Aufgaben: Das archimedische Prinzip: die Auftriebskraft

Formuliere das archimedische Prinzip mit eigenen Worten: Was ist die Auftriebskraft, in welcher Richtung und mit welchem Richtungssinn wirkt sie, und wie groß ist sie?

Wenn du ins Schwimmbecken steigst, hast du das Gefühl, weniger zu wiegen, als würde das Wasser dich tragen. Welche Kraft tritt beim Eintauchen auf? Wer übt sie aus und in welche Richtung drückt sie?

Ein vollständig in Wasser getauchter Würfel verdrängt ein Volumen von $0,002\ \text{m}^3$ (etwa $2\ \text{L}$), wie in der Abbildung gezeigt.

Berechne die Auftriebskraft, die er erfährt, mit $F_A = \rho\cdot V\cdot g$. Gegeben: $\rho_{Wasser} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; verwende $g = 10\ \text{m/s}^2$.

Auf dem Tisch liegen ein Korken ($d = 240\ \text{kg/m}^3$) und eine Eisenmutter ($d = 7\,870\ \text{kg/m}^3$). Sage ohne Rechnung voraus, welcher in Wasser ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$) schwimmt und welche untergeht, und erkläre das Kriterium, das du verwendet hast.

Ein Stahlschiff von vielen Tausend Tonnen schwimmt, aber eine kleine Stahlkugel sinkt bis auf den Grund. Wenn beide aus demselben Material bestehen, erkläre, was das Schiff schwimmen lässt (denke an seine hohle Form und seine mittlere Dichte).

Zwei identische, mit Sand gefüllte Flaschen werden vollständig in Wasser getaucht, eine in $1\ \text{m}$ Tiefe und die andere in $5\ \text{m}$, wie in der Abbildung gezeigt.

Erfährt der eine mehr Auftriebskraft als der andere? Begründe es, indem du auf die Größen achtest, von denen die Auftriebskraft abhängt.

Eiswürfel schwimmen im Wasserglas. Die Dichte von Eis beträgt etwa $900\ \text{kg/m}^3$. Erkläre, warum sie schwimmen, und gib die Bedingung an, die die Dichte eines Körpers erfüllen muss, damit er in einer Flüssigkeit schwimmt.

Ein Heißluftballon steigt auf, wenn der Brenner die Luft in seinem Inneren erhitzt. Erkläre, was beim Erwärmen mit der Dichte der Luft geschieht und warum die Auftriebskraft der kalten Außenluft den Ballon schließlich anhebt.

Ein Block mit $3\ \text{kg}$ hat ein Volumen von $0,004\ \text{m}^3$ und wird, wie in der Abbildung gezeigt, vollständig in Wasser ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$) getaucht. Verwende $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechne seine Gewichtskraft.
2. b) Berechne die Auftriebskraft, die er erfährt.
3. c) Schwimmt er oder sinkt er? Gib an, welche resultierende Kraft auf ihn wirkt und in welche Richtung.

Ein Stein mit $5\ \text{kg}$ und $0,001\ \text{m}^3$ Volumen hängt an einem Kraftmesser und wird, wie in der Abbildung gezeigt, vollständig in Wasser getaucht. Gegeben: $d_{Wasser} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; verwende $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechne seine tatsächliche Gewichtskraft.
2. b) Berechne die Auftriebskraft des Wassers.
3. c) Welchen Wert zeigt der Kraftmesser an, wenn der Stein eingetaucht ist? Erkläre, warum dieses „scheinbare Gewicht“ kleiner ist.

Ein Metallstück mit $2\ \text{kg}$ hat ein Volumen von $0,0005\ \text{m}^3$ ($0,5\ \text{L}$). Gegeben: $d_{Wasser} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; verwende $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechne seine Gewichtskraft.
2. b) Berechne die Auftriebskraft, die es erfährt, wenn es vollständig in Wasser getaucht wird.
3. c) Schwimmt es oder sinkt es? Berechne außerdem seine Dichte und vergleiche sie mit der Dichte von Wasser, um deine Antwort zu bestätigen.

Ein Baumstamm mit $0,01\ \text{m}^3$ wird vollständig eingetaucht, zuerst in einem See und danach im Meer. Verwende $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechne die Auftriebskraft, die er im See erfährt ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$).
2. b) Berechne die Auftriebskraft, die er im Meer erfährt ($d = 1\,025\ \text{kg/m}^3$).
3. c) Erkläre mit diesen Ergebnissen, warum Badende im Meer „höher“ schwimmen als in einem Schwimmbad.

Ein Holzblock mit $6\ \text{kg}$ schwimmt, wie in der Abbildung gezeigt, im Gleichgewicht auf dem Wasser eines Schwimmbeckens ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$). Verwende $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Wie groß ist die Auftriebskraft, die er erfährt, wenn er im Gleichgewicht schwimmt? Begründe.
2. b) Berechne das Volumen des verdrängten Wassers, also sein eingetauchtes Volumen. Gib es in $\text{m}^3$ und in Litern an.

