: $(2x - 1)^2 - 25 = 0$.

1. a) Beschreibe zwei verschiedene algebraische Strategien zur Lösung: Bei der ersten multiplizierst du die binomische Formel aus, bringst die Gleichung auf die allgemeine Form $ax^2 + bx + c = 0$ und wendest die Lösungsformel an; bei der zweiten isolierst du die quadratische Potenz $(2x - 1)^2$ und ziehst auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel.
2. b) Löse die Gleichung mit der Strategie, die du für die direktere und weniger fehleranfällige hältst, und begründe deine Wahl mathematisch.

Die Stadt Essen plant ein rechteckiges Grundstück für gemeinschaftliche Stadtgärten. Laut den technischen Vorgaben soll die Länge des Grundstücks $6\text{ m}$ größer sein als seine Breite und die gesamte nutzbare Anbaufläche $160\text{ m}^2$ betragen.

1. a) Bezeichne die Breite des Grundstücks mit $x$, schreibe den Term für den Flächeninhalt auf und stelle die quadratische Gleichung in Normalform $ax^2 + bx + c = 0$ auf.
2. b) Löse die Gleichung, um die Maße (Länge und Breite) des Gartens zu bestimmen. Erkläre ausführlich, welche geometrische Bedeutung jede der beiden mathematischen Lösungen hat und warum du sie jeweils verwirfst oder beibehältst.

Löse die folgende Gleichung, indem du zunächst die Seiten vereinfachst und, wo nötig, die binomischen Formeln verwendest:

$\frac{(2x - 3)^2}{8} - \frac{x(x + 1)}{2} = \frac{x - 5}{4} - 1$

Ein Landschaftsbauunternehmen möchte ein rechteckiges Schwimmbecken von $8 \text{ m}$ Länge und $6 \text{ m}$ Breite mit einem Kunstrasenrand von gleichmäßiger Breite $x$ umgeben. Wenn der gesamte Flächeninhalt der Anlage (Becken plus Rasenrand) genau $80 \text{ m}^2$ betragen soll, berechne, wie breit der Rand $x$ sein muss.

Gegeben ist die quadratische Gleichung $x^2 - (k-2)x + k = 0$. Bestimme, welche Werte der Parameter $k$ annehmen muss, damit die Gleichung genau eine reelle Lösung (doppelte Lösung) hat.

Eine Überwachungsdrohne startet und folgt einer Flugbahn, deren Höhe in Metern in Abhängigkeit von der Zeit in Sekunden durch den Term $h(t) = -2t^2 + 20t + 5$ gegeben ist. Berechne, zu welchen Zeitpunkten sich die Drohne genau in $53 \text{ Meter}$ Höhe befindet.

Zwei 3D-Drucker brauchen zusammen $2$ Stunden, um ein komplexes Modell fertigzustellen. Würden sie getrennt arbeiten, bräuchte der ältere Drucker $3$ Stunden länger als der neue. Wie lange würde jeder von ihnen allein für das Modell brauchen? (Hilfe: Denke daran, dass die in einer Stunde geleistete Arbeit der Kehrwert der Gesamtzeit ist.)

Berechne die Abmessungen eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Seiten drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind.

Löse die folgende Gleichung. Suche dazu das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, um die Variablen aus den Nennern zu beseitigen, und überprüfe, dass die erhaltenen Lösungen keinen Nenner zu null machen:

$\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x} = \frac{x^2}{x^2 - 2x}$

Es steht ein Kabel der Länge $40 \text{ cm}$ zur Verfügung, das in zwei Stücke geschnitten wird, um zwei verschiedene Quadrate zu bilden. Wenn die Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate $58 \text{ cm}^2$ beträgt, wie lang ist die Seite jedes dieser Quadrate?

Während der Schützenfeste einer Gemeinde bei Düsseldorf wird eine Feuerwerksrakete senkrecht abgeschossen. Die Höhe $h$ (in Metern) über dem Boden nach $t$ Sekunden wird durch die Formel $h = -5t^2 + 40t$ beschrieben. Der Zünder ist so programmiert, dass er mitten in der Aufstiegsphase explodiert, wenn genau $60\text{ m}$ Höhe erreicht sind.

1. a) Schätze, bevor du formal rechnest, ob die Rakete mehr oder weniger als $3\text{ Sekunden}$ braucht, um diese Höhe zu erreichen. Um deine Schätzung zu stützen, bestimme im Kopf oder mit einfachen Rechnungen die Höhe der Rakete nach $t = 1\text{ s}$ und nach $t = 2\text{ s}$.
2. b) Stelle die quadratische Gleichung $h = 60$ auf, bringe sie auf die allgemeine Form und löse sie mit der Lösungsformel. Begründe die physikalische Bedeutung der beiden erhaltenen Werte von $t$, überprüfe, ob deine vorherige Schätzung zutreffend war, und gib an, in welcher genauen Sekunde die programmierte Explosion stattfindet.

Betrachte die Schar quadratischer Gleichungen $(k - 1)x^2 - 4x + 2 = 0$, wobei $k$ eine konstante reelle Zahl ist.

1. a) Untersuche, was für $k = 1$ passiert. Begründe, ob die entstehende Gleichung weiterhin quadratisch ist, und bestimme ihre Lösung in diesem Sonderfall.
2. b) Unter der Voraussetzung $k \neq 1$ berechne den Term der Diskriminante $\Delta$ in Abhängigkeit von $k$. Leite daraus begründet ab, für welche Werte von $k$ die Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen hat, für welchen Wert sie genau eine doppelte reelle Lösung hat und für welche sie keine reelle Lösung hat.
3. c) Wähle einen konkreten Wert von $k$, für den es nach deiner vorherigen Untersuchung keine reelle Lösung gibt, setze ihn in die ursprüngliche Gleichung ein und versuche, sie mit der Formel zu lösen, um zu überprüfen, welches rechnerische Hindernis auftritt.