Ein Eiswürfel ($d_{Eis} = 900\ \text{kg/m}^3$) schwimmt, wie in der Abbildung gezeigt, in einem Glas Wasser ($d_{Wasser} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$).

1. a) Im Gleichgewicht ist die Gewichtskraft des Eises gleich der Auftriebskraft: $d_{Eis}\cdot V\cdot g = d_{Wasser}\cdot V_{sum}\cdot g$. Vereinfache den Ausdruck und stelle nach dem eingetauchten Anteil $\frac{V_{sum}}{V}$ um.
2. b) Berechne, wie viel Prozent des Würfels unter Wasser liegen und wie viel Prozent herausragen.
3. c) Bringe das Ergebnis mit der Redewendung „Das ist nur die Spitze des Eisbergs“ in Verbindung.

Ein Gegenstand wiegt $12\ \text{N}$ in der Luft und der Kraftmesser zeigt $8\ \text{N}$ an, wenn er vollständig in Wasser getaucht wird. Gegeben: $d_{Wasser} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; verwende $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Wie groß ist die Auftriebskraft, die er erfährt?
2. b) Berechne das Volumen des Gegenstands.
3. c) Berechne mit seiner tatsächlichen Gewichtskraft und seinem Volumen seine Dichte in $\text{kg/m}^3$.

Ein Ei mit $60\ \text{g}$ hat ein Volumen von $55\ \text{cm}^3$. Verwende $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechne seine Gewichtskraft in Newton (Achtung bei den Einheiten).
2. b) Berechne die Auftriebskraft, die es erfährt, wenn es vollständig in Leitungswasser ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$) getaucht wird, und folgere, ob es schwimmt oder sinkt.
3. c) Wenn viel Salz gelöst wird, erreicht das Wasser eine Dichte von $1\,200\ \text{kg/m}^3$: Berechne die neue Auftriebskraft und erkläre, warum das Ei nun schwimmt.

Eine Yacht mit $4\,000\ \text{kg}$ schwimmt im Meer ($d = 1\,025\ \text{kg/m}^3$). Verwende $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechne ihre Gewichtskraft und begründe, wie groß die Auftriebskraft ist, die sie beim Schwimmen im Gleichgewicht erfährt.
2. b) Berechne das eingetauchte Volumen des Rumpfes.
3. c) Die Yacht fährt in einen Süßwasserfluss ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$): Berechne das neue eingetauchte Volumen und erkläre, ob das Schiff höher oder tiefer im Wasser liegt.

Ein Eisberg mit $10\,000\ \text{m}^3$ schwimmt im Meer. Gegeben: $d_{Eis} = 900\ \text{kg/m}^3$, $d_{Meer} = 1\,025\ \text{kg/m}^3$.

1. a) Berechne, welcher Bruchteil seines Volumens eingetaucht ist (denke daran: Im Gleichgewicht gilt $\frac{V_{sum}}{V} = \frac{d_{Eis}}{d_{Meer}}$).
2. b) Welches Volumen des Eisbergs ragt aus dem Wasser?
3. c) Erkläre mit diesen Ergebnissen, warum Eisberge für die Schifffahrt so gefährlich sind, obwohl der sichtbare Teil klein erscheint.

Ein U-Boot mit $800\ \text{t}$ ($800\,000\ \text{kg}$) fährt, wie in der Abbildung gezeigt, vollständig getaucht im Gleichgewicht im Meer ($d = 1\,025\ \text{kg/m}^3$). Verwende $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Wie groß ist die Auftriebskraft, die es erfährt? Begründe sie mithilfe der Gleichgewichtsbedingung.
2. b) Berechne das Volumen des verdrängten Wassers, also das Volumen des U-Boots.
3. c) Zum Auftauchen drückt das U-Boot das Meerwasser aus seinen Tauchtanks und ersetzt es durch Luft: Erkläre, welche Größe sich ändert, die Gewichtskraft oder die Auftriebskraft, und warum es dadurch aufsteigt.

Ein Heißluftballon hat, wie in der Abbildung gezeigt, ein Volumen von $2\,000\ \text{m}^3$. Die Außenluft hat eine Dichte von $1,2\ \text{kg/m}^3$ und die heiße Luft im Inneren eine von $1,0\ \text{kg/m}^3$. Verwende $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechne die Auftriebskraft, die die Außenluft auf den Ballon ausübt.
2. b) Berechne die Gewichtskraft der heißen Luft, die den Ballon füllt.
3. c) Die Differenz beider ist die Kraft, die zum Anheben von Hülle, Korb und Passagieren zur Verfügung steht: Welche Masse dürfen diese zusammen höchstens haben, damit der Ballon aufsteigt?

Eine Krone mit $1\ \text{kg}$ soll aus reinem Gold sein ($d_{Gold} = 19\,300\ \text{kg/m}^3$). Du wiegst sie unter Wasser und der Kraftmesser zeigt $9,2\ \text{N}$ an. Gegeben: $d_{Wasser} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; verwende $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Welches Volumen hätte die Krone, wenn sie aus reinem Gold wäre? Gib es in $\text{cm}^3$ an.
2. b) Berechne aus der Anzeige des Kraftmessers die tatsächliche Auftriebskraft und das tatsächliche Volumen der Krone.
3. c) Berechne die tatsächliche Dichte der Krone und entscheide, ob sie aus reinem Gold ist oder mit einem Metall geringerer Dichte legiert wurde, wie Archimedes vermutete.

Ein Korkfloß ($d = 240\ \text{kg/m}^3$) hat ein Volumen von $0,5\ \text{m}^3$ und schwimmt in Wasser ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$). Verwende $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Welcher Bruchteil des Floßes ist eingetaucht, wenn es allein schwimmt?
2. b) Berechne die maximale Auftriebskraft, die das Floß liefern kann, also im vollständig eingetauchten Zustand.
3. c) Berechne die Gewichtskraft des Floßes selbst und folgere, welche Masse es höchstens tragen kann, ohne ganz unterzugehen.

Ein Partyballon enthält $5\ \text{L}$ Helium ($0,005\ \text{m}^3$). Gegeben: $d_{Luft} = 1,2\ \text{kg/m}^3$, $d_{Helium} = 0,18\ \text{kg/m}^3$; verwende $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechne die Auftriebskraft, die die Luft auf den Ballon ausübt.
2. b) Berechne die Gewichtskraft des Heliums, das ihn füllt.
3. c) Die Ballonhülle hat eine Masse von $3\ \text{g}$: Welche Zusatzmasse (Band, Verzierungen) darf er höchstens tragen, um weiter aufzusteigen?
4. d) Erkläre, warum der Ballon ab einer bestimmten Höhe nicht mehr weiter steigt (überlege, wie sich die Dichte der Luft mit der Höhe ändert).

Eine Person mit $70\ \text{kg}$ schwimmt im Gleichgewicht, zuerst in einem Schwimmbecken ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$) und danach im Toten Meer ($d = 1\,240\ \text{kg/m}^3$).

1. a) Schreibe die Gleichgewichtsbedingung $P = E$ mit der Masse der Person und dem eingetauchten Volumen auf und überprüfe, dass sich nach dem Vereinfachen $V_{sum} = \frac{m}{d}$ ergibt: Man muss nicht einmal $g$ kennen.
2. b) Berechne das eingetauchte Volumen im Schwimmbecken und gib es in Litern an.
3. c) Berechne das eingetauchte Volumen im Toten Meer und erkläre durch den Vergleich beider Ergebnisse, warum man dort „wie ein Korken“ schwimmt und es fast unmöglich ist unterzugehen.

Herausforderung des Themas. Wie steuert ein Tiefsee-Tauchboot seinen Auftrieb, um Gegenstände vom Meeresboden zu bergen? Erstelle einen technischen Bericht, indem du dieses Problem mithilfe eines selbstgebauten Prototyps löst.

1. Ausgangsdaten: Recherchiere beim Deutschen Wetterdienst (DWD) den aktuellen Luftdruck ($p_0$) an deinem Wohnort. Baue einen Cartesianischen Taucher, indem du eine mit Knete beschwerte Kugelschreiberkappe in eine mit Wasser gefüllte Plastikflasche von $1,5\text{ L}$ steckst.

2. Messdaten und Diagramm: Drücke die Flasche zusammen, um den Taucher in $5$ verschiedenen Tiefen im Gleichgewicht zu halten. Miss jede Tiefe $h$ mit einem Lineal ($\pm 0,1\text{ cm}$). Erstelle eine Tabelle, in der du $h$ einträgst und den Druck durch die Atmosphäre und die Wassersäule berechnest, ohne den beim Zusammendrücken hinzugefügten Druck einzubeziehen ($p = p_0 + \rho \cdot g \cdot h$, mit $\rho = 1000\text{ kg/m}^3$ und $g = 9,8\text{ m/s}^2$). Zeichne das Diagramm von $p$ gegen $h$ und stelle dabei die Messunsicherheiten dar.

3. Begründeter Vorschlag: Verfasse einen kurzen Bericht, der begründet, wie sich der ausgeübte Druck im Wasser fortpflanzt (Pascalsches Prinzip), wie sich die Luft zusammendrückt und dadurch die Auftriebskraft verändert (Archimedisches Prinzip) und welchen Einfluss der hydrostatische Druck auf das Absinken hat.

Bewertet werden:

• Sorgfalt bei der selbst durchgeführten Datenerhebung, Abschätzung der Messunsicherheiten und grafische Darstellung.

• Korrekte Anwendung des Pascalschen und des Archimedischen Prinzips sowie Berechnung des hydrostatischen Drucks.

• Qualität der Schlussfolgerungen des Berichts und angemessene Verwendung der Fachsprache.